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- 2021-05-14 发布
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绝密★启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.设 ,则
A. B. C. D.
2.已知集合 ,则
A. B.
C. D.
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经
济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
1 i 2i1 iz
−= ++ | |z =
0 1
2 1 2
{ }2 2 0A x x x= − − > A =R
{ }1 2x x− < < { }1 2x x− ≤ ≤
}{ }{| 1 | 2x x x x< − > }{ }{| 1 | 2x x x x≤ − ≥
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.设 为等差数列 的前 项和,若 , ,则
A. B. C. D.
5.设函数 ,若 为奇函数,则曲线 在点 处的切线方程为
A. B. C. D.
6.在 中, 为 边上的中线, 为 的中点,则
A. B. C. D.
7.某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图.圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ,圆柱
表面上的点 在左视图上的对应点为 ,则在此圆柱侧面上,从 到 的路径中,最短路径的长度为
A. B. C.3 D.2
8.设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点(–2,0)且斜率为 的直线与 C 交于 M,N 两点,则 =
A.5 B.6 C.7 D.8
9.已知函数 .若 g(x)存在 2 个零点,则 a 的取值范围是
A.[–1,0) B.[0,+∞) C.[–1,+∞) D.[1,+∞)
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为
直角三角形 ABC 的斜边 BC,直角边 AB,AC.△ABC 的三边所围成的区域记为 I,黑色部分记为 II,
其余部分记为 III.在整个图形中随机取一点,此点取自 I,II,III 的概率分别记为 p1,p2,p3,则
A.p1=p2 B.p1=p3
C.p2=p3 D.p1=p2+p3
nS { }na n 3 2 43S S S= + 1 2a = =5a
12− 10− 10 12
3 2( ) ( 1)f x x a x ax= + − + ( )f x ( )y f x= (0,0)
2y x= − y x= − 2y x= y x=
ABC△ AD BC E AD EB =
3 1
4 4AB AC− 1 3
4 4AB AC− 3 1
4 4AB AC+ 1 3
4 4AB AC+
M A
N B M N
172 52
2
3 FM FN⋅
e 0( )
ln 0
x xf x
x x
≤= >
, ,
, , ( ) ( )g x f x x a= + +
11.已知双曲线 C: ,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点
分别为 M、N.若 OMN 为直角三角形,则|MN|=
A. B.3 C. D.4
12.已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面 α 所成的角相等,则 α 截此正方体所得截面面积的最大
值为
A. B. C. D.
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.若 , 满足约束条件 ,则 的最大值为_____________.
14.记 为数列 的前 项和,若 ,则 _____________.
15.从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选法共有_____________
种.(用数字填写答案)
16.已知函数 ,则 的最小值是_____________.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:60 分。
17.(12 分)
在平面四边形 中, , , , .
(1)求 ;
(2)若 ,求 .
18.(12 分)
如图,四边形 为正方形, 分别为 的中点,以 为折痕把 折起,使点
到达点 的位置,且 .
(1)证明:平面 平面 ;
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
2
2 13
x y− =
△
3
2 2 3
3 3
4
2 3
3
3 2
4
3
2
x y
2 2 0
1 0
0
x y
x y
y
− − ≤
− + ≥
≤
3 2z x y= +
nS { }na n 2 1n nS a= + 6S =
( ) 2sin sin 2f x x x= + ( )f x
ABCD 90ADC∠ = 45A∠ = 2AB = 5BD =
cos ADB∠
2 2DC = BC
ABCD ,E F ,AD BC DF DFC△ C
P PF BF⊥
PEF ⊥ ABFD
DP ABFD
19.(12 分)
设椭圆 的右焦点为 ,过 的直线 与 交于 两点,点 的坐标为 .
(1)当 与 轴垂直时,求直线 的方程;
(2)设 为坐标原点,证明: .
20.(12 分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不
合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检验,再根据检验结果决定是否对余
下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为 ,且各件产品是否为不合格品相
互独立.学科&网
(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 .
(2)现对一箱产品检验了 20 件,结果恰有 2 件不合格品,以(1)中确定的 作为 的值.已知每
件产品的检验费用为 2 元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费
用.学.科网
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ,求 ;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
21.(12 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 存在两个极值点 ,证明: .
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修 4–4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 中,曲线 的方程为 .以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐
2
2: 12
xC y+ = F F l C ,A B M (2,0)
l x AM
O OMA OMB∠ = ∠
)10( << pp
)( pf )( pf 0p
0p p
X EX
1( ) lnf x x a xx
= − +
( )f x
( )f x 1 2,x x
( ) ( )1 2
1 2
2f x f x ax x
− < −−
xOy 1C | | 2y k x= + x
标系,曲线 的极坐标方程为 .
(1)求 的直角坐标方程;
(2)若 与 有且仅有三个公共点,求 的方程.
23.[选修 4–5:不等式选讲](10 分)
已知 .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若 时不等式 成立,求 的取值范围.
参考答案:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B A B D A B D C A B A
13.6 14. 15.16 16.
17.(12 分)
解:(1)在 中,由正弦定理得 .
由题设知, ,所以 .
由题设知, ,所以 .
(2)由题设及(1)知, .
在 中,由余弦定理得
2C 2 2 cos 3 0ρ ρ θ+ − =
2C
1C 2C 1C
( ) | 1| | 1|f x x ax= + − −
1a = ( ) 1f x >
(0,1)x∈ ( )f x x> a
63− 3 3
2
−
ABD△
sin sin
BD AB
A ADB
=∠ ∠
5 2
sin 45 sin ADB
=° ∠
2sin 5ADB∠ =
90ADB∠ < ° 2 23cos 1 25 5ADB∠ = − =
2cos sin 5BDC ADB∠ = ∠ =
BCD△
2 2 2 2 cosBC BD DC BD DC BDC= + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠
.
所以 .
18.(12 分)
解:(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以 BF⊥平面 PEF.
又 平面 ABFD,所以平面 PEF⊥平面 ABFD.
(2)作 PH⊥EF,垂足为 H.由(1)得,PH⊥平面 ABFD.
以 H 为坐标原点, 的方向为 y 轴正方向, 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
H−xyz.
由(1)可得,DE⊥PE.又 DP=2,DE=1,所以 PE= .又 PF=1,EF=2,故 PE⊥PF.
可得 .
则 为平面 ABFD 的法向量.
设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ,则 .
所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 .
19.(12 分)
解:(1)由已知得 ,l 的方程为 x=1.
由已知可得,点 A 的坐标为 或 .
225 8 2 5 2 2 5
= + − × × ×
25=
5BC =
BF ⊂
HF | |BF
3
3 3,2 2PH EH= =
3 3 3 3(0,0,0), (0,0, ), ( 1, ,0), (1, , ),2 2 2 2H P D DP− − = 3(0,0, )2HP =
θ
3
34sin | | 4| | | | 3
HP DP
HP DP
θ ⋅= = =
⋅
3
4
(1,0)F
2(1, )2
2(1, )2
−
所以 AM 的方程为 或 .
(2)当 l 与 x 轴重合时, .
当 l 与 x 轴垂直时,OM 为 AB 的垂直平分线,所以 .
当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设 l 的方程为 , ,
则 ,直线 MA,MB 的斜率之和为 .
由 得
.
将 代入 得
.
所以, .
则 .
从而 ,故 MA,MB 的倾斜角互补,所以 .
综上, .
20.(12 分)
解:(1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 .因此
.
令 ,得 .当 时, ;当 时, .
所以 的最大值点为 .
(2)由(1)知, .
(i)令 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数,依题意知 , ,
2 22y x= − + 2 22y x= −
0OMA OMB∠ = ∠ = °
OMA OMB∠ = ∠
( 1)( 0)y k x k= − ≠ 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B
1 22, 2x x< <
2
1 2
1 2 2MA MB x x
y yk k+ = +− −
11 22,y k k xy kx k= − = −
1 2 1 2
1 2(
2 3 ( ) 4
2)( 2)MA MB
x x x xk k
x x
kk k
− + ++ = − −
( 1)y k x= −
2
2 12
x y+ =
2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k+ − + − =
2
1 22 1
2
22
4 2 2,2 1 2 1x x xk k
k x k
−+ = =+ +
3
1
3
1
3
2 2 2
4 4 12 8 42 3 ( ) 4 02 1
k k k k kk k k kx x x x
− − + +− + + = =+
0MA MBk k+ = OMA OMB∠ = ∠
OMA OMB∠ = ∠
2 2 18
20( ) C (1 )f p p p= −
2 18 2 17 2 17
20 20( ) C [2 (1 ) 18 (1 ) ] 2C (1 ) (1 10 )f p p p p p p p p′ = − − − = − −
( ) 0f p′ = 0.1p = (0,0.1)p∈ ( ) 0f p′ > (0.1,1)p∈ ( ) 0f p′ <
( )f p 0 0.1p =
0.1p =
Y (180,0.1)Y B 20 2 25X Y= × +
即 .
所以 .
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为 400 元.
由于 ,故应该对余下的产品作检验.
21.(12 分)
解:(1) 的定义域为 , .
(i)若 ,则 ,当且仅当 , 时 ,所以 在 单调递减.
(ii)若 ,令 得, 或 .
当 时, ;
当 时, .所以 在 单
调递减,在 单调递增.
(2)由(1)知, 存在两个极值点当且仅当 .
由于 的两个极值点 满足 ,所以 ,不妨设 ,则 .由于
,
所以 等价于 .
设函数 ,由(1)知, 在 单调递减,又 ,从而当
时, .
所以 ,即 .
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
40 25X Y= +
(40 25 ) 40 25 490EX E Y EY= + = + =
400EX >
( )f x (0, )+∞
2
2 2
1 1( ) 1 a x axf x x x x
− +′ = − − + = −
2a ≤ ( ) 0f x′ ≤ 2a = 1x = ( ) 0f x′ = ( )f x (0, )+∞
2a > ( ) 0f x′ =
2 4
2
a ax
− −=
2 4
2
a ax
+ −=
2 24 4(0, ) ( , )2 2
a a a ax
− − + −∈ +∞ ( ) 0f x′ <
2 24 4( , )2 2
a a a ax
− − + −∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
2 24 4(0, ),( , )2 2
a a a a− − + − +∞
2 24 4( , )2 2
a a a a− − + −
( )f x 2a >
( )f x 1 2,x x 2 1 0x ax− + = 1 2 1x x = 1 2x x< 2 1x >
1 2 1 2 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2
( ) ( ) ln ln ln ln 2ln1 1 2 2 1
f x f x x x x x xa a ax x x x x x x x xx
− − − −= − − + = − + = − +− − − −
1 2
1 2
( ) ( ) 2f x f x ax x
− < −− 2 2
2
1 2ln 0x xx
− + <
1( ) 2lng x x xx
= − + ( )g x (0, )+∞ (1) 0g = (1, )x∈ +∞
( ) 0g x <
2 2
2
1 2ln 0x xx
− + < 1 2
1 2
( ) ( ) 2f x f x ax x
− < −−
【解析】(1)由 , 得 的直角坐标方程为 .
(2)由(1)知 是圆心为 ,半径为 的圆.
由题设知, 是过点 且关于 轴对称的两条射线.记 轴右边的射线为 , 轴左边的射线为
.由于 在圆 的外面,故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与
有两个公共点,或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点.学#科网
当 与 只有一个公共点时, 到 所在直线的距离为 ,所以 ,故 或 .
经检验,当 时, 与 没有公共点;当 时, 与 只有一个公共点, 与 有两个公
共点.
当 与 只有一个公共点时, 到 所在直线的距离为 ,所以 ,故 或 .
经检验,当 时, 与 没有公共点;当 时, 与 没有公共点.
综上,所求 的方程为 .
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
【解析】(1)当 时, ,即
故不等式 的解集为 .
(2)当 时 成立等价于当 时 成立.
若 ,则当 时 ;
若 , 的解集为 ,所以 ,故 .
综上, 的取值范围为 .
cosx ρ θ= siny ρ θ= 2C 2 2( 1) 4x y+ + =
2C ( 1,0)A − 2
1C (0,2)B y y 1l y
2l B 2C 1C 2C 1l 2C 2l 2C
2l 2C 1l 2C
1l 2C A 1l 2 2
| 2 | 2
1
k
k
− + =
+
4
3k = − 0k =
0k = 1l 2C 4
3k = − 1l 2C 2l 2C
2l 2C A 2l 2 2
| 2 | 2
1
k
k
+ =
+ 0k = 4
3k =
0k = 1l 2C 4
3k = 2l 2C
1C 4 | | 23y x= − +
1a = ( ) | 1| | 1|f x x x= + − −
2, 1,
( ) 2 , 1 1,
2, 1.
x
f x x x
x
− ≤ −
= − < <
≥
( ) 1f x > 1{ | }2x x >
(0,1)x∈ | 1| | 1|x ax x+ − − > (0,1)x∈ | 1| 1ax − <
0a ≤ (0,1)x∈ | 1| 1ax − ≥
0a > | 1| 1ax − < 20 x a
< < 2 1a
≥ 0 2a< ≤
a (0,2]