2018江苏数学高考真题 16页

2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试 时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位 置作答一律无效。 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： 锥体的体积 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位 置上． 1．已知集合 ， ，那么 ▲ ． 2．若复数 满足 ，其中 i 是虚数单位，则 的实部为 ▲ ． 3．已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的 平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为 ▲ ． 1 3V Sh= S h {0,1,2,8}A = { 1,1,6,8}B = − A B = z i 1 2iz⋅ = + z 5．函数 的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名 女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近 线的距离为 ，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数 满足 ，且在区间 上， 则 的值为 ▲ ． 10．如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ． 2( ) log 1f x x= − sin(2 )( )2 2y x ϕ ϕπ π= + − < < 3x π= ϕ xOy 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > ( ,0)F c 3 2 c ( )f x ( 4) ( )( )f x f x x+ = ∈R ( 2,2]− cos ,0 2,2( ) 1| |, 2 0,2 x x f x x x π < ≤=   + < ≤ - ( (15))f f 11．若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的 最大值与最小值的和为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系 中，A 为直线 上在第一象限内的点， ，以 AB 为 直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D．若 ，则点 A 的横坐标为 ▲ ． 13．在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点 D，且 ，则 的最小值为 ▲ ． 14．已知集合 ， ．将 的所有元素从小到 大依次排列构成一个数列 ．记 为数列 的前 n 项和，则使得 成立的 n 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 在平行六面体 中， ． 求证：（1） ； （2） ． 16．（本小题满分 14 分） 已知 为锐角， ， ． （1）求 的值； （2）求 的值． 17．（本小题满分 14 分） 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 （P 为此圆弧的中点） 和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距 离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的 地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为 ，要求 均在线段 上， 均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的 角为 ． 3 2( ) 2 1( )f x x ax a= − + ∈R (0, )+∞ ( )f x [ 1,1]− xOy : 2l y x= (5,0)B 0AB CD⋅ =  ABC△ , ,A B C , ,a b c 120ABC∠ = ° ABC∠ AC 1BD = 4a c+ *{ | 2 1, }A x x n n= = − ∈N *{ | 2 , }nB x x n= = ∈N A B { }na nS { }na 112n nS a +> 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1 1,AA AB AB B C= ⊥ 1 1AB A B C平面∥ 1 1 1ABB A A BC⊥平面 平面 ,α β 4tan 3 α = 5cos( ) 5 α β+ = − cos2α tan( )α β− MPN CDP△ ,A B MN ,C D θ （1）用 分别表示矩形 和 的面积，并确定 的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面 积年产值之比为 ．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 C 过点 ，焦点 ，圆 O 的直径为 ． （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； ②直线 l 与椭圆 C 交于 两点．若 的面积为 ， 求直线 l 的方程． 19．（本小题满分 16 分） 记 分别为函数 的导函数．若存在 ，满足 且 ，则称 为函数 与 的一个“S 点”． （1）证明：函数 与 不存在“S 点”； （2）若函数 与 存在“S 点”，求实数 a 的值； （3）已知函数 ， ．对任意 ，判断是否存在 ，使函 数 与 在区间 内存在“S 点”，并说明理由． 20．（本小题满分 16 分） 设 是首项为 ，公差为 d 的等差数列， 是首项为 ，公比为 q 的等比数列． （1）设 ，若 对 均成立，求 d 的取值范围； （ 2 ） 若 ， 证 明 ： 存 在 ， 使 得 对 均成立，并求 的取值范围（用 表示）． 数学Ⅰ试题参考答案 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题 5 分，共计 70 分． θ ABCD CDP△ sinθ 4:3 θ xOy 1( 3, )2 1 2( 3,0), ( 3,0)F F− 1 2F F ,A B OAB△ 2 6 7 ( ), ( )f x g x′ ′ ( ), ( )f x g x 0x ∈R 0 0( ) ( )f x g x= 0 0( ) ( )f x g x′ ′= 0x ( )f x ( )g x ( )f x x= 2( ) 2 2g x x x= + − 2( ) 1f x ax= − ( ) lng x x= 2( )f x x a= − + e( ) xbg x x = 0a > 0b > ( )f x ( )g x (0, )+∞ { }na 1a { }nb 1b 1 10, 1, 2a b q= = = 1| |n na b b− ≤ 1,2,3,4n = * 1 1 0, , (1, 2]ma b m q= > ∈ ∈N d ∈R 1| |n na b b− ≤ 2,3, , 1n m= + d 1, ,b m q 1．{1，8} 2．2 3．90 4．8 5．[2，+∞） 6． 7． 8．2 9． 10． 11．–3 12．3 13．9 14．27 二、解答题 15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象 能力和推理论证能力．满分 14 分． 证明：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB∥A1B1． 因为 AB 平面 A1B1C，A1B1 平面 A1B1C， 所以 AB∥平面 A1B1C． （2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形． 又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形， 因此 AB1⊥A1B． 又因为 AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以 AB1⊥BC． 又因为 A1B∩BC=B，A1B 平面 A1BC，BC 平面 A1BC， 所以 AB1⊥平面 A1BC． 因为 AB1 平面 ABB1A1， 所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC． 16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求 解能力．满分 14 分． 解：（1）因为 ， ，所以 ． 因为 ，所以 ， 因此， ． （2）因为 为锐角，所以 ． 又因为 ，所以 ， 因此 ． 4tan 3 α = sintan cos αα α= 4sin cos3 α α= 2 2sin cos 1α α+ = 2 9cos 25 α = 2 7cos2 2cos 1 25 α α= − = − ,α β (0,π)α β+ ∈ 5cos( ) 5 α β+ = − 2 2 5sin( ) 1 cos ( ) 5 α β α β+ = − + = tan( ) 2α β+ = − 3 10 π 6 − 2 2 4 3 ⊄ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ 因为 ，所以 ， 因此， ． 17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建 模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分 14 分． 解：（1）连结 PO 并延长交 MN 于 H，则 PH⊥MN，所以 OH=10． 过 O 作 OE⊥BC 于 E，则 OE∥MN，所以∠COE=θ， 故 OE=40cosθ，EC=40sinθ， 则矩形 ABCD 的面积为 2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP 的面积为 ×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 过 N 作 GN⊥MN，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K，则 GK=KN=10． 令∠GOK=θ0，则 sinθ0= ，θ0∈（0， ）． 当 θ∈[θ0， ）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD， 所以 sinθ 的取值范围是[ ，1）． 答：矩形 ABCD 的面积为 800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ 的取值范围是[ ，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3， 设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（k>0）， 则年总产值为 4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0， ）． 设 f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0， ）， 则 ． 令 ，得 θ= ， 当 θ∈（θ0， ）时， ，所以 f（θ）为增函数； 当 θ∈（ ， ）时， ，所以 f（θ）为减函数， 因此，当 θ= 时，f（θ）取到最大值． 4tan 3 α = 2 2tan 24tan 2 1 tan 7 αα α= = −− tan 2 tan( ) 2tan( ) tan[2 ( )] 1+ tan 2 tan( ) 11 α α βα β α α β α α β − +− = − + = = −+ 1 2 1 4 π 6 π 2 1 4 1 4 π 2 π 2 2 2 2( ) cos sin sin (2sin sin 1) (2sin 1)(sin 1)f θ θ θ θ θ θ θ θ= − − = − + − = − − +′ ( )=0f θ′ π 6 π 6 ( )>0f θ′ π 6 π 2 ( )<0f θ′ π 6 答：当 θ= 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、 直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分 16 分． 解：（1）因为椭圆 C 的焦点为 ， 可设椭圆 C 的方程为 ．又点 在椭圆 C 上， 所以 ，解得 因此，椭圆 C 的方程为 ． 因为圆 O 的直径为 ，所以其方程为 ． （2）①设直线 l 与圆 O 相切于 ，则 ， 所以直线 l 的方程为 ，即 ． 由 ，消去 y，得 ．（*） 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 所以 ． 因为 ，所以 ． 因此，点 P 的坐标为 ． ②因为三角形 OAB 的面积为 ，所以 ，从而 ． 设 ， 由（*）得 ， 所以 π 6 1 2( ) 3,0 , ( 3,0)F F− 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1( 3, )2 2 2 2 2 3 1 1,4 3, a b a b  + =  − = 2 2 4, 1, a b  = = 2 2 14 x y+ = 1 2F F 2 2 3x y+ = 0 0 0 0( ), ,( 0 0)P x y x y> > 2 2 0 0 3x y+ = 0 0 0 0 ( )xy x x yy = − − + 0 0 0 3xy xy y = − + 2 2 0 0 0 1,4 3 , x y xy xy y  + =  = − + 2 2 2 2 0 0 0 04 24 36 4 0( )x y x x x y+ − + − = 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0( ) ( )(24 ) (4 4 36 4 8 2 0)4x x y y y x∆ = − − + − = − = 0 0, 0x y > 0 02, 1x y= = ( 2,1) 2 6 7 21 2 6 7AB OP⋅ = 4 2 7AB = 1 1 2 2, ,( ) ( ),A x y B x y 2 2 0 0 0 2 2 0 0 1,2 24 48 ( 2) 2(4 ) x y x xx y ± −= + 2 2 2 2 1 21( ) ( )xB y yxA = − + − ． 因为 ， 所以 ，即 ， 解得 舍去），则 ，因此 P 的坐标为 ． 综上，直线 l 的方程为 ． 19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解 决问题以及逻辑推理能力．满分 16 分． 解：（1）函数 f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则 f′（x）=1，g′（x）=2x+2． 由 f（x）=g（x）且 f′（x）= g′（x），得 ，此方程组无解， 因此，f（x）与 g（x）不存在“S”点． （2）函数 ， ， 则 ． 设 x0 为 f（x）与 g（x）的“S”点，由 f（x0）=g（x0）且 f′（x0）=g′（x0），得 ，即 ，（*） 得 ，即 ，则 ． 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 48 ( 2)(1 ) (4 ) x y x y x y −= + ⋅ + 2 2 0 0 3x y+ = 2 2 0 2 2 0 16( 2) 32 ( 1) 49 xAB x −= =+ 4 2 0 02 45 100 0x x− + = 2 2 0 0 5 ( 202x x= = 2 0 1 2y = 10 2( , )2 2 5 3 2y x= − + 2 2 2 1 2 2 x x x x  = + −  = + 2 1f x ax= −（ ） ( ) lng x x= 12f x ax g x x ′ = ′ =（ ） ， （ ） 2 0 0 0 0 1 ln 12 ax x ax x  − =  = 2 0 0 2 0 1 ln 2 1 ax x ax  − = = 0 1ln 2x = − 1 2 0 ex −= 1 22 1 e 22(e ) a − = = 当 时， 满足方程组（*），即 为 f（x）与 g（x）的“S”点． 因此，a 的值为 ． （3）对任意 a>0，设 ． 因为 ，且 h（x）的图象是不间断的， 所以存在 ∈（0，1），使得 ，令 ，则 b>0． 函数 ， 则 ． 由 f（x）=g（x）且 f′（x）=g′（x），得 ，即 （**） 此时， 满足方程组（**），即 是函数 f（x）与 g（x）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意 a>0，存在 b>0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、 转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分 16 分． 解：（1）由条件知： ． 因为 对 n=1，2，3，4 均成立， 即 对 n=1，2，3，4 均成立， 即 1 1，1 d 3，3 2d 5，7 3d 9，得 ． 因此，d 的取值范围为 ． （2）由条件知： ． 若存在 d，使得 （n=2，3，···，m+1）成立， 11 2( ,) n n na n d b −= − = 1 1 2 |( ) 1| nn d −− − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 7 5 3 2d≤ ≤ 7 5[ , ]3 2 1 1 1( 1) , n n na b n d b b q −= + − = e 2a = 1 2 0 ex −= 0x e 2 3 2( ) 3h x x x ax a= − − + (0) 0 (1) 1 3 2 0h a h a a= > = − − + = − <， 0x 0( ) 0h x = 0 3 0 0 2 e (1 )x xb x = − 2 e( ) ( ) xbf x x a g x x = − + =， 2 e ( 1)( ) 2 ( ) xb xf x x g x x −= − =′ ， ′ 2 2 e e ( 1)2 x x bx a x b xx x − + = −− = 0 0 3 2 0 0 3 0 2 0 2 e e (1 ) 2 e ( 1)2 e (1 ) x x x x xx a xx x xx xx − + = ⋅ − −− = ⋅ − 0x 0x 1| |n na b b− ≤ 1| |n na b b− ≤ 即 ， 即当 时，d 满足 ． 因为 ，则 ， 从而 ， ，对 均成立． 因此，取 d=0 时， 对 均成立． 下面讨论数列 的最大值和数列 的最小值（ ）． ①当 时， ， 当 时，有 ，从而 ． 因此，当 时，数列 单调递增， 故数列 的最大值为 ． ②设 ，当 x>0 时， ， 所以 单调递减，从而 − 2,3, , 1n m= + 2,3, , 1n m= + 1 2{ }1 nq n − − − 1 { }1 nq n − − 2,3, , 1n m= + 2 n m≤ ≤ 1 1 12 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nq q nq q nq n q q q n n n n n n − − −− − − − + − − +− = =− − − 1 1 2 mq< ≤ 2n mq q≤ ≤ 1( ) 2 0n n nn q q q−− − + > 2 1n m≤ ≤ + 1 2{ }1 nq n − − − 1 2{ }1 nq n − − − 2mq m − ( ) ( )2 1xf x x= − ln 2 1( 0( n) l 2 2) xf x x′ = − − < ( )f x ( )f x 2 n m≤ ≤ 1 1 1 1 12 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n q q nn fq n n n n − −= ≤ − = < − 2 1n m≤ ≤ + 1 { }1 nq n − − 1 { }1 nq n − − mq m 1 1( 2)[ , ] m mb q b q m m − 1| |n na b b− ≤ 数学Ⅱ(附加题) 21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． A．[选修 4—1：几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上一 点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C．若 ，求 BC 的长． B．[选修 4—2：矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵 ． （1）求 的逆矩阵 ； （2）若点 P 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ，求点 P 的坐标． C．[选修 4—4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标系中，直线 l 的方程为 ，曲线 C 的方程为 ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长． D．[选修 4—5：不等式选讲](本小题满分 10 分) 若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 的最小值． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点． （1）求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值； （2）求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值． 23．(本小题满分 10 分) 设 ，对 1，2，···，n 的一个排列 ，如果当 s ( , )s ti i 1 2 ni i i 1 2 ni i i 逆序数．例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2．记 为 1，2，···，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个 数． （1）求 的值； （2）求 的表达式(用 n 表示)． ( )nf k 3 4(2), (2)f f (2)( 5)nf n ≥ 数学Ⅱ(附加题)参考答案 21．【选做题】 A．[选修 4—1：几何证明选讲] 本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分 10 分． 证明：连结 OC．因为 PC 与圆 O 相切，所以 OC⊥PC． 又因为 PC= ，OC=2， 所以 OP= =4． 又因为 OB=2，从而 B 为 Rt△OCP 斜边的中点，所以 BC=2． B．[选修 4—2：矩阵与变换] 本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分 10 分． 解：（1）因为 ， ，所以 A 可逆， 从而 ． （2）设 P(x，y)，则 ，所以 ， 因此，点 P 的坐标为(3，–1)． C．[选修 4—4：坐标系与参数方程] 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分 10 分． 解：因为曲线 C 的极坐标方程为 ， 所以曲线 C 的圆心为（2，0），直径为 4 的圆． 因为直线 l 的极坐标方程为 ， 则直线 l 过 A（4，0），倾斜角为 ， 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点． 设另一个交点为 B，则∠OAB= ． 连结 OB，因为 OA 为直径，从而∠OBA= ， 2 3 2 2PC OC+ 2 3 1 2  =   A det( ) 2 2 1 3 1 0= × − × = ≠A 1−A 2 3 1 2 − =  −  2 3 3 1 2 1 x y      =           1 3 3 1 1 x y −     = =     −     A =4cosρ θ πsin( ) 26 ρ θ− = π 6 π 6 π 2 所以 ． 因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 ． D．[选修 4—5：不等式选讲] 本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分 10 分． 证明：由柯西不等式，得 ． 因为 ，所以 ， 当且仅当 时，不等式取等号，此时 ， 所以 的最小值为 4． 22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用 空间向量解决问题的能力．满分 10 分． 解：如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中，设 AC，A1C1 的中点分别为 O，O1，则 OB⊥ OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以 为基底，建立空间直角坐标系 O−xyz． 因为 AB=AA1=2， 所以 ． （1）因为 P 为 A1B1 的中点，所以 ， 从而 ， 故 ． π4cos 2 36AB = = 2 3 2 2 2 2 2 2 2( )(1 2 2 ) ( 2 2 )x y z x y z+ + + + ≥ + + 2 2 =6x y z+ + 2 2 2 4x y z+ + ≥ 1 2 2 x y z= = 2 4 4 3 3 3x y z= = =， ， 2 2 2x y z+ + 1,{ },OB OC OO   1 1 10, 1,0 , 3,0,0 , 0,1,0 , 0, 1,( ) ( ) ( ) ( ) (2 , 3,0,2 , 0,1,2) ( )A B C A B C− − 3 1( , ,2)2 2P − 1 3 1( , ,2) (0,2,22 2 ),BP AC= =− −  1 1 1 | | | 1 4 | 3 10| cos , | 20| | | | 5 2 2 BP ACBP AC BP AC ⋅ − += = = ⋅ ×      因此，异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值为 ． （2）因为 Q 为 BC 的中点，所以 ， 因此 ， ． 设 n=（x，y，z）为平面 AQC1 的一个法向量， 则 即 不妨取 ， 设直线 CC1 与平面 AQC1 所成角为 ， 则 ， 所以直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值为 ． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证 能力．满分 10 分． 解：（1）记 为排列 abc 的逆序数，对 1，2，3 的所有排列，有 ， 所以 ． 对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列 中的位置只能是最后三个位置． 因此， ． （2）对一般的 n（n≥4）的情形，逆序数为 0 的排列只有一个：12…n，所以 ． 逆序数为 1 的排列只能是将排列 12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所 以 ． 为计算 ，当 1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将 n+1 添加进原排列，n+1 在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此， ． 3 10 20 3 1( , ,0)2 2Q 3 3( , ,0)2 2AQ = 1 1(0,2,2), (0,0,2)AC CC= =  1 0, 0, AQ AC   ⋅ = ⋅ =   n n 3 3 0,2 2 2 2 0. x y y z  + =  + = ( 3, 1,1)= −n θ 1 1 1 | | 2 5sin | cos |, | | | 55 2 CCCC CC | θ = = ⋅ × ⋅ = =   nn n 5 5 ( )abcτ (123)=0 (132)=1 (213)=1 (231)=2 (312)=2 (321)=3τ τ τ τ τ τ， ， ， ， ， 3 3 3(0) 1 (1) (2) 2f f f= = =， 4 3 3 3(2) (2) (1) (0) 5f f f f= + + = (0) 1nf = (1) 1nf n= − 1(2)nf + 1(2) (2) (1) (0) (2)n n n n nf f f f f n+ = + + = + 当 n≥5 时， ， 因此，n≥5 时， ． 1 1 2 5 4 4(2) [ (2) (2)] [ (2) (2)] [ (2) (2)] (2)n n n n nf f f f f f f f− − −= − + − + + − +… 2 4 2( 1) ( 2) 4 (2) 2 n nn n f − −= − + − +…+ + = (2)nf = 2 2 2 n n− −