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- 2021-05-14 发布
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第九章 平面解析几何第8课时 双 曲 线
1. 若双曲线方程为x2-2y2=1,则它的左焦点的坐标为________.
答案:
解析:∵ 双曲线方程可化为x2-=1,∴ a2=1,b2=.∴ c2=a2+b2=,c=.∴左焦点坐标为.
2. 双曲线-=1的渐近线方程为________.
答案:y=±2x
解析:∵ a=2,b=4,∴双曲线的渐近线方程为y=±2x.
3. 若双曲线-y2=1的一个焦点为(2,0),则它的离心率为________.
答案:
解析:依题意得a2+1=4,a2=3,故e===.
4. (选修11P39习题2(2)改编)双曲线的焦点在 x轴上,虚轴长为12,离心率为,则双曲线的标准方程为______________________.
答案:-=1
解析:焦点在x轴上,设所求双曲线的方程为-=1.由题意,得解得∴ 焦点在x轴上的双曲线方程为-=1.
5. 设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3PF1=4PF2,则△PF1F2的面积等于________.
答案:24
解析:由P是双曲线上的一点和3PF1=4PF2可知,PF1-PF2=2,解得PF1=8,PF2=6.又F1F2=2c=10,所以△PF1F2为直角三角形,所以△PF1F2的面积S=×6×8=24.
1. 双曲线的定义
平面内到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2. 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
-=1(a>0,b>0)
-=1(a>0,b>0)
图形
性质
范围
x≤-a或x≥a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:x轴,y轴
_对称中心:(0,0)
对称轴:x轴,y轴_
对称中心:(0,0)
顶点
顶点坐标:A1(-a,0),A2(a,0)
顶点坐标:A1(0,-a),A20,a
渐近线
y=±x
y=±x
离心率
e=,e∈(1,+∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长A1A2=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长B1B2=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长.
a,b,c的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
3. 等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程
为x2-y2=λ(λ≠0),离心率e=,渐近线方程为y=±x.
题型1 求双曲线方程
例1 已知双曲线的离心率等于2,且经过点M(-2,3),求双曲线的标准方程.
解:若双曲线方程为-=1(a>0,b>0),由已知可得=2,即c=2a.又M(-2,3)在双曲线上,∴-=1, ∴ 4b2-9a2=a2b2①.∵ c=2a,∴ b2=3a2,代入①得a2=1,b2=3.
∴双曲线方程为x2-=1.同理,若双曲线方程为-=1,则双曲线方程为-=1.
已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,若顶点到渐近线的距离为1,求双曲线方程.
解:由题意知:右顶点坐标为(a,0),其到渐近线的距离为d===1
,故a=2.又渐近线方程为y=±x,所以b=,所以双曲线方程为-=1.
题型2 求双曲线的基本量
例2 已知双曲线的焦点在x轴上,两个顶点间的距离为2,焦点到渐近线的距离为.
(1) 求双曲线的标准方程;
(2) 写出双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解:(1) 依题意可设双曲线的方程为-=1(a>0, b>0),则2a=2, 所以a=1.设双曲线的一个焦点为(c, 0), 一条渐近线的方程为bx- ay = 0,则焦点到渐近线的距离d==b=,所以双曲线的方程为x2-=1.
(2) 双曲线的实轴长为2,虚轴长为2,焦点坐标为(-, 0), (, 0),离心率为,渐近线方程为y=±x.
如图,F1、F2分别是双曲线C:-=1(a,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P、Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若MF2=F1F2,则C的离心率是________.
答案:
解析:设双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0).
∵ B(0,b),∴ F1B所在的直线为-+=1.①
双曲线渐近线为y=±x,由得Q.
由得P,∴ PQ的中点坐标为.
由a2+b2=c2得,PQ的中点坐标可化为.
直线F1B的斜率为k=,∴ PQ的垂直平分线为y-=-.
令y=0,得x=+c,∴ M,∴ F2M=.
由MF2=F1F2得==2c,即3a2=2c2,∴ e2=,∴ e=.
题型3 与椭圆、抛物线有关的基本量
例3 已知双曲线过点(3,-2),且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1) 求双曲线的标准方程;
(2) 求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程.
解:(1) 由题意,椭圆4x2+9y2=36的焦点为(±,0),即c=,
∴设所求双曲线的方程为-=1,
∵双曲线过点(3,-2),
∴-=1, ∴ a2=3或a2=15(舍去).
故所求双曲线的方程为-=1.
(2) 由(1)可知双曲线的右准线为 x=.
设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则p=,故所求抛物线的标准方程为y2=-x.
双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点,直线y=x为C的一条渐近线.求双曲线C的方程.
解:设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
由椭圆方程+=1,求得两焦点为(-2,0)、(2,0),
∴对于双曲线C:c=2.
又y=x为双曲线C的一条渐近线,
∴=,解得 a2=1,b2=3.
∴双曲线C的方程为x2-=1.
1. 已知双曲线C:-=1的焦距为10,P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为________.
答案:-=1
解析:∵ -=1的焦距为10,∴ c=5=.①
又双曲线渐近线方程为y=±x,且P(2,1)在渐近线上,∴=1,即a=2b.②
由①②解得a=2,b=.
2. 若双曲线-=1的离心率e=2,则m=________.
答案:48
解析:根据双曲线方程-=1知a2=16,b2=m,并在双曲线中有a2+b2=c2,∴离心率e==2=4=m=48.
3. 已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则PF1+PF2=________.
答案:2
解析:不妨设点P在双曲线的右支上,
因为PF1⊥PF2,所以(2)2=PF+PF,
又因为PF1-PF2=2,
所以(PF1-PF2)2=4,
可得2PF1·PF2=4,
则(PF1+PF2)2=PF+PF+2PF1·PF2=12,
所以PF1+PF2=2.
4. 已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率为________.
答案:
解析:由题意知c=3,故a2+5=9,解得a=2,故该双曲线的离心率e==.
5. 已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P,若PF=5,则双曲线的渐近线方程为________.
答案:y=±x
解析:设点P(m,n),依题意得,点F(2,0),由点P在抛物线y2=8x上,且PF=5得由此解得m=3,n2=24.于是有由此解得a2=1,b2=3,该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
6. 已知椭圆+=1(a>b>c>0,a2=b2+c2)的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且PT的最小值为(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是________.
答案:
解析:因为PT=(b>c),而PF2的最小值为a-c,所以PT的最小值为.
依题意有,≥(a-c),
所以(a-c)2≥4(b-c)2,
所以a-c≥2(b-c),
所以a+c≥2b,
所以(a+c)2≥4(a2-c2),
所以5c2+2ac-3a2≥0,
所以5e2+2e-3≥0 ①.
又b>0,所以b2>c2,所以a2-c2>c2,
所以2e2<1 ②,
联立①②,得≤e<.
1. 双曲线-=1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项,则P点到左焦点的距离为________.
答案:13
解析:由a=4,b=3,得c=5.设左焦点为F1,右焦点为F2,
则|PF2|=(a+c+c-a)=c=5,
由双曲线的定义,得|PF1|=2a+|PF2|=8+5=13.
2. 已知△ABC外接圆半径R=,且∠ABC=120°,BC=10,边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B、C为焦点的双曲线方程为______________.
答案:-=1
解析:∵ sin∠BAC==,∴ cos∠BAC=,AC=2Rsin∠ABC=2××=14,
sin∠ACB=sin(60°-∠BAC)=sin 60°cos∠BAC-cos60°·sin∠BAC=×-×=,
∴ AB=2Rsin∠ACB=2××=6,
∴ 2a=|AC-AB|=14-6=8,
∴ a=4,又c=5,∴ b2=c2-a2=25-16=9,∴所求双曲线方程为-=1.
3. 根据下列条件,求双曲线方程.
(1) 与双曲线-=1有共同的渐近线,且过点(-3,2);
(2) 与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).
解:解法1:(1) 设双曲线的方程为-=1,
由题意,得解得a2=,b2=4.
所以双曲线的方程为-=1.
(2) 设双曲线方程为-=1.由题意易求得c=2.
又双曲线过点(3,2),∴-=1.
又∵a2+b2=(2) 2,∴a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为-=1.
解法2:(1) 设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),
将点(-3,2)代入得λ=,所以双曲线方程为-=.
(2) 设双曲线方程为-=1,
将点(3,2)代入得k=4,所以双曲线方程为-=1.
4. 已知双曲线-=1的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于,
过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点,F1为左焦点.
(1) 求双曲线的方程;
(2) 若△F1AB的面积等于6,求直线l的方程.
解:(1) 依题意,b=,=2a=1,c=2,∴双曲线的方程为:x2-=1.
(2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),F2(2,0),直线l:y=k(x-2),
由消元得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,
k≠±时,x1+x2=,x1x2=,y1-y2=k(x1-x2),
△F1AB的面积S=·=2|k|·|x1-x2|=2|k|·=12|k|·=6k4+8k2-9=0k2=1k=±1,
所以直线l的方程为y=±(x-2).
1. 应用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.
2. 区分双曲线与椭圆中a,b,c的关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.双曲线的离心率e>1,椭圆的离心率e∈(0,1).
3. 双曲线方程的求法
(1) 若不能明确焦点在哪条坐标轴上,设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0);
(2) 与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0);
(3) 若已知渐近线方程为mx+ny=0,则双曲线方程可设为m2x2-n2y2=λ(λ≠0).