2017年天津市高考数学试卷(理科) 24页

‎2017年天津市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（　　）‎ A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}‎ ‎2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（　　）‎ A． B．1 C． D．3‎ ‎3．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎4．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（　　）‎ A．=1 B．=1 C．=1 D．=1‎ ‎6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　）‎ A．ω=，φ= B．ω=，φ=﹣‎ C．ω=，φ=﹣ D．ω=，φ=‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，2] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]‎ ‎　‎ 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为　 　．‎ ‎10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为　 　．‎ ‎11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为　 　．‎ ‎12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为　 　．‎ ‎13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为　 　．‎ ‎14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有　 　个．（用数字作答）‎ ‎　‎ 三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．‎ ‎（Ⅰ）求b和sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin（2A+）的值．‎ ‎16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．‎ ‎（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．‎ ‎17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．‎ ‎（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．‎ ‎18．（13分）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．‎ ‎19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．‎ ‎（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．‎ ‎20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．‎ ‎（Ⅰ）求g（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；‎ ‎（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．‎ ‎　‎ ‎2017年天津市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）（2017•天津）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（　　）‎ A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}‎ ‎【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 ‎【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．‎ ‎【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，‎ 又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2017•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（　　）‎ A． B．1 C． D．3‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．‎ ‎【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：‎ 目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，‎ 由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2017•天津）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 ‎【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．‎ ‎【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N=≤3不成立，‎ 第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，‎ 第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N==2≤3成立，‎ 输出N=2，‎ 故选：C ‎　‎ ‎4．（5分）（2017•天津）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 ‎【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，‎ sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，‎ 则（0，）⊂[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，‎ 可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2017•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（　　）‎ A．=1 B．=1 C．=1 D．=1‎ ‎【考点】KC：双曲线的简单性质．菁优网版权所有 ‎【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．‎ ‎【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e==，c=a，‎ 则双曲线为等轴双曲线，即a=b，‎ 双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，‎ 则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k==，‎ 则=1，c=4，则a=b=2，‎ ‎∴双曲线的标准方程：；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2017•天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有 ‎【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c ‎【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，‎ ‎∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，‎ ‎∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，‎ ‎∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），‎ 则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，‎ 由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），‎ ‎∴b＜a＜c，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　）‎ A．ω=，φ= B．ω=，φ=﹣‎ C．ω=，φ=﹣ D．ω=，φ=‎ ‎【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有 ‎【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．‎ ‎【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，‎ 又f（）=2，f（）=0，得，‎ ‎∴T=3π，则，即．‎ ‎∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），‎ 由f（）=，得sin（φ+）=1．‎ ‎∴φ+=，k∈Z．‎ 取k=0，得φ=＜π．‎ ‎∴，φ=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2017•天津）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，2] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]‎ ‎【考点】5B：分段函数的应用；3R：函数恒成立问题．菁优网版权所有 ‎【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（x+）≤a≤+，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，‎ 即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，‎ 即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，‎ 由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；‎ 由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，‎ 则﹣≤a≤①‎ 当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，‎ 即为﹣（x+）≤+a≤x+，‎ 即有﹣（x+）≤a≤+，‎ 由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；‎ 由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．‎ 则﹣2≤a≤2②‎ 由①②可得，﹣≤a≤2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9．（5分）（2017•天津）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为　﹣2　．‎ ‎【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 ‎【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：a∈R，i为虚数单位，‎ ‎===﹣i 由为实数，‎ 可得﹣=0，‎ 解得a=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2017•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为　　．‎ ‎【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 ‎【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：设正方体的棱长为a，‎ ‎∵这个正方体的表面积为18，‎ ‎∴6a2=18，‎ 则a2=3，即a=，‎ ‎∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，‎ ‎∴正方体的体对角线等于球的直径，‎ 即a=2R，‎ 即R=，‎ 则球的体积V=π•（）3=；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2017•天津）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为　2　．‎ ‎【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 ‎【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系．‎ ‎【解答】解：直线4ρcos（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0，化为：2x+2y+1=0．‎ 圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．‎ ‎∴圆心C（0，1）到直线的距离d==＜1=R．‎ ‎∴直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2017•天津）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为　4　．‎ ‎【考点】7F：基本不等式．菁优网版权所有 ‎【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．‎ ‎【解答】解：a，b∈R，ab＞0，‎ ‎∴≥‎ ‎=‎ ‎=4ab+≥2=4，‎ 当且仅当，‎ 即，‎ 即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；‎ ‎∴上式的最小值为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为　　．‎ ‎【考点】9R：平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 ‎【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，‎ 再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，‎ ‎=2，‎ ‎∴=+‎ ‎=+‎ ‎=+（﹣）‎ ‎=+，‎ 又=λ﹣（λ∈R），‎ ‎∴=（+）•（λ﹣）‎ ‎=（λ﹣）•﹣+λ ‎=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，‎ ‎∴λ=1，‎ 解得λ=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2017•天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有　1080　个．（用数字作答）‎ ‎【考点】D8：排列、组合的实际应用．菁优网版权所有 ‎【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：‎ ‎①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，‎ 有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；‎ ‎②、四位数中只有一个偶数数字，‎ 在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法，‎ 将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，‎ 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；‎ 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；‎ 故答案为：1080．‎ ‎　‎ 三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（13分）（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．‎ ‎（Ⅰ）求b和sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin（2A+）的值．‎ ‎【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；HP：正弦定理．菁优网版权所有 ‎【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；‎ ‎（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，‎ 故由sinB=，可得cosB=．‎ 由已知及余弦定理，有=13，‎ ‎∴b=．‎ 由正弦定理，得sinA=．‎ ‎∴b=，sinA=；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，‎ cos2A=1﹣2sin2A=﹣．‎ 故sin（2A+）==．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）（2017•天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．‎ ‎（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．‎ ‎【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，‎ 写出它的分布列，计算数学期望值；‎ ‎（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；‎ 则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，‎ P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，‎ P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，‎ P（X=3）=××=；‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；‎ ‎（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，‎ 则所求事件的概率为 P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）‎ ‎=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）‎ ‎=×+×‎ ‎=；‎ 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2017•天津）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．‎ ‎（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ‎，求线段AH的长．‎ ‎【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角；LS：直线与平面平行的判定．菁优网版权所有 ‎【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；‎ ‎（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，‎ ‎∵M为AD中点，∴MF∥BD，‎ ‎∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．‎ ‎∵N为BC中点，∴NF∥AC，‎ 又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．‎ ‎∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．‎ 又MF∩NF=F．‎ ‎∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．‎ ‎∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．‎ ‎∵PA=AC=4，AB=2，‎ ‎∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），‎ 则，，‎ 设平面MEN的一个法向量为，‎ 由，得，取z=2，得．‎ 由图可得平面CME的一个法向量为．‎ ‎∴cos＜＞=．‎ ‎∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；‎ ‎（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．‎ ‎∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，‎ ‎∴|cos＜＞|=||=||=．‎ 解得：t=4．‎ ‎∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2017•天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}‎ 是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．‎ ‎【考点】8M：等差数列与等比数列的综合；8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有 ‎【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．‎ ‎【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．‎ 由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．‎ 又因为q＞0，解得q=2．所以，bn=2n．‎ 由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．‎ 由S11=11b4，可得a1+5d=16②，‎ 联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．‎ 所以，数列{an}的通项公式为an=3n﹣2，数列{bn}的通项公式为bn=2n．‎ ‎（II）设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn，‎ 由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4n，‎ 故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，‎ ‎4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，‎ 上述两式相减，得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1‎ ‎==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8‎ 得Tn=．‎ 所以，数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2017•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．‎ ‎（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．‎ ‎【考点】KI：圆锥曲线的综合；K3：椭圆的标准方程；K7：抛物线的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．菁优网版权所有 ‎【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；‎ ‎（II）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．‎ 依题意可得，‎ 解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．‎ 所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．‎ ‎（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），‎ 联立方程组，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．‎ 联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．‎ ‎∴B（，）．‎ ‎∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，‎ 令y=0，解得x=，故D（，0）．‎ ‎∴|AD|=1﹣=．‎ 又∵△APD的面积为，∴×=，‎ 整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±．‎ ‎∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2017•天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．‎ ‎（Ⅰ）求g（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；‎ ‎（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．‎ ‎（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），‎ 令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0．‎ ‎（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．‎ 由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，当m∈（x0，2]时，通过h（x）的零点．转化推出|﹣x0|=≥=．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，‎ 进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．‎ 当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（﹣∞，﹣1）‎ ‎（﹣1，）‎ ‎（，+∞）‎ g′（x）‎ ‎+‎ ‎﹣‎ ‎+‎ g（x）‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．‎ ‎（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），‎ h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．‎ 令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．‎ 由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，‎ 故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；‎ 当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．‎ 因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1‎ ‎（m）＞0即h（m）＞0，‎ 令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．‎ 所以，h（m）h（x0）＜0．‎ ‎（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，‎ 令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．‎ 由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；‎ 当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．‎ 所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．‎ 由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），‎ 于是|﹣x0|=≥=．‎ 因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，‎ 所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0．‎ 又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，‎ 从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．‎ 所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；qiss；maths；双曲线；铭灏2016；沂蒙松；742048；danbo7801（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2017年6月11日