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- 2021-05-14 发布
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2020 年高考模拟试题（一）
理科数学
时间：120 分钟 分值：150 分
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的
姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知 a ，b 都是实数，那么“ 2 2a b ”是“ 2 2a b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
2．抛物线 22 ( 0)x py p 的焦点坐标为（ ）
A． ,02
p
B． 1 ,08p
C． 0, 2
p
D． 10, 8p
3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ）
A．24 种 B．16 种 C．12 种 D．10 种
4．设 x ， y 满足约束条件
3 6 0
2 0
0, 0
x y
x y
x y
≤
≥
≥ ≥
，则目标函数 2z x y 的最小值为（ ）
A． 4 B． 2 C． 0 D． 2
5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数
学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”
的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）
A．5 B． 34 C． 41 D．5 2
6． sin ,0 0,xf x xx
大致的图象是（ ）
A． B． C． D．
7．函数 sin cos ( 0)f x x x 在 ,2 2
上单调递增，则 的取值不可能为
（ ）
A． 1
4
B． 1
5
C． 1
2
D． 3
4
8．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为 A ，从集合 A 中任取一个元素 a ，
则函数 ay x ， 0,x 是增函数的概率为（ ）
A． 3
5
B． 4
5
C． 3
4
D． 3
7
9．已知 A ， B 是函数 2xy 的图象上的相异两点，若点 A ， B 到直线 1
2y 的距离相等，
则点 A ， B 的横坐标之和的取值范围是（ ）
A． , 1 B． , 2 C． , 3 D． , 4
10．在四面体 ABCD 中，若 3AB CD ， 2AC BD ， 5AD BC ，则四面
体 ABCD 的外接球的表面积为（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D．8
11．设 1x 是函数 3 2
1 2 1n n nf x a x a x a x n N 的极值点，
数列 na 满足 1 1a ， 2 2a ， 2 1logn nb a ，若 x 表示不超过 x 的最大整数，则
1 2 2 3 2018 2019
2018 2018 2018
bb b b b b
=（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
12．已知函数 e e
x
x
af x a R 在区间 0,1 上单调递增，则实数 a 的取值范围（ ）
A． 1,1 B． 1, C． 1,1 D． 0,
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
13．命题“ 0 0x ， 2
0 0 2 0x mx ”的否定是__________．
14．在 ABC△ 中，角 B 的平分线长为 3 ，角
2π
3C
， 2BC ，则 AB __________．
15．抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，过 F 的直线与抛物线交于 A ， B 两点，且满足
4AF
BF
，
点 O 为原点，则 AOF△ 的面积为__________．
16．已知函数
22 3sin cos 2cos 02 2 2
x x xf x
的周期为
2π
3 ，当
π0 3x
，
时，函
数 g x f x m 恰有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
17、已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足 12 2n
n nS a .
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）若不等式 22 3 (5 ) nn n a 对 n N 恒成立，求实数 的取值范围.
18、在四棱锥 ABCD-P 中， PA 平面 ABCD，
ABC 是正三角形， AC与 BD 的交点为 M ，
又 0120CDACDAD4ABPA ，， ，点 N 是 CD 中点.
求证：（1）平面 PMN 平面 PAB ；
（2）求二面角 D-PC-B 的余弦值.
19、某高校在 2017 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩共分为
五组，得到如下的频率分布表：
组 号 分 组 频 数 频 率
第一组 [145,155） 5 0.05
第二组 [155,165） 35 0.35
第三组 [165,175） 30 a
第四组 [175,185） b c
第五组 [185,195） 10 0.1
（1）请写出频率分布表中 , ,a b c 的值，若同组中的每个数据用该组中间值代替，请估计全
体考生的平均成绩；
（2）为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样的
方法抽取 12 名考生进入第二轮面试.
①求第 3、4、5 组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试；
②从上述进入二轮面试的学生中任意抽取 2 名学生，记 X 表示来自第四组的学生人数，求 X
的分布列和数学期望；
③若该高校有三位面试官各自独立地从这 12 名考生中随机抽取 2 名考生进行面试，设其中
甲考生被抽到的次数为 Y，求 Y 的数学期望.
20、在平面直角坐标系中，已知抛物线 xy 82 ，O 为坐标原点，点 M 为抛物线上任意一
点，过点 M 作 x 轴的平行线交抛物线准线于点 P ，直线 PO 交抛物线于点 N .
（1）求证：直线 MN 过定点G ，并求出此定点坐标；
（2）若 M ，G ， N 三点满足 GNMG 4 ，求直线 MN 的方程.
21、已知函数 ( ) ln(1 ),f x mx m R .
（1）当 1m 时，证明： ( )f x x ；
（2）若 21( ) 2g x x mx 在区间 0,1 上不是单调函数，讨论 ( ) ( )f x g x 的实根的个数.
请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右
侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本
选考题的首题进行评分.
22、【选修 4——4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 3 2cos
4 2sin
x
y
，（ 为参数），以原点为
极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）已知平面直角坐标系 xOy 中： ( 2,0), (0, 2)A B ，M 是曲线C 上任意一点，求 ABM
面积的最小值.
23、【选修 4——5：不等式选讲】
已知函数 ( ) 2f x x .
（1）解不等式 ( ) 4 1f x x ；
（2）已知 2( 0, 0)a b a b ，求证： 5 4 1( )2x f x a b
.
2020 年高考模拟试题（一）
理科数学 答案及解析
1、【答案】D
【解析】 p ： 2 2a b a b ， q ： 2 2a b a b ， a b 与 a b 没有包含
关系，故为“既不充分也不必要条件”．故选 D．
2、【答案】B
【解析】化为标准方程得 2 1
2y xp
，故焦点坐标为 1 ,08p
．故选 B．
3、【答案】C
【解析】根据题意，车的行驶路线起点有 4 种，行驶方向有 3 种，所以行车路线
共有4 3=12 种，故选 C．
4、【答案】A
【解析】
如图，过 2,0 时， 2z x y 取最小值，为 4 ．故选 A．
5、【答案】D
【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：
其 中 PA 平 面 ABCD ， ∴ 3PA ， 4AB CD ， 5AD BC ， ∴
9 16 5PB ， 9 16 25 5 2PC ， 9 25 34PD ．该几何体最长
棱的棱长为5 2 ．故选 D．
6、【答案】D
【解析】由于函数 sin ,0 0,xf x xx
是偶函数，故它的图象关于 y 轴
对称，再由当 x 趋于时，函数值趋于零，故答案为：D．
7、【答案】D
【解析】∵ sin cos 2 sin ( 0)4f x x x x
，
∴令 2 22 4 2k x k ≤ ≤ ，k Z ，即 2 3 2
4 4
k kx
≤ ≤ ，k Z ，
∵ sin cos ( 0)f x x x 在 ,2 2
上单调递增，∴
4 2
≤ 且 3
4 2
≥ ，
∴ 10 2
≤ ，故选 D．
8、【答案】A
【解析】由框图可知 3,0, 1,8,15A ，其中基本事件的总数为 5，设集合中满
足“函数 ay x ， 0,x 是增函数”为事件 E，当函数 ay x ， 0,x 是增
函数时， 0a＞ ，事件 E 包含基本事件的个数为 3，则 3
5P E ．故选：A．
9、【答案】B
【解析】设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，不妨设 1 2x x ，函数 2xy 为单调增函数，若
点 A ， B 到 直 线 1
2y 的 距 离 相 等 ， 则 1 2
1 1
2 2y y ， 即 1 2 1y y ． 有
1 22 2 1x x ．由基本不等式得： 1 2 1 22 2 2 2 2x x x x ≥ ，整理得 1 2 12 4
x x ≤ ，解得
1 2 2x x ．（因为 1 2x x ，等号取不到）．故选 B．
10、【答案】C
【解析】如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分
别为 a ，b ， c ，则
2 2
2 2
2 2
5
4
3
a b
a c
b c
，三式相加得： 2 2 2 6a b c ，所以该四面体
的外接球直径为长方体的体对角线长，故外接球体积为： 24 6R ．
11、【答案】A
【解析】由题意可得 2
1 23 2n n nf x a x a x a ，∵ 1x 是函数 f x 的极值点，
∴ 1 21 3 2 0n n nf a a a ， 即 2 13 2 0n n na a a ． ∴
2 1 12n n n na a a a ，
∴ 2 1 1a a ， 3 2 2 1 2a a ， 2
4 3 2 2 2a a ，， 2
1 2n
n na a
，
以上各式累加可得 12n
na ．∴ 2 1 2log log 2n
n nb a n ．
∴
1 2 2 3 2018 2019
2018 2018 2018
b b b b b b
1 1 12018 1 2 2 3 2018 2019
12018 1 2019
20182018 2019
12017 2019
．
∴
1 2 2 3 2018 2019
2018 2018 2018 2017bb b b b b
．选 A．
12、【答案】C
【解析】当 0a 时， e e
x
x
ay 在 1, ln2 a
上为减函数，在 1 ln ,2 a
上为
增函数，且 e 0e
x
x
ay 恒成立，若函数 e e
x
x
af x a R 在区间 0,1 上单
调递增，
则 e e
x
x
ay 在区间 0,1 上单调递增，则 1 ln 02 a≤ ，解得 (0,1a ，
当 0a 时， e ee
x x
x
af x 在区间 0,1 上单调递增，满足条件．
当 0a 时， e e
x
x
ay 在 R 上单调递增，令 e 0e
x
x
ay ，则 lnx a ，
则 e e
x
x
af x 在0,ln a 上为减函数，在 ln ,a 上为增函数，
则ln 0a ≤ ，解得 1a ≥ ，综上所述，实数a 的取值范围 1,1 ，故选 C．
13、【答案】 0x ， 2 2 0x mx ．
【解析】命题“ 0 0x ， 2
0 0 2 0x mx ”的否定是“ 0x ， 2 2 0x mx ”．
即答案为 0x ， 2 2 0x mx ．
14、【答案】 6 ．
【解析】设角 B 的平分线为 BD ，由正弦定理得 sin sin
BC BD
BDC C
，即
2 3
sin sin120BDC
，
得
2sin 2BDC
， 45BDC ， 15CBD DBA ， 30A ， 6AB ．即答案为 6 ．
15、【答案】 2 ．
【解析】如图，
由题可得 2p ， 1,0F ，由
4AF
BF
，所以 1 4 1A Bx x ，又根据 ACF BDF△ ∽△ 可得
F
CF
DF
AF
B
，即
4A
B
x OF
OF x
，即
1 41
A
B
x
x
，可以求得 4Ax ，
1
4Bx
，所以 A 点的坐标
为 4 4A ， 或 4, 4A ，
1 1 4 22S
，即答案为 2．
16、【答案】 3 2 ， ．
【解析】由题得
π3sin cos 1 2sin 16f x x x x ．
2π 2π
3T
， 3 ．
∴
π2sin 3 16f x x ．∵
π0 3x
，
，∴
π π 7π36 6 6x
， 0 3f x ．
由 0g x f x m 得 f x m ，即 y f x 的图象与直线 y m 恰有两个交点，结合
图象可知 2 3m ，即 3 2m ．故填 3 2 ， ．
17、解析：（1）当 1n 时， 12 2n
n nS a ，即 2
1 1 12 2S a a ，得 1 4a ;
当 2n 时，有 -1 -12 2n
n nS a ，
则 12 2 2n
n n na a a ，得 12 +2n
n na a ，
所以 1
1 12 2
n n
n n
a a
，所以数列
2
n
n
a
是以 2 为首项，1为公差的等差数列.
所以 = 12
n
n
a n ，即 ( 1) 2n
na n .
（2）原不等式即 ( 1)(2 3) (5 )( 1)2 nn n n ，等价于 2 35 2n
n .
记 2 3
2n n
nb ，则 5 nb 对 n N 恒成立，所以 max5 ( )nb .
+1 1 1
2 1 2 3 5 2
2 2 2n n n n n
n n nb b
，当 1,2n 时， 15 2 0, n nn b b ，即
1 2 3b b b ；当 2,n n N 时， 15 2 0, n nn b b ，即 3 4 5b b b ；所
以数列 nb 的最大项为 3
3
8b ，所以 35 8
，解得 37
8
.
18、解（1）证明：在正三角形 ABC 中， BCAB ，
在 ACD 中， CDAD ，
又 BDBD ，所以 ABD BCD ，
所以 M 为 AC的中点，又点 N 是 CD 中点，所以 MN//AD
因为 PA 平面 ABCD，所以 ADPA ，又 0120CDA ， CDAD ,
所以 030DAC 又 060BAC ， ABAD ，又 ADPA ，
所以 PABAD 平面 ，已证 MN//AD，所以 PABMN 平面 ，
又 PMNMN 平面 ，所以平面 PMN 平面 PAB ；
（2）如图所示以 A 为原点， 轴轴、轴、所在直线分别为、、 zyxAPADAB 建立空间
直角坐标系。
已知 0120CDA4ABPA ， ， ABC 是正三角形，
则 ），，（ 000A ），，（ 004B ），，（ 0322C ），，（ 03
340D ），，（ 400P
所以 ），，（ 4-322PC ），，（ 0322-BC ），，（ 03
322DC
设平面 PBC的一个法向量为 ),,( 111 zyxm
由
0BC
0PC
m
m
0322
04322
11
111
yx
zyx
令 31 x ，则 3,1 11 zy ，所以 )3,1,3( m
设平面 PDC的一个法向量为 ),,( 222 zyxn
由
0DC
0PC
n
n
03
322
04322
22
222
yx
zyx
令 32 x ，则 3,3 22 zy ，所以 )3,3,3( n
所以
35
105
||||
,cos
nm
nmnm
所以二面角 D-PC-B 的余弦值为-
35
105 .
19、解：（1）由题意知，
0.3, 20, 0.2, =150 0.05+160 0.35+170 0.3+180 0.2+190 0.1=169.5a b c X
（2）①第 3、4、5 组共 60 名学生，现抽取 12 名，因此第三组抽取的人数为 12 30=660
人，
第四组抽取的人数为 12 20=460
人，第五组抽取的人数为 12 10=260
人.
② X 所 有 可 能 的 取 值 为 0 ， 1 ， 2 ，
0 2
4 8
2
12
28 14( 0) 66 33
C CP X C
，
1 1
4 8
2
12
32 16( 1) 66 33
C CP X C
，
2 0
4 8
2
12
6 1( 2) 66 11
C CP X C
；
X 的分布列为：
X 0 1 2
P
14
33
16
33
111
∴EX=0×1433+1×1633+2×111=23
③从 12 名考生中随机抽取 2 人，考生甲被抽到参加面试的概率为
1 1
1 11
2
12
1( 2) 6
C CP X C
则 1~ (3, )6Y B ， 1 13 6 2EY .
20、解析：
（1）由题意得抛物线准线方程为 2x ，设 ),2( mP ，故 ),8(
2
mmM ，从而直线OP 的
方程为 xmy 2
，联立直线与抛物线方程得
xmy
xy
2
82
，解得 )16,32( 2 mmN ，
故直线 MN 的方程为 )8(
16
8 2
2
mx
m
mmy
，整理得 )2(16
8
2 xm
my ，
故直线 MN 恒过定点 )0,2(G .
（2）由（1）可设直线 MN 的方程为 2 kyx ，联立直线与抛物线方程得
2
82
kyx
xy
消元整理得 01682 kyy ，设 ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN ，
则由韦达定理可得 kyy 821 ， 1621 yy ，
因为 GNMG 4 ，故 ),2(4),2( 2211 yxyx ，得 4
2
1
y
y ，
联立两式
16
4
21
2
1
yy
y
y
，解得
2
8
2
1
y
y 或
2
8
2
1
y
y ，代入 kyy 821 ，
解得
4
3k 或
4
3k ，故直线 MN 的方程为 24
3 xy 或 24
3 xy ，
化简得 0834 yx 或 0834 yx .
21、解析： (1)根据题意,令 ( ) ln(1 ) ,F x x x 所以 ' 1( ) 11 1
xF x x x
,
当 0,x 时, ' ( ) 0F x ,当 1,0x 时, ' ( ) 0F x
所以 max( ) (0) 0F x F ,故 ( )f x x .
(2) 因 为 函 数 g( )x 的 对 称 轴 轴 方 程 为 x m , 所 以 0 1m . 据 题 意 , 令
21( ) ln(1 ) 2G x mx mx x ,所以 '
1( )
( ) 1
mx x m mG x mx
,
令 G'(x)=0,解得 1 0x 或 2
1x m m
，
函 数 G(x) 的 定 义 域 为 1 ,m
因 为 1 0m m
且 1 1mm m
， 由 此 得 :
1 1,x mm m
时,1+mx>0,mx<0, 1( ) 0x m m
此时,G'(x)≥0 同理得: 1( ,0]x m m
时, ' ( ) 0G x ， 0x 时 ' ( ) 0G x ∴G(x)在 1 1,mm m
上单调递递增,在 1( ,0]m m
上
单调递减,在 (0, ) 上单调递增，故 1 0m xm
时,G(x)>G(0)=0,x>0 时,G(x)>G(0)=0，G(x)
在 1( , )m m
有且只有 1 个零点 x=0，
G(x)在 1( ,0)m m
上单调递减,所以 1( ) (0) 0G m Gm
，
由(1)代换可知 ln 1x x ， 2 2 2
1 1 1ln 1 1m m m
， 2
1 1
2
1 mem
， 2
1 1 2me m
，
则
2
1 1
me mm
，
2
1 1
1 1 0
me mm m
，
2
1 1
1 1mexm m
时， 2
1ln(1 ) 1mx m
，而 2 2
2
1 1 12 x mx x mx m
得 2
2 2
1 1 1( ) ln(1 ) 1 1 02G x mx mx x m m
又函数 G(x)在 1 1,mm m
上单调递增，
2
1 1
1 1me mm m
，
由函数零点定理得, 0
1 1( , ),x mm m
使得 0( ) 0G x ，
故 (0,1)m 时方程 ( ) ( )f x g x 有两个实根.
22、解析：（1）由 3 2cos
4 2sin
x
y
，得 2 2( 3) ( 4) 4x y ，
将 cos
sin
x
y
代入得 2 6 cos 8 sin 21 0 ，即为曲线 C 的极坐标方程.
（2）设点 (3 2cos ,4 2sin )M 到直线 2 0AB x y ： 的距离为 d ，则
2 2 sin( ) 92sin 2cos 9 4=
2 2
d
， 当 sin( ) 14
时 ， d 有 最 小 值
9 2 2
2
，所以 ABM 面积 1 9 2 22S AB d .
23、解析：（1）不等式 ( ) 4 1f x x ，即 1 + 2 4x x ，
当 2x 时，不等式化为 ( 1) ( 2) 4x x ，解得 3.5x ；
当 2 1x 时，不等式化为 ( 1)+( 2) 4x x ，无解；
当 1x 时，不等式化为 ( 1)+( 2) 4x x ，解得 0.5x ；
综上所述：不等式的解集为 , 3.5 0.5, .
（2） 4 1 1 4 1 1 4= (4 1) 4.52 2
b aa ba b a b a b
（ ） ，
当且仅当 4 2,3 3a b ，等号成立.
由题意知， 5 5 5( ) 2 ( 2) 4.52 2 2x f x x x x x ，
所以 5 4 1( )2x f x a b
.
绝密 ★ 启用前
2020 年高考模拟试题（二）
理科数学
时间：120 分钟 分值：150 分
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的
姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知 aR， i 为虚数单位．若复数 i
1 i
az
是纯虚数．则a的值为（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
2．设 2 i 3 i 3 5 ix y （i 为虚数单位），其中 x ，y是实数，则 ix y 等于（ ）
A．5 B． 13 C． 2 2 D．2
3．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的 6 次数学测试的分数进行
统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是 x甲 ， x乙 ，则
下列说法正确的是（ ）
A． x x甲 乙 ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
B． x x甲 乙 ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
C． x x甲 乙 ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
D． x x甲 乙 ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
4．正方形 ABCD中，点E， F 分别是 DC ， BC 的中点，那么 EF （ ）
A． 1 1+2 2AB AD
B． 1 1
2 2AB AD
C ． 1 1
2 2AB AD
D． 1 1
2 2AB AD
5．已知双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
是离心率为 5 ，左焦点为 F ，过点 F 与 x 轴垂
直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点 M ， N ，若 OMN△ 的面积为 20，其中 O 是
坐标原点，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． 2 2
12 8
x y B． 2 2
14 8
x y C． 2 2
18 2
x y D． 2 2
18 4
x y
6．一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A． 4π B．5π C．8π D．9π
7．执行如下图的程序框图，若输入 a 的值为 2，则输出S的值为（ ）
A． 3.2 B． 3.6 C． 3.9 D． 4.9
8． 已 知 函 数 f x 在 定 义 域 0 ， 上 是 单 调函 数 ， 若 对 于任 意 0x ， ， 都 有
1 2f f x x
，则 1
5f
的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．己知 m、n为异面直线，m 平面 ，n 平面 ．直线l 满足l m ，l n ，l ，
l ，则（ ）
A． ∥ ，且 l ∥ ， l ∥ B． ，且 l ∥ ， l ∥
C． 与 相交，且交线垂直于l D． 与 相交，且交线平行于 l
10．已知三棱柱 1 1 1ABC ABC 的六个顶点都在球 O 的球面上，球 O 的表面积为194π ，
1AA平面 ABC ， 5AB ， 12BC ， 13AC ，则直线 1BC 与平面 1 1ABC所成角的正弦
值为（ ）
A． 5 3
52 B． 7 3
52 C． 5 2
26 D． 7 2
26
11．已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的短轴长为 2，上顶点为 A ，左顶点为 B ， 1F ， 2F 分
别是椭圆的左、右焦点，且 1FAB△ 的面积为 2 3
2
，点 P 为椭圆上的任意一点，则
1 2
1 1
PF PF
的取值范围为（ ）
A． 12， B． 2 3 ， C． 2 4 ， D． 14，
12．已知定义在 R 上的偶函数 f x 在 0 ， 上单调递减，若不等式
ln 1 ln 1 2 1f ax x f ax x f 对任意 1 3x ， 恒成立，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A． 1 2 ln 3
e 3
， B． 1 ee
， C． 1
e
， D． 2 e，
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
13．已知实数 x ， y 满足
3 0
2 4 0
2 8 0
x y
x y
x y
，则 2z x y 的最小值为_________．
14．已知向量 2 3a ， ， 6m b ， ，若 a b ，则 2 a b ___________．
15．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 2 1n nS a ，则数列 1
na
的前 6 项和为____．
16．抛物线 2 2 ( 0)y px p 的焦点为 F ，准线为l ， A 、B 是抛物线上的两个动点，且满
足
3AFB ．设线段 AB 的中点 M 在l 上的投影为 N ，则 MN
AB
的最大值是_____．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12 分）已知 na 是等比数列， 1 2a ，且 1a ， 3 1a ， 4a 成等差数列．
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）若 2logn nb a ，求数列 nb 前 n 项的和．
18．（12 分）某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其
质量指标值为 k ，当 85k 时，产品为一级品；当 75 85k 时，产品为二级品，当
70 75k 时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做实验，各生
产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视
频率为概率)
A 配方的频数分配表：
指标值分组 75 80， 80 85， 85 90， 90 95，
频数 10 30 40 20
B 配方的频数分配表：
指标值分组 70 75， 75 80， 80 85， 85 90， 90 95，
频数 5 10 15 40 30
（1）若从 B 配方产品中有放回地随机抽取 3 件，记“抽出的 B 配方产品中至少 1 件二级品”
为事件C ，求事件 C 发生的概率 P C ；
（2）若两种新产品的利润率 y 与质量指标 k 满足如下关系：
2
2
85
5 75 85
70 75
t k
y t k
t k
，
，
， ，其中
1 1
7 6t
，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？
19．（12 分）如图，四边形 ABCD 中，AB AD ，AD BC∥ ， 6AD ， 2 4BC AB ，
E ，F 分别在 BC ，AD 上，EF AB∥ ，现将四边形 ABCD 沿 EF 折起，使平面 ABEF
平面 EFDC ．
（1）若 1BE ，在折叠后的线段 AD 上是否存在一点 P ，且 AP PD
，使得 CP∥平
面 ABEF ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；
（2）当三棱锥 A CDF 的体积最大时，求二面角 E AC F 的余弦值．
20．（12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，离心率等于
1
2 ，它的一个长轴端点恰好是抛物线
2 16y x 的焦点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知 2 3P ， ， 2 3Q ， 是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点．
①若直线 AB 的斜率为
1
2 ，求四边形 APBQ 面积的最大值．
②当 A ，B 运动时，满足 APQ BPQ ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由．
21．（12 分）已知函数
3 2 34 3 cos cos16f x x x
，其中 x R ， 为参数，且
0 2π ．
（1）当 cos 0 时，判断函数 f x 是否有极值．
（2）要使函数 f x 的极小值大于零，求参数 的取值范围．
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数 ，函数 f x 在区间 2 1a a ， 内都是
增函数，求实数 a 的取值范围．
请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是 4sin 0 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平
面直角坐标系，直线l 过点 10M ， ，倾斜角为
3 π4 ．
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线 的参数方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于 A ， B 两点，求 MA MB 的值．
23．（10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 2f x x ．
（1）解不等式 1 5f x f x ；
（2）若 1a ，且
bf ab a f a
，证明： 2b ．
2020 年高考模拟试题（二）
理科数学 答案及解析
1、【答案】C
【解析】由题意，复数
i 1 i 1 1 ii
1 i 1 i 1 i 2
a a aaz
为纯虚数，
则 1 0a ，即 1a ，故选 C．
2、【答案】A
【解析】由 2 i 3 i 3 5 ix y ，得 6 3 2 i 3 5 ix x y ，
∴ 6 3
3 2 5
x
x y
，解得 3
4
x
y
，∴ i 3 4i 5x y ．选 A．
3、【答案】D
【解析】由茎叶图可知，甲的平均数是 72 78 79 85 86 92 826
，
乙的平均数是 78 86 88 88 91 93 876
，所以乙的平均数大于甲的平均数，即 x x甲 乙 ，
从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛，故选 D．
4、【答案】D
【 解 析 】 因 为 点 E是 CD 的 中 点 ， 所 以 1
2EC AB ， 点 F 是 BC 的 中 点 ， 所 以
1 1
2 2CF CB AD ，
所以 1 1
2 2EF EC CF AB AD ，故选 D．
5、【答案】A
【解析】由 5c
a
可得 2 25c a ，∴ 2 2 25a b a ，故 2
2 4b
a
．
∴双曲线的渐近线方程为 2y x ，由题意得 ,2M c c ， , 2N c c ，
∴ 1 4 202OMNS c c △ ，解得 2 10c ，∴ 2 2a ， 2 8b ，
∴双曲线的方程为 2 2
12 8
x y ．选 A．
6、【答案】D
【解析】由三视图可知几何体的原图如下图所示：
在图中 AB平面 BCD ， BC BD ， 2BC ， 1BD ， 2AB ．
由于 BCD△ 是直角三角形，所以它的外接圆的圆心在斜边的中点 E ，且 1 5
2 2r CD ，
设外接球的球心为 O ，如图所示，由题得 2 2 25 91 ( )2 4R ，
所以该几何体的外接球的表面积为 2 94π 4π 9π4R ，故选 D．
7、【答案】C
【解析】运行框图中的程序可得
① 1k ， 21 22S ，不满足条件，继续运行；
② 2k ， 2 82 =3 3S ，不满足条件，继续运行；
③ 3k ， 8 2 19+ =3 4 6S ，不满足条件，继续运行；
④ 4k ， 19 2 107
6 5 30S ，不满足条件，继续运行；
⑤ =5k ， 107 2 117= + = =3 930 6 30S ．，满足条件，停止运行，输出 =39S ．．选 C．
8、【答案】B
【解析】因为函数 f x 在定义域 0 ， 上是单调函数，且 1 2f f x x
，所以 1f x x
为一个常数，令这个常数为 n ，则有 1f x nx
，且 2f n ，将 2f n 代入上式可得
1 2f n nn
，解得 1n ，所以 11f x x
，所以 1 65f
，故选 B．
9、【答案】D
【解析】 m 平面 ，直线 l 满足l m ，且 l ，所以 l ∥ ，
又 n 平面 ， l n ，l ，所以 l ∥ ，
由直线 m、n为异面直线，且 m 平面 ， n 平面 ，
则 与 相交，否则，若 ∥ 则推出 m n∥ ，与 m、n异面矛盾，
故 与 相交，且交线平行于 l ．故选 D．
10、【答案】C
【解析】由 5AB ， 12BC ， 13AC ，得 2 22 +AB BC AC ，∴ AB BC ．
设球半径为 R ， 1AA x ，则由 1AA平面 ABC 知 1AC为外接球的直径，
在 1Rt AAC△ 中，有 22 213 2x R ，又 24π 194πR ，∴ 24 194R ，∴ 5x ．
∴
1 1
30 2AB CS △ ，
1
25
2ABBS △ ．
设点 B 到平面 1 1ABC的距离为d，
则由
1 1 1 1B ABC C ABBV V ，得 1 1 2530 2 123 3 2d ，
∴ 5 2
2d ，又 1 13BC ，∴直线 1BC 与平面 1 1ABC所成角正弦值为
1
5 2
26
d
BC
．选 C．
11、【答案】D
【解析】由已知得 2 2b ，故 1b ；∵ 1FAB△ 的面积为 2 3
2
，
∴ 1 2 3
2 2a c b ，∴ 2 3a c ，又 2 2 2 1a c a c a c b ，
∴ 2a ， 3c ，∴
1 2
2
1 2 1 2 1 1 1 1
1 1 2 4
4 4
PF PF a
PF PF PF PF PF PF PF PF
，
又 12 3 2 3PF ，∴ 2
1 11 4 4PF PF ，∴
1 2
1 11 4PF PF
．
即
1 2
1 1
PF PF
的取值范围为 14，．选 D．
12、【答案】A
【解析】因为定义在 R 上的偶函数 f x 在 0 ， 上递减，所以 f x 在 0 ， 上单调递
增，
若不等式 ln 1 ln 1 2 1f ax x f ax x f 对于 1 3x ， 上恒成立，
则 2 ln 1 2 1f ax x f 对于 1 3x ， 上恒成立，
即 ln 1 1f ax x f 对于 1 3x ， 上恒成立，
所以 1 ln 1 1ax x 对于 1 3x ， 上恒成立，即 0 ln 2ax x 对于 1 3x ， 上恒成立，
令 lng x ax x ，则由 1 0g x a x
，求得 1x a
，
（1）当 1 1a
时，即 0a 或 1a 时， 0g x 在 1 3， 上恒成立， g x 单调递增，
因 为最 小值 1 0g a ， 最大 值 3 3 ln3 2g a ， 所以 2 ln30 3a ， 综上 可得
2 ln31 3a ；
（2）当 1 3a
，即 10 3a 时， 0g x 在 1 3， 上恒成立， g x 单调递减，
因为最大值 1 2g a ，最小值 3 3 ln3 0g a ，所以 ln3 23 a ，综合可得， a 无解，
（3）当 11 3a
，即 1 13 a 时，在 11 a
， 上， 0g x 恒成立， g x 为减函数，
在 1 3a
， 上， 0g x 恒成立， g x 单调递增，
故函数最小值为 1 11 lng a a
， 1g a ， 3 3 ln 3g a ， 3 1 2 ln3g g a ，
①若 2 ln3 0a ，即 ln 3 1a ，因为 3 1 0g g ，则最大值为 3 3 ln 3g a ，
此时，由 11 ln 0a
， 3 3 ln3 2g a ，求得 1 2 ln3
e 3a ，综上可得 ln 3 1a ；
②若 2 ln3 0a ，即 1 1 ln3 ln 33 2a ，因为 3 1 0g g ，则最大值为 1g a ，
此时，最小值 11 ln 0a
，最大值为 1 2g a ，求得 1 2e a ，综合可得 1 ln 3e a ，
综合（1）（2）（3）可得 2 ln31 3a 或 ln 3 1a 或 1 ln 3e a ，即 1 2 ln3
e 3a ．故
选 A．
13、【答案】5
【解析】作可行域，则直线 2z x y 过点 2 1A ， 时 z 取最小值5，
14、【答案】13
【解析】由题意得 2 18 0m ， 9m ， 2 13,0 a b ， 2 13 a b ．
15、【答案】 63
32
【解析】由题意得 -1 12 1 2n nS a n ， 12 2n n na a a ， 12n na a ，
因为 1 12 1S a ， 1 1a ， 12n
na ，
11 1
2
n
na
，
数列 1
na
的前 6 项和为
611 632
1 321 2
．
16、【答案】1
【解析】设 AF a ，BF b ，如图，根据抛物线的定义，可知 AF AQ ，BF BP ，
再 梯 形 ABPQ 中 ， 有 1
2MN a b ， ABF△ 中 ，
2 22 2 2 22 cos 33AB a b ab a b ab a b ab ，又因为
2
2
a bab
，所以
2
2
4 2
a b a bAB AB
，所以
1
2 1
2
a bMN
a bAB
，故最大值是1，故填：1．
17、【答案】（1） 1 *2 2 2n n
na n N ；（2）
*1
2n
n nS n
N
．
【解析】（1）设数列 na 公比为 q ，则
2 2
3 1· 2a a q q ，
3 3
4 1· 2a a q q ，因为 1a ， 3 1a ，
4a 成等差数列，所以 1 4 32 1a a a ，即 3 22 2 2 2 1q q ，
整理得 2 2 0q q ，
因为 0q ，所以 2q ，
所以 1 *2 2 2n n
na n N ．
（2）因为 2 2log log 2n
n nb a n ，
所以
*
1 2
11 2 2n n
n nS b b b n n
N
．
18、【答案】（1）
37
64P C
；（2）投资 A 配方产品的平均利润率较大．
【解析】（1）由题意知，从 B 配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为
1
4 ，则没有抽
中二级品的概率为
3
4 ，所以，
33 371 4 64P C ．
（2） A 配方立品的利润分布列为
y t 25t
p 0 6． 0 4．
所以 20 6 2AE y t t ． ．
B 配方产品的利润分布列为
y t 25t 2t
p 0 7． 0 25． 0 05．
所以 20 7 13BE y t t ． ． ，因为
1 1
7 6t
，所以
7 1 010 7A BE y E y t t ．
所以投资 A 配方产品的平均利润率较大．
19、【答案】（1）在 AD 存在一点 P ，且
3
2AP PD
，使CP∥平面 ABEF ；（2）
3 65
65 ．
【解析】（1）在折叠后的图中过C 作CG FD ，交 FD于 G ，过 G 作GP FD 交 AD 于
P ，
连结 PC ，在四边形 ABCD 中， EF AB∥ ， AB AD ，所以 EF AD ．
折起后 AF EF ， DF EF ，
又平面 ABEF 平面 EFDC ，平面 ABEF 平面 EFDC EF ，所以 FD 平面 ABEF ．
又 AF 平面 ABEF ，所以 FD AF ，所以 CG EF∥ ， PG AF∥ ，
3
2
AP FG
PD GD
，
因为CG PG G ，EF AF F ，所以平面CPG∥平面 ABEF ，因为CP 平面CPG ，
所以 CP∥平面 ABEF ．
所以在 AD 存在一点 P ，且
3
2AP PD
，使 CP∥平面 ABEF ．
（2）设 BE x ，所以 (0 4)AF x x ， 6FD x ，
故
221 1 1 12 6 6 9 33 2 3 3A CDFV x x x x x ，
所以当 3x 时， A CDEV 取得最大值．
由（1）可以 F 为原点，以 FE ， FD ， FA 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直
角坐标系，则 0 0 3A ，， ， 0 3 0D ，， ， 210C ，， ， 2 0 0E ，， ，所以 2 0 3AE ，， ，
21 3AC ，， ， 0 0 3FA ，， ， 21 0FC ，， ，设平面 ACE 的法向量 1 1 1 1x y zn ， ， ，
则
1
1
· 0
· 0
AC
AE
n
n
，即
1 1 1
1 1
2 3 0
2 3 0
x y z
x z
，
令 1 3x ，则 1 0y ， 1 2z ，则 1 3 0 2n ，， ，
设平面 ACF 的法向量 2 2 2 2x y zn ， ， ，
则
2
2
· 0
· 0
FA
FC
n
n
，即
2
2 2
3 0
2 0
z
x y
，
令 2 1x ，则 2 2y ， 2 0z ，则 2 1 2 0 n ， ， ，
所以
1 2
1 2
1 2
· 3 3 65cos 6513 5
n nn n n n,
．
所以二面角 E AC F 的余弦值为
3 65
65 ．
20、【答案】（1）
2 2
116 12
x y
；（2）①12 3 ．② AB 的斜率为定值
1
2 ．
【解析】（1）因为抛物线方程
2 16y x ，所以抛物线焦点为 4 0， ．
所以 4a ，又 2 2 2a b c ，
1
2
ce a
，
所以 2 16a ， 2 12b ．
所以椭圆C 的方程为
2 2
116 12
x y
．
（2）①设 1 1A x y， ， 2 2B x y， ，
设直线 AB 的方程为
1
2y x t
，
联立
2 2
1
2
116 12
y x t
x y
消 y ，得 2 2 12 0x tx t ，
2 24 12 0t t ，又 A ， B 在直线 PQ 两侧的动点，所以 4 2t ．
所以 1 2x x t ，
2
1 2 12x x t ．
又 2 3P ， ， 2 3Q ， ，
所以
2 2
1 2 1 2 1 2
1 6 3 4 3 48 3 ( 4 2)2APBQS x x x x x x t t 四边形
，
当 0t 时，四边形 APBQ 面积取得最大值为12 3 ．
②当 APQ BPQ 时， AP ， BP 斜率之和为 0 ．
设直线 PA 的斜率为 k ，则直线 BP 的斜率为 k ．
设 PA 的方程为 3 2y k x ，联立
2 2
3 2
3 4 48
y k x
x y
，
消 y 得， 2 2 2 23 4 8 3 2 4 4 9 12 48 0k x k k x k k ，
所以
1 2
8 2 32 3 4
k kx k
，同理
2 2
8 2 32 3 4
k kx k
．
所以
2
1 2 2
16 12
3 4
kx x k
， 1 2 2
48
3 4
kx x k
所以
1 22 1
2 1 1 2
4 1
2AB
k x x ky yk x x x x
．
所以 AB 的斜率为定值
1
2 ．
21、【答案】（1） f x 无极值；（2）
π π 3π 11π
6 2 2 6
， ，
；（3）
4 30 18
， ，
．
【解析】（1）当 cos 0 时， 34f x x ，x R ，所以 212 0f x x ，所以 f x 无
极值．
（2）因为 212 6 cosf x x x ，
设 0f x ，得 1 0x ， 2
cos
2x
，
由（1），只需分下面两情况讨论：
①当 cos 0 时，
当 0x ， 时， 0f x ， f x 单调递增；
当
cos0 2x
，
时， 0f x ， f x 单调递减；
当
cos
2x
，
时， 0f x ， f x 单调递增．
所以当
cos
2x
时， f x 取得极小值，
极小值
3cos 1 3cos cos2 4 16f ，
要使
cos 02f ，则有
31 3cos cos 04 16
，
所以
30 cos 2
，
因为 0 2π ，故
π π
6 2
或
3π 11π
2 6
；
②当 cos 0 时，
当
cos
2x
，
时， 0f x ， f x 单调递增；
当
cos 02x
，
时， 0f x ， f x 单调递减；
当 0x ， 时， 0f x ， f x 单调递增；
所以当 0x 时， f x 取得极小值．
极小值
30 cos16f
．
若 0 0f ，则 cos 0 ，矛盾．
所以当 cos 0 时， f x 的极小值不会大于零．
综 上 所 述 ， 要 使 函 数 f x 在 R 内 的 极 小 值 大 于 零 ， 参 数 的 取 值 范 围 是 ：
π π 3π 11π
6 2 2 6
， ，
．
（3）由（2）知，函数 f x 在区间 0， 与
cos
2
，
内都是增函数，由题设，函数
f x 在 2 1a a ， 内是增函数，则
2 1
0
a a
a
或
2 1
cos2 1 2
a a
a
．
由（2）参数
π π 3π 11π
6 2 2 6
， ，
时
30 cos 2
，要使
cos2 1 2a
恒成立，必
有
32 1 4a
，即
4 3
8a
且 1a ．
综上： 0a 或
4+ 3 18 a
．
所以 a 的取值范围是
4 30 18
， ，
．
22、【答案】（1）曲线 C 的直角坐标方程为： 22 2 4x y ，直线 l 的参数方程为
21 2
2
2
x t
y t
(t 为参数)；（2）3 2 ．
【解析】（1）因为 4sin ，所以
2 4 sin ，
所以
2 2 4x y y ，即曲线C 的直角坐标方程为： 22 2 4x y ，
直线l 的参数方程
3π1 cos 4
3πsin 4
x t
y t
(t 为参数)，
即
21 2
2
2
x t
y t
(t 为参数)，
（2）设点 A ， B 对应的参数分别为 1t ， 2t ，
将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得
2 2
2 21 2 42 2t t
，
整理，得 2 3 2 1 0t t ，所以
1 2
1 2
3 2
· 1
t t
t t
，
因为 1 0t ， 2 0t ，
所以 1 2 1 2 3 2MA MB t t t t ．
23、【答案】（1） | 4 1 x x x 或 ；（2）见解析．
【解析】（1）解： 2 1 5x x ，
当 2x 时， 2 1 5x x ， 4x ；
当1 2x 时， 2 1 5x x ，1 5 ，无解；
当 2x 时， 2 1 5x x ， 1x ．
综上，不等式的解集为： | 4 1 x x x 或 ．
（2）证明：
2 2a bf ab a f ab ab a
2 2ab b a
2 22 2ab b a 2 2 2 2 2 24 4 0 1 4 0a b b a a b ．
因为 1a ，所以 2 1 0a ，所以 2 4 0b ， 2b ．
绝密 ★ 启用前
2020 年高考模拟试题（三）
理科数学
时间：120 分钟 分值：150 分
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的
姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知复数 z 满足 1 i 2 iz ，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合 2= 36M x x ， 2,4,6,8N ，则 M N （ ）
A． 2 4， B． 4 6， C． 2 6， D． 2 4 6，，
3．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随
机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）
A． 1
2
B． 1
3
C． 4 1 D． 42
4．将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共
有（ ）
A． 42 种 B． 48 种 C．54种 D． 60 种
5．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ）
A． 32
3
B． 64
3
C．32 D． 64 2
3
6．数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重
心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知
ABC△ 的顶点 2,0A ， 0,4B ， AC BC ，则 ABC△ 的欧拉线方程为（ ）
A． 2 3 0x y B． 2 3 0x y C． 2 3 0x y D． 2 3 0x y
7．执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ）
A．4097 B．9217 C．9729 D．20481
8．已知函数 sinf x A x （其中 , ,A 为常数，且 0A ， 0 ，
2
）
的部分图象如图所示，若 3
2f ，则 sin 2 6
的值为（ ）
A． 3
4
B． 1
8
C． 1
8
D． 1
3
9．已知实数 ln2
2a ， ln3
3b ， ln5
5c ，则 , ,a b c 的大小关系是（ ）
A． a b c B． c a b C． c b a D．b a c
10．如图所示，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， ,E F 分别为 1 1 1 1,B C C D 的中点，点 P 是底
面 1 1 1 1A B C D 内一点，且 AP∥平面 EFDB ，则 1tan APA 的最大值是（ ）
A． 2
2
B．1 C． 2 D． 2 2
11．已知双曲线
2
2
2 1yx b
的左右焦点分别为 1 2F F、 ，过点 2F 的直线交双曲线右支于
A B、 两点，若 1ABF△ 是等腰三角形， 120A ．则 1ABF△ 的周长为（ ）
A． 2 2 1 B． 4 3 43
C． 8 3 43
D． 8 3 83
12．已知函数 2 3e xf x ， 1 ln4 2
xg x ，若 f m g n 成立，则 n m 的最小值
为（ ）
A． 1 ln22
B． ln2 C． 1 2ln22
D． 2ln2
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
13．计算定积分
2
1
1 dxx
__________．
14．一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全
飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是__________．
15． 8x y x y 的展开式中 2 7x y 的系数为__________（用数字作答）．
16．具有公共 y 轴的两个直角坐标平面 和 所成的二面角 y 轴 大小为 45，已知
在 内的曲线C 的方程是
2 4 2y x ，曲线 'C 在平面 内射影的方程 2 2y px ，则 p 的
值是__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
17.已知等差数列{ }na 中,公差 0d , 7 35S ，且 2 5 11, ,a a a 成等比数列.
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）若 nT 为数列
1
1{ }
n na a
的前 n 项和，且存在 n N ，使得 1 0n nT a 成立，求
实数 的取值范围.
18.在冬季，由于受到低温和霜冻的影响，蔬菜的价格会随着需求量的增加而上升，已知某
供应商向饭店定期供应某种蔬菜，日供应量 x 与单价 y 之间的关系，统计数据如下表所示：
日供应量 x （ kg ） 38 48 58 68 78 88
单价 y （元/ kg ） 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
（Ⅰ）根据上表中的数据得出日供应量 x 与单价 y 之间的回归方程为 by ax ，求 a ，
b 的值；
（Ⅱ）该地区有14个饭店，其中10个饭店每日对蔬菜的需求量在 60kg 以下（不含
60kg ），4 个饭店对蔬菜的需 求量在 60kg 以上（含 60kg ），则从这14个饭店中任取 4 个
进行调查，记这 4 个饭店中对蔬菜需求量在 60kg 以下的饭店数量为 X ，求 X 的分布列及
数学期望.
参考公式及数据：
对一组数据 1 1( , )x y ， 2 2( , )x y ，…， ( , )n nx y ，其回归直线
^ ^ ^
y b x a 的斜率和截距的
最小二乘估计分别为：
^
1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
，
^ ^
a y b x
19.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为边长为 2 的菱形， 60DAB ，
90ADP ，面 ADP 面 ABCD ，点 F 为棱 PD 的中点.
（Ⅰ）在棱 AB 上是否存在一点 E ，使得 / /AF 面 PCE ，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角 D FC B 的余弦值为 1
4
时，求直线 PB 与平面
ABCD 所成的角.
20．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右顶点分别为
1 2A A ， ，上顶点为 (0,1)B ，且椭圆的离心率为 3
2
.
（1）求椭圆的标准方 程；
（2）若点 P 是椭圆上位于第一象限的任一点，直线 1 2A B A P ， 交于点Q ，直线 BP 与 x
轴交于点 R ，记直线 2A Q RQ ， 的斜率分别为 1 2k k ， ．求证： 2 12k k 为定值．
21.已知函数 2)1ln()( axxxf
（1）讨论 )(xf 的单调性；
（2）若函数 )(xf 在定义域内有3个零点，求整数 a 的最小值.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则
按所做的第一个题目计分．
22.选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：
)0(cos2sin 2 aa ，过点 )4,2( P 的直线 :l
ty
tx
4
2 （t 为参数）与曲线C 相
交于 NM , 两点．
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若 , ,PM MN PN 成等比数列，求实数 a 的值．
23.选修 4－5：不等式选讲
设函数 13)( xxxf ， Rx .
(1)解不等式 1)( xf ；
(2)设函数 4)( axxg ，且 )()( xfxg 在 ]2,2[x 上恒成立，求实数 a 的取值
范围．
2020 年高考模拟试题（三）
理科数学 答案及解析
1、【答案】D
【解析】 1 i 2 iz ， 1 i 1 i 2+i 1 iz ， 2 1 3iz ， 1 3 i2 2z ，
1 3 i2 2z ，z 的共轭复数在复平面内对应点坐标为 1 3,2 2
，z 的共轭复数在复
平面内对应的点在第四象限，故选 D．
2、【答案】A
【解析】 6,6M ，故 2,4M N ．
3、【答案】C
【解析】令圆的半径为 1，则 2 2' 4 1SP S
，故选 C．
4、【答案】A
【解析】最左端排甲时，有 4
4A 24 种排法；最左端排乙时，有 3
33A 18 种排法，
所以共有 24 18 42 种排法，选 A．
5、【答案】D
【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，
故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以 4 为高的直三棱柱的外接球相同．
由底面底边长为 4，高为 2，故底面为等腰直角三角形，
可得底面三角形外接圆的半径为 2r ，
由棱柱高为 4，可得 2 2OO ，
故外接球半径为 2 22 2 2 2R ，
故外接球的体积为 34 64 22 23 3V ．选 D．
6、【答案】D
【解析】线段 AB 的中点为 M（1，2），kAB=﹣2，
∴线段 AB 的垂直平分线为：y﹣2= 1
2
（x﹣1），即 x﹣2y+3=0．
∵AC=BC，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段 AB 的垂直平分线上，
因此△ABC 的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．故选：D．
7、【答案】B
【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：
0 1 2 91 2 2 2 3 2 10 2S ，
则 1 2 3 102 1 2 2 2 3 2 10 2S ，
以上两式作差可得：
10
0 1 9 10 12 01 22 2 2 2 10 2 10 21 2S ，
则： 109 2 1 9217S ．本题选择 B 选项．
8、【答案】B
【解析】由函数图象可知： 2A ，函数的最小正周期： 7 24 26 3T
，
则 2 1T
，当 2
3x 时， 21 2 , 23 2 6x k k k Z ，
令 0k 可得
6
，函数的解析式： 2sin 6f x x
．
由 3
2f 可得： 3 32sin , sin6 2 6 4
，则：
2π 9 1sin 2 sin 2 cos 2 1 2sin 1 26 3 2 3 6 16 8
．
本题选择 B 选项．
9、【答案】B
【解析】∵ ln3 ln2 2ln3 3ln2 ln9 ln8 03 2 6 6b a ，∴b a ；
又 ln2 ln5 5ln2 2ln5 ln32 ln25 02 5 10 10a c ，∴ a c ，
∴b a c ，即c a b ．选 B．
10、【答案】D
【解析】由题意可得，点 P 位于过点 A 且与平面 EFDB 平行的平面上，
如图所示，取 1 1 1 1,A D A B 的中点 ,G H ，连结 , , ,GH AH AG GE ，
由正方形的性质可知： EF GH∥ ，由 ABEG 为平行四边形可知 AG BE∥ ，
由面面平行的判定定理可得：平面 AGH∥平面 BEFD ，
据此可得，点 P 位于直线GH 上，
如图所示，由 1AA 平面 1 1 1 1A B C D 可得 1 1AA A P ，
则 1
1
1
tan AAAPA A P
，当 1tan APA 有最大值时， 1A P 取得最小值，
即点 P 是GH 的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时 1tan APA 的值是
2 2 ．本题选择 D 选项．
11、【答案】C
【解析】双曲线的焦点在 x 轴上，则 1,2 2a a ；
设 2AF m ，由双曲线的定义可知： 1 2 2 2AF AF a m ，
由题意可得： 1 2 2 2AF AB AF BF m BF ，
据此可得： 2 2BF ，又 1 2 12, 4BF BF BF ，
1ABF△ 由正弦定理有： 1 1
sin120 sin30
BF AF
，
则 1 13BF AF ，即： 4 3 2 m ，解得： 4 3 23m ，
则△ABF1 的周长为： 4 3 8 34 2 2 4 2 43 3m ．
本题选择 C 选项．
12、【答案】A
【 解 析 】 设 f m g n t ， 2 3e xf x ， 1 ln4 2
xg x ，
2 3 1e ln 04 2
m x t t ，
1
42 3 ln e 2
t nm t
， ， ln 3
2
tm ，
1
42e
t
n
，
1
4 ln 32e 02
t tn m t
，
令
1
4 ln 32e 02
t th t t
， 则
1
4 12e 02
t
h t tt
，
1' 4
2
12e 02
t
h t t
，
h t 在 0 ， 上为增函数，且 1 04h
，
当 1
4t 时， 0h t ，当 10 4t 时， 0h t ，
h t 在 10 4
， 上为减函数，在 1
4
， 上为增函数，当 1
4t 时， h t 取得最
小值，
此时
1 1
4 4
1ln 31 142 e ln 24 2 2h
，即 n m 的最小值为 1 ln 22
，故选 A．
13、【答案】 ln2
【解析】由题意结合微积分基本定理可得：
2 2
11
1 ln ln 2dx xx
．故答案为： ln2 ．
14、【答案】
π
6
【解析】设正方体的棱长为 2a ，其体积 2 3
1 2 8V a a ，
内切球直径为 2a ，其体积：
3 3
2
4 4π π3 3V R a
，
利用几何概型公式结合题意可得这只蚊子安全飞行的概率是：
2
1
π
6
Vp V
．
15、【答案】 20
【解析】 8x y 展开式的通项公式为： 8 8
1 8 8CC 1r rr r r r r
rT x y x y
，
令 7r ，则展开项为： 7 7 8 7 7 7
8C1 8x y xy ，
令 6r ，则展开项为： 6 6 8 6 6 2 6
81 2C 8x y x y ，
据此可得展开式中 2 7x y 的系数为 8 28 20 ．
16、【答案】 2
【解析】结合题中所给的示意图可知：曲线 'C 的方程是
2 4 2y x ，则 2OF ，
作 F 平面 于点 F ，由于平面 和 所成的二面角 y 轴 大小为 45，
故 2cos45 1OF ，即曲线 C 在平面 内射影所形成的抛物线的焦距为1，
故 2 1 2p ．故答案为：2．
17、解:(1)由题意可得
)10)(()4(
352
677
11
2
1
1
dadada
da ，即
dad
da
1
2
1
2
53
又∵ 0d ，∴ 1,21 da ，∴ 1 nan .
（2）∵
2
1
1
1
)2)(1(
11
1
nnnnaa nn
，
∴
)2(22
1
2
1
2
1
1
1
4
1
3
1
3
1
2
1
n
n
nnnTn ，
∵ *Nn ，使得成立 01 nn aT 成立，
∴ *Nn ，使得 0)2()2(2
nn
n 成立，
即 *Nn ，使得 2)2(2
n
n 成立，
又
16
1
)442(2
1
)44(2
1
)2(2 2
nnn
n （当且仅当 2n 时取等号），
∴
16
1 ，即实数 的取值范围是 ]16
1,( .
18、解：（1）对 baxy 两边同取对数得 axby lnlnln ，
令 yuxv ln,ln ，得 abvu ln
∴
2
1
1.464.101
3.181.43.75
6
6
226
1
2
6
1
vv
uvuv
b
i
i
i
ii
，
∴ 16
6.24
2
1
6
3.18ln a ，即 ea .
（2）由题意知， X 的所有可能取值为 4,3,2,1,0 .
1001
1)0( 4
14
4
4
C
CXP ,
1001
40)1( 4
14
1
10
3
4
C
CCXP ,
1001
270)0( 4
14
2
10
2
4
C
CCXP ,
1001
480)1( 4
14
3
10
1
4
C
CCXP ,
1001
210)1( 4
14
4
10
C
CXP .
∴ X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
1001
1
1001
40
1001
270
1001
480
1001
210
∴
7
20
1001
21041001
48031001
27021001
401)( XE .
19、解：（1）在棱 AB 上存在点 E ，使得 / /AF 面 PCE ，点 E 为棱 AB 的中点.
理由如下：
取 PC 的中点 Q ，连结 EQ 、 FQ ，
由题意， / /FQ DC 且 1
2FQ CD ， / /AE CD 且 1
2AE CD ，
故 / /AE FQ 且 AE FQ .
所以，四边形 AEQF 为平行四边形.
所以， / /AF EQ ， 又 EQ 平面 PEC ， AF 平面 PEC ，
所以， / /AF 平面 PEC .
（2）由题 意知 ABD 为正三角形，所以 ED AB ，亦即 ED CD ，
又 90ADP ，
所以 PD AD ，且面 ADP 面 ABCD ，面 ADP 面 ABCD AD ，
所以 PD 面 ABCD ，故以 D 为坐标原点建立如图空间坐标系，
设 FD a ，则由题意知 (0,0,0)D ， (0,0, )F a ， (0,2,0)C ， ( 3,1,0)B ，
(0,2, )FC a ， ( 3, 1,0)CB ，
设平面 FBC 的法向量为 ( , , )m x y z ，
则由 0
0
m FC
m CB
得 2 0
3 0
y az
x y
，
令 1x ，则 3y ， 2 3z a
，
所以取 2 31, 3,m a
，
显然可取平面 DFC 的法向量 (1,0,0)n ，
由题意： 1 cos ,4 m n
2
1
121 3 a
，所以 1a .
由于 PD 面 ABCD ，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD ，
所以 PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角，
易知在 Rt PBD 中 tan 1PDPBD BD
，从而 45PBD ，
所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 .
20、解:（1）因为椭圆的上顶点为 (0,1)B ，离心率为 3
2
，
所以
1,
3 ,2
b
c
a
…………………………………………………2 分
又 2 2 2a b c ，得 2 24, 1a b ，
所以椭圆的标准方程是
2
2 14
x y ；…………………………………………………4 分
（2）根据题意，可得直线 1 : 12
xA B y ，直线 2 1: 2)A Q y k x （ ，
由
1
12
( 2)
xy
y k x
，解得 1 1
1 1
2(2 1) 4( , )2 1 2 1
k kQ k k
. ……………………………………6
分
由 1
2 2
( 2)
4 4
y k x
x y
得 2 2 2
14 ( 2) 4x k x ，化简得 2 2 2 2
1 1 1(4 1) 16 16 4 0k x k x k ，
因为 2A (2,0) ，所以
2
1
2
1
16 42 4 1P
kx k
，所以
2
1
2
1
2(4 1)
4 1P
kx k
，
将
2
1
2
1
2(4 1)
4 1P
kx k
代入直线方程得： 1
2
1
4
4 1P
ky k
，
所以
2
1 1
2 2
1 1
2(4 1) 4( , )4 1 4 1
k kP k k
. ……………………………………………8
分
又因为 (0,1)B ，所以
1
2
1 1
2
1 1
2
1
4 14 1 2 1
2(4 1) 2(2 1)04 1
BP
k
k kk k k
k
，
所以直线 1
1
2 1: 12(2 1)
kBP y xk
，令 0y 得， 1
1
2(2 1)( 0)2 1
kR k
， .………………10
分
于是
1
1 1
2
1 1
1 1
4 02 1 1= 2(2 1) 2(2 1) 2 4
2 1 2 1
RQ
k
k kk k k k
k k
，
所以 1
2 1 1
1 12 =2( )2 4 2
kk k k ，为定值．…………………………………………12
分
21、解：（1）∵ ),1(1
12221
1)(
2
'
xx
axaxaxxxf ，
∴①当 0a 时， 01
1)('
xxf ， )(xf 在 ）（ ,1 为增函数；
② 0a 由二次函数 122 2 axaxy 的对称轴为
2
1x ）（ ,1 ，
利用 ]2,0(084 2 aaa ， 0122 2 axaxy ， 0)(' xf ， )(xf 在
）（ ,1 为增函数；
③当 0a 时二次方程 0122 2 axax 的两根：
02
2
2
1,12
2
2
1
4
842 2
2
22
1
a
aaxa
aa
a
aaax
),(0)();,1(0)( 2
'
2
' xxxfxxxf
∴ )(xf 在 ）（
a
aa
2
2
2
1,1
2 为增函数， ），（
a
aa
2
2
2
1 2
为减函数；
④当 2a 时二次方程 0122 2 axax 的两根：
)0,2
1(2
2
2
1),2
1,1(2
2
2
1 2
2
2
1
a
aaxa
aax
),(0)();,(),1(0)( 21
'
21
' xxxxfxxxxf
∴ )(xf 在 ）（
a
aa
2
2
2
1,1
2 ， ），（
a
aa
2
2
2
1 2
为增函数，
）（
a
aa
a
aa
2
2
2
1,2
2
2
1 22 为减函数；
综上①当 ]2,0[a 时， )(xf 在 ）（ ,1 为增函数；
②当 0a 时， )(xf 在 ）（
a
aa
2
2
2
1,1
2 为增函数， ），（
a
aa
2
2
2
1 2
为
减函数；
③当 2a 时 )(xf 在 ）（
a
aa
2
2
2
1,1
2 ， ），（
a
aa
2
2
2
1 2
为增函数，
）（
a
aa
a
aa
2
2
2
1,2
2
2
1 22 为减函数.
（2）由 )(xf 的单调性和 0)0( f 可知：
①当 ]2,0[a 时， )(xf 在 ）（ ,1 为增函数，不可能有三个零点；
②当 0a 时， )(xf 在 ）（
a
aa
2
2
2
1,1
2 为增函数， ），（
a
aa
2
2
2
1 2
为减
函数，也不可能有三个零点；
③当 2a 时 )(xf 在 ）（
a
aa
2
2
2
1,1
2 ， ），（
a
aa
2
2
2
1 2
为增函数，
）（
a
aa
a
aa
2
2
2
1,2
2
2
1 22 为减函数；（记
）（
2
1,12
2
2
1 2
0
a
aax 极大值点）
∴ 0)0()2
2
2
1(
2
fa
aaf
∵ )()1ln(,1 xfxx ，且 )(xf 在定义域内有三个零点
∴ 0)( 0 xf 即 )(xf 在 )2
2
2
1,(,,1
2
00 a
aaxx ）（ 分别有一个零点，结合
0)0( f 符合题意。
∵
)(2
10122
0
2
0
0
2
0 xx
aaxax
∴
)1(2
1-11ln)1(21ln
)(2
1ln1ln)(
0
0
0
0
0
0
0
2
0
2
0
0
2
000
x
xxx
xx
xx
xxaxxxf ）（）（）（）（
），（，）（
2
101)1(2
1
2
11ln 0
0
0 xxx
设 02
12
2
11)(2
1
2
1ln)( 22
'
x
x
xxxxxx ， ， )(x 在 )2
10( ， 上为减函
数
∵ 013ln)3
1(,02
32ln2)4
1(
∴当
4
3
4
11 00 xx 3
8
)4
3
16
9(2
1
)(2
1
0
2
0
xx
a 符合题意
当 ）（
3
2,13
11 00 xx 4
9
)3
2
9
4(2
1
)(2
1
0
2
0
xx
a ，
即整数 a 的最小值为 3.
（2）另解：单调性分析，先控制 2a ，再验证 3a 满足若 )(xf 在定义域内有三个零
点。
22、解:(1)把
x＝ρcos θ，
y＝ρsin θ
代入ρsin2θ＝2acos θ，得 y2＝2ax(a>0)，
由
ty
tx
4
2 (t 为参数)，消去 t 得 x－y－2＝0，
∴曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程分别是 y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0.
（2）将
ty
tx
4
2 化成标准参数方程
ty
tx
2
24
2
22
（t 为参数），将其代入 axy 22
得: 2 2 2(4 ) 8(4 ) 0t a t a ,
设 1 2,t t 是该方程的两根,则 1 2 1 22 2(4 ), 8(4 )t t a t t a ,
∵
2MN PM PN
∴ 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4t t t t t t t t
∴ 28(4 ) 4 8(4 ) 8(4 )a a a ,解得 1a .
23、解:(1)函数
3,4
31,22
1,4
13)(
x
xx
x
xxxf ，故由不等式 1)( xf ，
可得 3x 或
31
122
x
x ，解得
2
3x .
(2)函数 g(x)≤f(x)在 x∈[－2，2]上恒成立，
即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在 x∈[－2，2]上恒成立，
在同一个坐标系中画出函数 f(x)和 g(x)的图象，如图所示．
故当 x∈[－2，2]时，若 0≤－a≤4，则函数 g(x)的图象在函数 f(x)的图象的下方，
g(x)≤f(x)在 x∈[－2，2]上恒成立，求得－4≤a≤0，
故所求的实数 a 的取值范围为[－4，0]．
绝密 ★ 启用前
2020 年高考模拟试题（四）
理科数学
时间：120 分钟 分值：150 分
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的
姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知 1 3i 2iz ，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设 为锐角， sin ,1a ， 1,2b ，若 a 与 b 共线，则角 （ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．函数 f x 在 0, 单调递增，且 2f x 关于 2x 对称，若 2 1f ，则
2 1f x 的 x的取值范围是（ ）
A． 2,2 B． , 2 2,
C． ,0 4, D． 0,4
4．如图，执行所示的算法框图，则输出的 S 值是（ ）
A． 1 B． 2
3
C． 3
2
D． 4
5．函数 sin πf x x π
2
的部分图像如下图，且 10 2f ，则图中 m 的值
为（ ）
A．1 B． 4
3
C．2 D． 4
3
或 2
6．李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚
年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直
径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的
边缘与方田四边之间的面积为 13.75 亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆
池直径和方田的边长分别是（注：240 平方步为 1 亩，圆周率按 3 近似计算）（ ）
A．10 步，50 步 B．20 步，60 步 C．30 步，70 步 D．40 步，80 步
7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的
体积为（ ）
A． 4 3
3
B． 8
3
C． 16
3
D． 32 3
27
8．设点 M 是
2 0
2 6 0
2 2 0
x
x y
x y
表示的区域 1 内任一点，点 N 是区域 1 关于直线 :l y x
的对称区域 2 内的任一点，则 MN 的最大值为（ ）
A． 2 B． 2 2 C． 4 2 D．5 2
9．如图所示，为了测量 A ， B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测， A ， B 分别在 D 处的北
偏西15、北偏东 45方向，再往正东方向行驶 40 海里至C 处，观测 B 在C 处的正北方向，
A 在C 处的北偏西 60方向，则 A ， B 两处岛屿间的距离为（ ）
A． 20 6 海里 B． 40 6 海里 C． 20 1 3 海里 D．40 海里
10．若函数 y f x 图像上存在两个点 A ， B 关于原点对称，则对称点 ,A B 为函数
y f x 的“孪生点对”，且点对 ,A B 与 ,B A 可看作同一个“孪生点对”．若函数
3 2
2, 0 6 9 2 , 0
xf x x x x a x
恰好有两个“孪生点对”，则实数 a 的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
11．已知 1F ， 2F 分别为双曲线 C ：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0, 0)a b 的左、右焦点，过 1F 的直线l
与双曲线C 的左右两支分别交于 A ， B 两点，若 2 2: : 3: 4:5AB BF AF ，则双曲线的
离心率为（ ）
A． 13 B． 15 C． 2 D． 3
12．已知函数 2
3, 3
( 3) , 3
x xf x
x x
函数 3g x b f x ，其中 bR ，若函数
y f x g x 恰有 4 个零点，则实数 b 的取值范围是（ ）
A． 11,4
B． 113, 4
C． 11, 4
D． 3,0
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
13．已知向量 1,0 , ,2 , 2a b a b a b ，则实数 _________．
14．若 ,x y 满足条件 31 2 4 2x zx x y zy
，且 ，则 的最大值为__________．
15．已知 10 2 10
0 1 2 10 81 1 1 1x a a x a x a x a ，则 __________．
16．若存在实常数 k 和 b，使得函数 f x G x和 对其公共定义域上的任意实数 x 都满
足： F x kx b G x kx b 和 恒成立，则称此直线 y kx b F x G x 为 和 的“隔
离直线”，已知函数 2 1, 0 , 2 lnf x x x R g x x h x e xx
(e 为自然对数的
底数)，有下列命题：
① 3
1 ,0
2
m x f x g x x
在 内单调递增；
② f x g x和 之间存在“隔离直线”，且 b 的最小值为 4 ；
③ f x g x和 之间存在“隔离直线”，且 k 的取值范围是 4,1 ；
④ f x h x和 之间存在唯一的“隔离直线” 2y ex e ．
其中真命题的序号为__________．(请填写正确命题的序号)
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12 分）已知 ABC△ 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c 其面积为 S ，且
2 2 4 3b c a S ．
（1）求角 A ；
（2）若 3a ， 0b m m ，当 ABC△ 有且只有一解时，求实数 m 的范围及 S 的最
大值．
18．（12 分）某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中
随机抽取了 100 人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图 1 所示的频事分
布直方图，并发现这 100 名学生中，身不低于 1.69 米的学生只有 16 名，其身高茎叶图如下
图 2 所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．
（1）求该市高一学生身高高于 1.70 米的概率，并求图 1 中 a 、b 、 c 的值．
（2）若从该市高一学生中随机选取 3 名学生，记 为身高在 1 50,1 70. . 的学生人数，求
的分布列和数学期望；
（ 3 ） 若 变 量 S 满 足 0 6826P S . 且
2 2 0 9544P S ． ，则称变量 S 满足近似于正态分布 2,N 的概率分
布．如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布 1.6,0.01N 的概率分布，则认为该市高
一学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常，并说明理
由．
19．（12 分）如下图，四棱锥 P ABCD 中， PA⊥底面 ABCD ，
AD BC∥ ， 3PA AB AC AD ， 4BC ， M 为线段 AD上一点， 2AM MD ，
N 为 PB 的中点．
（1）证明： MN∥平面 PCD；
（2）求直线 PN 与平面 AMN 所成角的正弦值．
20．（12 分）已知椭圆
2
2 15
x y
的右焦点为 F ，坐标原点为O ．椭圆C 的动弦 AB 过右
焦点 F 且不垂直于坐标轴， AB 的中点为 N ，过 F 且垂直于线段 AB 的直线交射线ON 于
点 M ．
（1）求点 M 的横坐标；
（2）当 OMF 最大时，求 MAB△ 的面积．
21．（12 分）已知函数
1ln 1
m xf x x x
， 2ln 1 ,g x x x n x m n R ．
（1）若函数 f x ， g x 在区间 0,1 上均单调且单调性相反，求 m ， n 的取值范围；
（2）若 0 a b ，证明： ln ln 2
a b a bab a b
．
请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
已知直线 的参数方程为
1 3
2 2
3 1
2 2
x t
y t
(t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
2π2cos 3
．
（1）求圆 C 的直角坐标方程；
（2）若 ,P x y 是直线l 与圆
2π2cos 3
的公共点，求 3x y 的值．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 f x x x a ．
（1）若不等式 2 1f x a 对任意的 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（2）若不等式 2 1f x a 的解集为 , 3b b ，求实数 a ，b 的值．
2020 年高考模拟试题（四）
理科数学 答案及解析
1、【答案】D
【解析】由题意
2i 1 3i2i 2i 6 3 1 i1 3i 1 3i 1 3i 10 5 5z
， 3 1i5 5z ，对应点为
3 1,5 5
，在第四象限，故选 D．
2、【答案】B
【解析】由题意 2sin 1 ， 1sin 2
，又 为锐角，∴ 30 ．故选 B．
3、【答案】D
【解析】 2f x 函数图像是由 f x 图像向左平移 2 个单位后得到，故 f x 关
于 y 轴对称，且在 ,0 上递减．故 2 1f x 等价于 2 2 2x ，解得
0 4x ．
4、【答案】D
【解析】按照图示得到循环一次如下： 4S ， 1i ； 1S ， 2i ； 2
3S ， 3i ；
3
2S ， 4i ； 4S ， 5i ； 1S ， 6i ； 2
3S ， 7i ； 3
2S ， 8i ； 4S ，
9i ．不满足条件，得到输出结果为：4．故答案为：D．
5、【答案】B
【解析】由题意可得， 10 sin 2f ，又 π
2
，∴ π
6
，
又 1sin 6 2f m m
，
∴ 2 π6 6m k 或 72 π6 6m k ，kZ，
由周期 2π 2πT ，得0 2m ，∴ 4
3m ，故选：B．
6、【答案】B
【解析】设圆池的半径为 r 步，则方田的边长为 2 40r 步，由题意，得
2 22 40 3 13.75 240r r ，解得 10r 或 170r （舍），所以圆池的直径为 20
步，方田的边长为 60 步，故选 B．
7、【答案】D
【解析】几何体为如图，所以外接球的半径 R 满足 22 1 3R R ， 2
3
R ，
体积为
3
4 2 32 3
3 273
，选 D．
8、【答案】D
【解析】如图画出可行域，根据点的对称性可知，点 A 与点 A 关于直线 y x 的
对称点 A 间的距离最大，最大距离就是点 A 到直线 y x 距离的 2 倍，联立
2 6 0 2 2 0
x y
x y
，解得： 4 1
x
y
，点 4,1A 到直线 y x 的距离 5 22d ，那
么 max 5 2MN AA ，故选 D．
9、【答案】A
【解析】在 ACD△ 中， 15 90 105ADC ， 30ACD ，所以 45CAD ，
由正弦定理可得：
sin sin
CD AD
CAD ACD
，
解得
140sin 2 20 2sin 2
2
CD ACDAD CAD
，
在 Rt DCB△ 中， 45BDC ，所以 2 40 2BD CD ，
在 ABD△ 中，由余弦定理可得：
2 2 2 12 cos 800 3200 2 20 2 40 2 24002AB AD BD AD BD ADB ，
解得 20 6AB ．
10、【答案】A
【解析】当 0x 时， 2 23 12 9 3 4 3 3 1 3f x x x x x x x ，故
函数在区间 0,1 ， 3, 上递减，在 1,3 上递增，故在 1x 处取得极小值．根
据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当 0x 时，函数图像与
2y 的图像有两个交点，即 1 2 2f a ， 0a ．
11、【答案】A
【解析】∵ 2 2: : 3: 4:5AB BF AF ，不妨令 =3AB ， 2 =4BF ， 2 =5AF ，
∵ 2 2 2
2 2+ =AB BF AF ，∴ 2 90ABF ，
又由双曲线的定义得： 1 2 2BF BF a ， 2 1 2AF AF a ，
∴ 1 13 4 5AF AF ，∴ 1 3AF ．
∴ 1 2 3 3 4 2BF BF a ，∴ 1a ．
在 1 2Rt BF F△ 中， 2 2 2 2 2
1 2 1 2 6 4 52F F BF BF ，
又 2 2
1 2 4F F c ，∴ 24 52c ，∴ 13c ，
∴双曲线的离心率 13e ．故选：A．
12、【答案】B
【解析】由题可知
2
3, 0
3,0 3
3 , 3
x x
f x x x
x x
，故
2 , 0
3 ,0 3
6, 3
x x
f x x x
x x
，
∵函数 3y f x g x f x f x b 恰有 4 个零点，
∴方程 3 0f x f x b 有 4 个不同的实数根，
即函数 y b 与函数 3y f x f x 的图象恰有 4 个不同的交点．
又
2
2
3, 0
3 3,0 3
7 15, 3
x x x
y f x f x x
x x x
，
在坐标系内画出函数函数 3y f x f x 的图象，其中点 A ， B 的坐标分别
为 1 11,2 4
， 7 11,2 4
．
由图象可得，当 113 4b 时，函数 y b 与函数 3y f x f x 的图象恰有
4 个不同的交点，故实数 b 的取值范围是 113, 4
．选 B．
13．答案：
解析： 由 ，则
，
所以 ，
又由 ，所以 ，解得 ，
故答案为 .
14．答案：
解析：由题 ,画出可行域为如图 区域，
，当 在 处时， ，故答案为 .
15．答案：180
解析： ，
， ，
故答案为 .
16．答案：①②④
解析：① ， ， ，
，在 内单调递增，故①正确；
②，③设 的隔离直线为 ，则 对任意 恒
成立，
即有 对任意 恒成立.由 对任意
恒成立得 .
若 则有 符合题意;
若 则有 对任意 恒成立,又
则有 ，
，即有 且 ， ， ，同理
，可得 ，
所以 ， ，故②正确，③错误；
④函数 和 的图象在 处有公共点，因此存在 和 的隔离直
线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为 ，则隔离直线方程为
，即 ，由 恒成立，
若 ，则 不恒成立.
若 ，由 恒成立，令 ，
在 单调递增， ，故
不恒成立.
所以 ，可得 ，当 恒成立， 则
，只有 ，此时直线方程为 ，下面证明
，
令 ， ，当
时， ；当 时， ；当 时， ；当 时，
取到极小值，极小值是 ，也是最小值， ，则
， 函数 和 存在唯一的隔离直线 ，故④正确，
故答案为①②④．
17、【答案】（1）
π
3A
；（2）
3 3
4 ．
【解析】（1）由己知 2 2 2 2 2 3 sinb c a bc bc A ，
由余弦定理得 2 cos 2 2 3 sinbc A bc bc A ，
所以 cos 1 3sinA A ，即
1sin 2
π
6A ，
0,πA ，
5π,6 6 6
π πA ，所以 6
π π
6A
，
π
3A
．
（2）由己知，当 ABC△ 有且只有一解时，
sin 3π
3m
或 0 3m ，所以 0, 3 2m ；
①当 2m 时， ABC△ 为直角三角形，
1 31 32 2S
，
②当 0 3m 时，由正弦定理
π
3 2sinsin sin 3
m m BB
，
21 2π 3 33sin sin 3sin sin sin cos sin2 3 2 2S B C B B B B B
3 3 3 1 cos2 3 3sin cos sin 2 sin 22 2 2 4
π
2 2 6
BB B B B ，
0 3
πB
，
π π26 2
π
6B
，
所以，当
π
3B
时， max
3 3 3
4 2S
，
综上所述， max
3 3
4S
．
18、【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）由图 2 可知，100 名样本学生中身高高于 1.70 米共有 15 名，以样本的频率估
计总体的概率，可得这批学生的身高高于 1.70 的概率为 0.15．
记 X 为学生的身高，结合图 1 可得：
21.30 1.40 1.80 1.90 0.02100f X f X
，
131.40 1.50 1.70 1.80 0.13100f X f X
，
11.50 1.60 1.60 1.70 1 2 0.02 2 0.13 0.352f X f X
，
又由于组距为 0.1，所以 0 2a . ， 1 3b . ， 3 5c . ．
（2）以样本的频率估计总体的概率，
可知从这批学生中随机选取 1 名，身高在 1.50,1.70 的概率为
1.50 1.70 1.50 1.60 1.60 1.70 0.7P X f X f X ，
因为从这批学生中随机选取 3 名，相当于三次重复独立试验，
所以随机变量 服从二项分布 3,0.7B ，
故 的分布列为： 3
3C 0.3 0.7 0,1,2,3n n nP n n ，
0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
0 0 027 1 0189 2 0 441 3 0 343 21E . . . . . （或 3 0 7 21E . . ）
（3）由 1.6,0.01N ，取 1 60 . ， 0 1 . ，
由（2）可知，
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