高考数学一轮总复习专题33定积分练习理 14页

专题3.3 定积分 考点分析 定积分与微积分基本定理 ‎（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；‎ ‎（2）了解微积分基本定理的含义．‎ 知识链接 ‎1、相关术语：对于定积分 ‎（1）称为积分上下限，其中 ‎（2）：称为被积函数 ‎（3）：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：中的被积函数为，而的被积函数为 ‎2、定积分的几何意义：表示函数与轴，围成的面积（轴上方部分为正，轴下方部分为负）和，所以只有当图像在完全位于轴上方时，才表示面积。可表示数与轴，围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解 ‎3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：‎ ‎（1）微积分基本定理：如果是区间上的连续函数，并且，那么 使用微积分基本定理，关键是能够找到以为导函数的原函数。所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎① 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：‎ ‎，则判断属于幂函数类型，原函数应含，但，而，所以原函数为（为常数）‎ ‎② 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数，例如，则，但在使用微积分基本定理时，会发现计算时会消去，所以求定积分时，不需加上常数。‎ ‎（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数。‎ ‎4、定积分的运算性质：假设存在 ‎（1）‎ 作用：求定积分时可将的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化的复杂程度 ‎（2）‎ 作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如 ‎（3），其中 作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。‎ ‎5、若具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算 ‎（1）若为奇函数，则 ‎（2）若为偶函数，则 ‎6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤：‎ ‎（1）通过作图确定所求面积的区域 ‎（2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数 ‎（3）若时，始终有，则该处面积为 ‎7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况 ‎（1）构成曲面梯形的函数发生变化 ‎（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。‎ 融会贯通 题型一　定积分的计算 典例1　(1)(2017·九江模拟)若ʃ(2x＋λ)dx＝2(λ∈R)，则λ等于(　　)‎ A．0 B．‎1 C．2 D．－1‎ ‎(2)定积分ʃ|x2－2x|dx等于(　　)‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ ‎【答案】　(1)B　(2)D ‎【解题技巧与方法总结】‎ 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：‎ ‎(1)对被积函数要先化简，再求积分；‎ ‎(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；‎ ‎(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．‎ ‎【变式训练】(1)若则实数a的值为(　　)‎ A．－1 B．‎1 C．－ D. ‎(2)设f(x)＝则ʃf(x)dx等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】 (1)A　(2)C ‎【解析】 ‎ ‎＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2，‎ ‎∴a＝－1.‎ ‎(2)ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃ(2－x)dx ‎＝x3|＋(2x－x2)| ‎＝＋(4－×4)－(2－)‎ ‎＝.‎ 题型二　定积分的几何意义 命题点1　利用定积分的几何意义计算定积分 典例2　(1)计算：ʃ dx＝________.‎ ‎(2)若ʃ dx＝，则m＝________.‎ ‎【答案】　(1)π　(2)－1‎ 命题点2　求平面图形的面积 典例3　(2017·青岛月考)由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为______．‎ ‎【答案】　4－ln 3‎ ‎【解析】　由xy＝1，y＝3可得交点坐标为(，3)．‎ 由xy＝1，y＝x可得交点坐标为(1,1)，‎ 由y＝x，y＝3得交点坐标为(3,3)，‎ 由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为 ‎＝(3－1－ln 3)＋(9－－3＋)＝4－ln 3.‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎ (1)根据定积分的几何意义可计算定积分；‎ ‎(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤 ‎①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；‎ ‎②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；‎ ‎③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；‎ ‎④计算定积分，写出答案．‎ ‎【变式训练】(1)定积分ʃdx的值为(　　)‎ A．9π B．3π C.π D.π ‎(2)由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为________．‎ ‎【答案】　(1)C　(2) 题型三　定积分在物理中的应用 典例4　一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)‎ A．1＋25ln 5 B．8＋25ln C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2‎ ‎【答案】　C ‎【解析】　令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，‎ ‎∴汽车行驶距离s＝ʃ(7－3t＋)dt ‎＝| ‎＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. ‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ 定积分在物理中的两个应用 ‎(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝ʃv(t)dt.‎ ‎(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝ʃF(x)dx.‎ ‎【变式训练】一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(　　)‎ A. J B. J C. J D．2 J ‎【答案】　C ‎【知识链接】‎ ‎1．定积分的概念 在ʃf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．‎ ‎2．定积分的性质 ‎(1)ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx(k为常数)；‎ ‎(2)ʃdx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx；‎ ‎(3)ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a