历年全国卷高考数学真题汇编教师 24页

全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形 ‎（2019全国2卷文）8．若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=‎ A．2 B． ‎ C．1 D．‎ 答案：A ‎（2019全国2卷文）11．已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案：B ‎（2019全国2卷文）15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________.‎ 答案：‎ ‎（2019全国1卷文）15．函数的最小值为___________．‎ 答案：-4‎ ‎（2019全国1卷文）7．tan255°=（ ）‎ A． ‎－2－ B．－2+ C．2－ D．2+‎ 答案：D ‎（2019全国1卷文）11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，，则=（ ）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ 答案：A ‎（2019全国3卷理）‎ ‎18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC面积的取值范围．‎ ‎（1）由题设及正弦定理得．‎ 因为，所以．‎ 由，可得，故．‎ 因为，故，因此．‎ ‎（2）由题设及（1）知△ABC的面积．‎ 由正弦定理得．‎ 由于△ABC为锐角三角形，故，． ‎ 由（1）知，所以，故，从而．‎ 因此，△ABC面积的取值范围是 ‎（2019全国2卷理）15．的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．‎ 答案：‎ ‎（2019全国2卷理）9．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是 A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin2x│ ‎ C．f(x)=cos│x│ D．f(x)=sin│x│‎ 答案：A ‎（2019全国2卷理）10．已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=‎ A． ‎ B． C． D．‎ 答案：B ‎（2019全国1卷理）17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若，求sinC．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；（2）利用正弦定理可得，利用、两角和差正弦公式可得关于和的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.‎ ‎【详解】（1）‎ 即：‎ 由正弦定理可得：‎ ‎ ‎ ‎（2），由正弦定理得：‎ 又，‎ 整理可得：‎ ‎ ‎ 解得：或 因所以，故.‎ ‎（2）法二：，由正弦定理得：‎ 又，‎ 整理可得：，即 ‎ ‎ 由，所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.‎ ‎（2019全国1卷理）11.关于函数有下述四个结论：‎ ‎①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增 ‎③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2‎ 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．‎ ‎【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当 时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．‎ ‎（2018全国3卷文）11.的内角的对边分别为，若的面积为，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，而 故，‎ ‎【考点】三角形面积公式、余弦定理 ‎（2018全国3卷文）6.函数的最小正周期为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，(定义域并没有影响到周期)‎ ‎（2018全国3卷文）4.若，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎（2018全国2卷理）15. 已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.‎ 详解：因为，，‎ 所以，‎ 因此 点睛：三角函数求值的三种类型 ‎(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.‎ ‎(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.‎ ‎（2018全国2卷理）10. 若在是减函数，则的最大值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值 详解：因为，‎ 所以由得 因此，从而的最大值为，选A.‎ 点睛：函数的性质： ‎ ‎(1). (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由 求增区间; ‎ 由求减区间.‎ ‎（2018全国2卷理）6. 在中，，，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.‎ 详解：因为 所以，选A.‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ ‎（2018全国I卷理）17．（12分）‎ 在平面四边形中，，，，.‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）若，求 解：（1）在中，由正弦定理得.‎ 由题设知，，所以.‎ 由题设知，，所以.‎ ‎（2）由题设及（1）知，.‎ 在中，由余弦定理得 ‎.‎ 所以.‎ ‎（2018全国I卷理）16．已知函数，则的最小值是_____________．‎ ‎（2018全国I卷文）16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为　　．‎ ‎【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．‎ bsinC+csinB=4asinBsinC，‎ 利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，‎ 由于sinBsinC≠0，‎ 所以sinA=，‎ 则A=‎ 由于b2+c2﹣a2=8，‎ 则：，‎ ‎①当A=时，，‎ 解得：bc=，‎ 所以：．‎ ‎②当A=时，，‎ 解得：bc=﹣（不合题意），舍去．‎ 故：．‎ 故答案为：‎ ‎（2018全国I卷文）11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，‎ 终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，‎ ‎∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，‎ ‎∴|cosα|=，∴|sinα|==，‎ ‎|tanα|=||=|a﹣b|===．‎ 故选：B．‎ ‎（2018全国I卷文）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（  ）‎ ‎  A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3‎ ‎  B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4‎ C.f（x）的最小正周期为2π，最大值为3 ‎ D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4 ‎ ‎【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2， =2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x， =4cos2x+sin2x， =3cos2x+1， =， ‎ ‎=‎ ‎， 故函数的最小正周期为π， 函数的最大值为， ‎ 故选：B．‎ ‎1（2017全国I卷9题）已知曲线，，则下面结论正确的是（） A．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 【答案】 D 【解析】 ‎， 首先曲线、统一为一三角函数名，可将用诱导公式处理． ‎ ‎．横坐标变换需将变成， 即 ． 注意的系数，在右平移需将提到括号外面，这时平移至， 根据“左加右减”原则，“”到“”需加上，即再向左平移 ‎2 （2017全国I卷17题）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为． （1）求； （2）若，，求的周长．‎ 【解析】 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. （1）面积.且 由正弦定理得，‎ 由得. （2）由（1）得， 又 ，， 由余弦定理得 ① 由正弦定理得， ② 由①②得 ，即周长为 ‎3. (2017·新课标全国Ⅱ卷理17)17.（12分）‎ 的内角的对边分别为 ,已知．‎ ‎(1)求 ‎ ‎(2)若 , 面积为2,求 ‎ ‎【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．‎ ‎【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知，将转化为角的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简，结合求出；②利用二倍角公式，化简，两边约去，求得，进而求得.在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出．‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎【基本解法1】‎ 由题设及，故 上式两边平方，整理得 ‎ 解得 ‎ ‎【基本解法2】‎ 由题设及，所以，又，所以，‎ ‎（Ⅱ）由，故 又 由余弦定理及得 所以b=2‎ ‎【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．‎ ‎4 （2017全国卷3理）17．（12分）‎ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．‎ ‎（1）求c；‎ ‎（2）设为边上一点，且，求的面积．‎ ‎【解析】（1）由得，‎ 即，又，‎ ‎∴，得.‎ 由余弦定理.又∵代入并整理得，故.‎ ‎（2）∵，‎ 由余弦定理.‎ ‎∵，即为直角三角形，‎ 则，得.‎ 由勾股定理.‎ 又，则，‎ ‎.‎ ‎5 （2017全国卷文1）14 已知,tan α=2，则=__________。‎ ‎【答案】‎ ‎（法一） ，，‎ 又，解得，，．‎ ‎（法二）‎ ‎．又 ‎，，‎ 由知，，故 ‎6.（2017全国卷2 文） 3.函数的最小正周期为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，故选C.‎ ‎【考点】正弦函数周期 ‎【名师点睛】函数的性质 ‎(1).‎ ‎(2)周期 ‎(3)由 求对称轴 ‎(4)由求增区间; 由求减区间;‎ ‎7（2017全国卷2文）13.函数的最大值为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎8（2017全国卷2文）16.的内角的对边分别为,若,则 ‎ ‎【答案】 ‎ ‎9（2017全国卷3文） 4．已知，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎10 （2017全国卷3文）6．函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为（ ）‎ A． B．1 C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由诱导公式可得： ，‎ 则： ,‎ 函数的最大值为 .‎ 本题选择A选项.‎ ‎7．函数y=1+x+的部分图像大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A B ‎ D．‎ ‎ C D ‎【答案】D ‎1、（2016全国I卷12题）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 ‎（A）11         （B）9      （C）7         （D）5‎ ‎【答案】B 考点：三角函数的性质 ‎2、（2016全国I卷17题）（本小题满分12分）‎ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎（I）求C；‎ ‎（II）若的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（I）由已知及正弦定理得，，‎ ‎．‎ 故．‎ 可得，所以．‎ 考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 ‎3、（2015全国I卷2题）sin20°cos10°-con160°sin10°=‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=，故选D.‎ 考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式 ‎4、（2015全国I卷8题） 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 ‎(A)（）,k (b)（）,k ‎(C)（）,k (D)（）,k ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.‎ 考点：三角函数图像与性质 ‎5、（2015全国I卷16题）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 ‎ ‎【答案】（，）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.‎ 考点：正余弦定理；数形结合思想 ‎6. （2014全国I卷8题）设，，且，则 ‎. . . .‎ ‎【答案】：Ｂ ‎【解析】：∵，∴‎ ‎，‎ ‎∴，即，选B ‎7、（2014全国I卷16题）已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】：由且 ，‎ 即，由及正弦定理得：‎ ‎∴，故，∴，∴‎ ‎，∴，‎ ‎8、（2013全国I卷15题）设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______‎ ‎【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.‎ ‎【解析】∵==‎ 令=，，则==，‎ 当=，即=时，取最大值，此时=，∴===.‎ ‎9、（2013全国I卷17题）（本小题满分12分）‎ 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°‎ ‎(1)若PB=，求PA；‎ ‎(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA ‎【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得==，∴PA=；‎ ‎（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得，，化简得，，‎ ‎∴=，∴=.‎ ‎10、（2016全国II卷7题）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【解析】B 平移后图像表达式为，‎ 令，得对称轴方程：，‎ 故选B．‎ ‎11、（2016全国II卷9题）若，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】D ‎∵，，‎ 故选D．‎ ‎12、（2016全国II卷13题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ．‎ ‎【解析】 ‎ ‎∵，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 由正弦定理得：解得．‎ ‎13、（2015全国II卷17题）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ) 若=1，=求和的长.‎ ‎14、（2014全国II卷4题）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=( )‎ A. 5 B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【KS5U解析】‎ ‎15、（2014全国II卷14题）函数的最大值为_________.‎ ‎ 【答案】 1‎ ‎【KS5U解析】‎ ‎16、（2013全国II卷15题）设θ为第二象限角，若 ，则=_________.‎ ‎17、（2013全国II卷17题）（本小题满分12分）‎ ‎△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值。‎ ‎18、（2013全国III卷5题）若 ，则 ‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由，得或，所以 ‎，故选A．‎ 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．‎ ‎19、（2013全国III卷8题）在中，，BC边上的高等于,则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．‎ 考点：余弦定理．‎ ‎20、（2013全国III卷14题）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，＝‎ ‎，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．‎ 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．‎