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- 2021-05-14 发布
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第三节 二项式定理
二项式定理的应用
(1)能用计数原理证明二项式定理.
(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
知识点一 二项式定理
1.定理
公式(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*)叫作二项式定理.
2.通项
Tk+1=Can-kbk为展开式的第k+1项.
易误提醒 (1)二项式的通项易误认为是第k项实质上是第k+1项.
(2)(a+b)n与(b+a)n虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不相同的,所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒.
(3)通项是Tk+1=Can-kbk(k=0,1,2,…,n).其中含有Tk+1,a,b,n,k五个元素,只要知道其中四个即可求第五个元素.
[自测练习]
1.6的展开式中常数项为________.
解析:由题意可知常数项为C(2x)24=60.
答案:60
2.8的展开式中的有理项共有________项.
解析:∵Tr+1=C()8-rr=rCx∴r为4的倍数,故r=0,4,8共3项.
答案:3
知识点二 二项式系数与项的系数
1.二项式系数与项的系数
(1)二项式系数
二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1,…,n})叫作二项式系数.
(2)项的系数
项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与二项式系数是两个不同的概念.
2.二项式系数的性质
性 质
内 容
对称性
与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即C=C
增减性
当k<时,二项式系数逐渐增大;
当k>时,二项式系数逐渐减小
最大值
当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大,最大值为Cn;当n是奇数时,中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值,最大值为Cn或Cn
3.各二项式系数的和
(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n,即C+C+C+…+C+…+C=2n.
二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.
易误提醒 二项式系数与展开式项的系数的异同:
在Tk+1=Can-kbk中,C就是该项的二项式系数,它与a,b的值无关;Tk+1项的系数指化简后除字母以外的数,如a=2x,b=3y,Tk+1=C2n-k·3kxn-kyk,其中C2n-k3k就是Tk+1项的系数.
[自测练习]
3.(2015·高考四川卷)在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是________.(用数字填写答案).
解析:由二项展开式的通项Tr+1=C(2x)5-r(-1)r(r=0,1,…,5)知,当r=3时,T4=C(2x)5-3(-1)3=-40x2,所以含x2的项的系数是-40.
答案:-40
4.C+3C+5C+…+(2n+1)C=________.
解析:设S=C+3C+5C+…+(2n-1)·C+(2n+1)C,
∴S=(2n+1)C+(2n-1)C+…+3C+C,
∴2S=2(n+1)(C+C+C+…+C)=2(n+1)·2n,
∴S=(n+1)·2n.
答案:(n+1)·2n
考点一 二项展开式中特定项与系数问题|
1.(2016·海淀模拟)3的展开式中的常数项为( )
A.12 B.-12
C.6 D.-6
解析:由题意可得,二项展开式的通项为Tr+1=C·(x2)3-rr=(-2)rCx6-3r,令6-3r=0,得r=2,∴3的展开式中的常数项为T2+1=(-2)2C=12,故选A.
答案:A
2.(2015·高考安徽卷)7的展开式中x5的系数是________.(用数字填写答案)
解析:由题意知,展开式的通项为Tr+1=C(x3)7-rr=Cx21-4r,令21-4r=5,则r=4,∴T5=Cx5=35x5,故x5的系数为35.
答案:35
3.若n展开式中含有x2项,则n的最小值是________.
解析:n的展开式的通项是Tr+1=C·n-r·(-x)r=C·(-1)r·xr-n.依题意得,关于r的方程r-n=2,即r=有正整数解;又2与5互质,因此n+2必是5的倍数,即n+2=5k,n=5k-2,n的最小值是3.
答案:3
求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数r+1,代回通项公式即可.
考点二 二项式系数性质与各项系数和问题|
(1)若n展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式的常数项是( )
A.360 B.180
C.90 D.45
(2)若a1(x-1)4+a2(x-1)3+a3(x-1)2+a4(x-1)+a5=x4,则a2+a3+a4=________.
[解析] (1)展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式总共11项,所以n=10,
通项公式为Tr+1=C()10-r·r=C2rx5-r,
所以r=2时,常数项为180.
(2)x4=[(x-1)+1]4=C(x-1)4+C(x-1)3+C(x-1)2+C(x-1)+C,对照a1(x-1)4+a2(x-1)3+a3(x-1)2+a4(x-1)+a5=x4得a2=C,a3=C,a4=C,所以a2+a3+a4=C+C+C=14.
[答案] (1)B (2)14
(1)赋值法研究二项式的系数和问题
“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数,则中间一项的二项式系数最大.
(2)如果n是奇数,则中间两项的二项式系数相等并最大.
(2015·成都一中模拟)设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:令等式中x=-1可得a0+a1+a2+…+a11=(1+1)(-1)9=-2,故选A.
答案:A
考点三 多项式展开式中特定项或系数问题|
在高考中,常常涉及一些多项式二项式问题,主要考查学生的化归能力,归纳起来常见的命题角度有:
1.几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题.
2.几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题.
3.三项展开式中的特定项(系数)问题.
探究一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
1.(2016·商丘月考)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是( )
A.74 B.121
C.-74 D.-121
解析:展开式中含x3项的系数为C(-1)3+C(-1)3+C(-1)3+C(-1)3=-121.
答案:D
探究二 几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题
2.(2015·高考全国卷Ⅱ)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=________.
解析:法一:直接将(a+x)(1+x)4展开得x5+(a+4)x4+(6+4a)x3+(4+6a)x2+(1+4a)x+a,由题意得1+(6+4a)+(1+4a)=32,解得a=3.
法二:(1+x)4展开式的通项为Tr+1=Cxr,由题意可知,a(C+C)+C+C+C=32,解得a=3.
答案:3
探究三 三项展开式中特定项(系数)问题
3.(2015·高考全国卷Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10 B.20
C.30 D.60
解析:(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有C(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为CC=30,故选C.
答案:C
(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题,
只需依据二项展开式的通项,从每一项中分别得到特定的项,再求和即可.
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.
30.一般与特殊的思想在二项式问题中的应用(赋值法)
【典例】 若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值是________.
[思维点拨] 要求解的问题与二项式系数有关考虑赋值法,令x=±1,可求得奇数项与偶数项系数之和.
[解析] 令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4,①
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4.②
故(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a2+a4+a1+a3)(a0+a2+a4-a1-a3)=(2+)4×(-2+)4=(3-4)4=1.
[答案] 1
[方法点评] 赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法,注意所赋的值要有利于问题的解决,可以取一个或几个值,常赋的值为0,±1.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
[跟踪练习] 若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12=________.
解析:令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36,
令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,
∴a0+a2+a4+…+a12=.
令x=0,则a0=1,∴a2+a4+…+a12=-1=364.
答案:364
A组 考点能力演练
1.若n的展开式中的所有二项式系数之和为512,则该展开式中常数项为( )
A.-84 B.84
C.-36 D.36
解析:由二项式系数之和为2n=512,得n=9.又Tr+1=(-1)rCx18-3r,
令18-3r=0,得r=6,故常数项为T7=84.故选B.
答案:B
2.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )
A.-4 B.-3
C.-2 D.-1
解析:(1+x)5中含x与x2的项为T2=Cx=5x,
T3=Cx2=10x2,∴x2的系数为10+5a=5,∴a=-1.
答案:D
3.(2016·青岛模拟)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an=63,则展开式中系数最大的项是( )
A.15x2 B.20x3
C.21x3 D.35x3
解析:∵(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
令x=0,得a0=1.
令x=1,则(1+1)n=a0+a1+a2+…+an=64,∴n=6,
又(1+x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大,
∴(1+x)6的展开式系数最大项为T4=Cx3=20x3.
答案:B
4.(2016·西城一模)若m的展开式中二项式系数之和为128,则展开式中的系数是( )
A.21 B.-21
C.7 D.-7
解析:∵2m=128,∴m=7,∴展开式的通项Tr+1=C(3x)7-r·r=C37-r(-1)rx7-,
令7-r=-3,解得r=6,
∴的系数为C37-6(-1)6=21,故选A.
答案:A
5.(2016·广州调研)已知a=2cosdx,则二项式5的展开式中x的系数为( )
A.10 B.-10
C.80 D.-80
解析:a=2cosdx=2sin=-2,展开式的通项为Tr+1=C
eq oal(r,5)(-2)rx10-3r,令10-3r=1,则r=3,T4=C(-2)3x=-80x.
答案:D
6.6的展开式中常数项为________.
解析:6的通项为Tk+1=Cx6-kk=kCx6-2k,令6-2k=0,得k=3,故展开式中常数项为-.
答案:-
7.(2015·高考天津卷)在6的展开式中,x2的系数为________.
解析:二项式6展开式的第r+1项为Tr+1=Cx6-r·rx-r=Crx6-2r,令6-2r=2,解得r=2,故x2的系数为C2=.
答案:
8.若(1-2x)2 015=a0+a1x+a2x2+…+a2 015x2 015,则++…+=________.
解析:当x0=0时,左边=1,右边=a0,∴a0=1
当x=时,左边=0,右边=a0+++…+
∴0=1+++…+
∴++…+=-1
答案:-1
9.已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求正数a的值.
解:5展开式的通项
Tr+1=C5-r·r=5-rCx,
令20-5r=0,得r=4,
故常数项T5=C·=16,
又(a2+1)n展开式的各项系数之和为2n,
由题意,得2n=16,∴n=4.
∴(a2+1)4展开式中系数最大的项是中间项T3,
从而C(a2)2=54,∴a=.
10.(1)求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除;
(2)求S=C+C+…+C除以9的余数.
解:(1)证明:∵1+2+22+…+25n-1=
=25n-1=32n-1=(31+1)n-1
=C×31n+C×31n-1+…+C×31+C-1
=31(C×31n-1+C×31n-2+…+C),
显然C×31n-1+C×31n-2+…+C为整数,
∴原式能被31整除.
(2)S=C+C+…+C=227-1=89-1
=(9-1)9-1=C×99-C×98+…+C×9-C-1=9(C×98-C×97+…+C)-2.
∵C×98-C×97+…+C是整数,
∴S被9除的余数为7.
B组 高考题型专练
1.(2014·高考湖北卷)若二项式7的展开式中的系数是84,则实数a=( )
A.2 B.
C.1 D.
解析:Tr+1=C·(2x)7-r·r=27-rCar·.令2r-7=3,则r=5.由22·Ca5=84得a=1,故选C.
答案:C
2.(2014·高考四川卷)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )
A.30 B.20
C.15 D.10
解析:在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T3=C·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项的系数为15.
答案:C
3.(2015·高考湖北卷)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A.29 B.210
C.211 D.212
解析:因为(1+x)n
的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以C=C,解得n=10,所以二项式(1+x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210=29.
答案:A
4.(2015·高考广东卷)在(-1)4的展开式中,x的系数为________.
解析:由题意得Tr+1=C()4-r(-1)r=(-1)rC·x,令=1,得r=2,所以所求系数为(-1)2C=6.
答案:6
5.(2013·高考浙江卷)设二项式5的展开式中常数项为A,则A=________.
解析:展开式通项为Tr+1=C·()5-rr=C(-1)rx-r.
令-r=0,得r=3,
当r=3时,T4=C(-1)3=-10.故A=-10.
答案:-10