中值定理“下嫁”高考24225 7页

中值定理“下嫁”高考 近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答.本文主要先归类总结，再通过一些具体的高考试题，利用拉格朗日中值定理解答，并与参考答案的解法作比较，体现高观点解题的好处.‎ 拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：‎ ‎（i）在闭区间上连续； ‎（ii）在开区间内可导；‎ 则在内至少存在一点，使得 .‎ 一、证明或成立（其中）‎ 例：（2007年高考全国卷I第20题）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）证明：的导数；‎ ‎（Ⅱ）证明：若对所有，都有 ，则的取值范围是.‎ ‎（Ⅰ）略.‎ ‎（Ⅱ）证明：（i）当时，对任意的，都有 ‎(ii)当时，问题即转化为对所有恒成立.‎ 令，由拉格朗日中值定理知内至少存在一点（从而），使得，即，由于，故在上是增函数，让得，所以的取值范围是.‎ 评注：第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令，再分和 两种情况讨论.其中，又要去解方程 ‎.但这有两个缺点：首先，为什么的取值范围要以为分界展开.其次，方程求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.‎ 二、证明成立 例：（2004年四川卷第22题）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：.‎ ‎（Ⅰ）略； ‎ ‎（Ⅱ）证明：依题意，有 由拉格朗日中值定理得，存在，使得 评注：对于不等式中含有的形式，我们往往可以把和，分别对和两次运用拉格朗日中值定理.‎ 三、证明成立 例： (2OO6年四川卷理第22题)‎ 已知函数的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：‎ ‎（１）当时， ‎（２）当时，.‎ 证明：（１）不妨设，即证．由拉格朗日中值定理知，存在，则且 ，又，.当时，.所以是一个单调递减函数，故从而成立，因此命题获证．‎ ‎（２）由得，，令则由拉格朗日中值定理得： 下面只要证明：当时，任意,都有，则有，即证时，恒成立.这等价于证明的最小值大于.‎ 由于，当且仅当时取到最小值，又，故时，恒成立.‎ 所以由拉格朗日定理得：.‎ 评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，‎ 大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性.‎ 四、证明或成立 例：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围.‎ ‎（Ⅰ）略； ‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，显然对任何，都有；当时， 由拉格朗日中值定理，知存在，使得.由（Ⅰ）知，从而.令得，；令得，.所以在上，的最大值在 上，的最大值.从而函数在上的最大值是.由知，当时，的最大值为.所以，的最大值.为了使恒成立，应有.所以的取值范围是.‎ 评注：这道题的参考答案的解法是令,再去证明函数的最小值.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数,要对参数进行分类讨论;其次为了判断的单调性,还要求和的解,这个求解涉及到反余弦,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以 避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性.‎ 五、证明成立，（其中）‎ 例：（2007年安徽卷18题）‎ 设.‎ ‎（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，恒有.‎ ‎（Ⅰ）略；‎ ‎（Ⅱ）证明：即证，由于，则.由拉格朗日中值定理得，存在，使得.由（Ⅰ）的解题过程知，所以.令得，.令得，.故在上最小值 .所以.从而.又，则成立，从而当时，成立.‎ ‎ 评注：这道题的参考答案是用（Ⅰ）中在内的极小值得到.又，所以.从而在上单调递增,故的最小值，所以.但是如果没有（Ⅰ），很难想到利用来判断的单调性.而用拉格朗日中值定理证明，就不存在这个问题.‎ 六、证明或（其中）‎ 例：（2009年辽宁卷理21题）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明：若，则对任意，，有.‎ ‎（Ⅰ）略；‎ ‎（Ⅱ）.由（Ⅰ）得，.所以要证成立，即证.下面即证之.‎ 令，则.由于，所以.从而在恒成立.也即.又，，故.则，即，也即.‎ 评注：这道题（Ⅱ）小题存在两个难点：首先有两个变量；其次的值是变化的.参考答案的解法是考虑函数.为什么考虑函数？很多考生一下子不易想到.而且的放缩也不易想到.‎ ‎ 拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理.是解决函数在某一点的导数的重要工具.近年来，不少高考压轴题以导数命题，往往可以用拉格朗日中值定理求解.固然，这些压轴题用初等数学的方法也可以求解.但初等数学的方法往往计算量较大.这时，用拉格朗日中值定理交易解决.充分体现了高等数学的优越性，有力反驳了“高数无用论”的错误的想法.从而使学生感受到高等数学与初等数学的联系，增加学习的兴趣.‎ 从以上六道题目与参考答案不同的解法中，我们可以感受到高等数学对初等数学具有居高临下的指导作用.近几年，高观点下的高考命题颇受命题者的青睐.因此加强对高等数学的研究就显得很有必要.‎