高考数学理科模拟试卷四 17页

‎2018年高考数学(理科)模拟试卷(四)‎ ‎(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)‎ 第Ⅰ卷(选择题　满分60分)‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)‎ ‎1．[2016·成都诊断考试]已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x||x|≤2}，则A∪B＝(　　)‎ A．[－2,2] B．[－2,4] C．[0,2] D．[0,4]‎ ‎2．[2016·茂名市二模]“a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的(　　)‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．[2017·呼和浩特调研]设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于(　　)‎ A. B．± C．± D. ‎4．[2016·洛阳第一次联考]如果圆x2＋y2＝n2至少覆盖曲线f(x)＝sin(x∈R)的一个最高点和一个最低点，则正整数n的最小值为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．[2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．[2016·贵阳一中质检]函数g(x)＝2ex＋x－3t2dt的零点所在的区间是(　　)‎ A．(－3，－1) B．(－1,1)‎ C．(1,2) D．(2,3)‎ ‎7．[2016·浙江高考]在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝(　　)‎ A．2 B．4 C．3 D．6‎ ‎8．[2017·广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．24＋6π B．12π C．24＋12π D．16π ‎9．[2016·南京模拟]已知四面体P－ABC中，PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2，PA⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 ‎10．[2016·四川高考]在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎11．[2016·山西质检]记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若－7· ‎－8＝0，且正整数m，n满足a1ama2n＝2a，则＋的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎12．[2016·海口调研]已知曲线f(x)＝ke－2x在点x＝0处的切线与直线x－y－1＝0垂直，若x1，x2是函数g(x)＝f(x)－|ln x|的两个零点，则(　　)‎ A．10，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，直线y＝(x＋c)与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为________．‎ ‎16．[2016·广州综合测试]已知函数f(x)＝ 则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为________个．‎ 三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A、B、C 处各有一个水声监测点，B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．‎ ‎(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；‎ ‎(2)求P到海防警戒线AC的距离．‎ ‎18．[2016·重庆市一模](本小题满分12分)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．‎ 方案一：每满200元减50元；‎ 方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)‎ 红球个数 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 实际付款 半价 ‎7折 ‎8折 原价 ‎(1)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；‎ ‎(2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？‎ ‎19．[2016·贵州四校联考](本小题满分12分)已知长方形ABCD中，AB＝1，AD＝.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如图所示．‎ ‎(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．‎ ‎(2)当四面体A－BCD体积最大时，求二面角A－CD－B的余弦值．‎ ‎20．[2016·全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2x 的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎21．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax－ln x－4(a∈R)．‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当a＝2时，若存在区间[m，n]⊆，使f(x)在[m，n]上的值域是，求k的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．[2016·陕西八校联考](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的方程为x2＋y2＝1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ(2cosθ－sinθ)＝6.‎ ‎(1)将曲线C1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；‎ ‎(2)设P为曲线C2上任意一点，求点P到直线l的最大距离．‎ ‎23．[2016·南昌一模](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝＋的最大值为M.‎ ‎(1)求实数M的值；‎ ‎(2)求关于x的不等式|x－|＋|x＋2|≤M的解集．‎ 参考答案(四)‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)‎ ‎1．[2016·成都诊断考试]已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x||x|≤2}，则A∪B＝(　　)‎ A．[－2,2] B．[－2,4] C．[0,2] D．[0,4]‎ 答案　B 解析　A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，故A∪B＝{x|－2≤x≤4}，故选B.‎ ‎2．[2016·茂名市二模]“a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的(　　)‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　a2－1＋2(a＋1)i为纯虚数，则a2－1＝0，a＋1≠0，所以a＝1，反之也成立．故选A.‎ ‎3．[2017·呼和浩特调研]设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于(　　)‎ A. B．± C．± D. 答案　B 解析　由题意可得c＝1，a＝2，b＝，不妨取A点坐标为，则直线的斜率k＝±.‎ ‎4．[2016·洛阳第一次联考]如果圆x2＋y2＝n2至少覆盖曲线f(x)＝sin(x∈R)的一个最高点和一个最低点，则正整数n的最小值为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　最小范围内的至高点坐标为，原点到至高点距离为半径，即n2＝＋3⇒n＝2，故选B.‎ ‎5．[2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由程序框图可知，输出的结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即，故选A.‎ ‎6．[2016·贵阳一中质检]函数g(x)＝2ex＋x－3t2dt的零点所在的区间是(　　)‎ A．(－3，－1) B．(－1,1)‎ C．(1,2) D．(2,3)‎ 答案　C 解析　因为3t2dt＝t3＝8－1＝7，∴g(x)＝2ex＋x－7，g′(x)＝2ex＋1>0，g(x)在R上单调递增，g(－3)＝2e－3－10<0，g(－1)＝2e－1－8<0，g(1)＝2e－6<0，g(2)＝2e2－5>0，g(3)＝2e3－4>0，故选C.‎ ‎7．[2016·浙江高考]在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝(　　)‎ A．2 B．4 C．3 D．6‎ 答案　C 解析　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝＝3.故选C.‎ ‎8．[2017·广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．24＋6π B．12π C．24＋12π D．16π 答案　A 解析　由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1＝3×4π×12＝12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2＝6(22－π×12)＝24－6π.所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＝12π＋(24－6π)＝24＋6π.‎ ‎9．[2016·南京模拟]已知四面体P－ABC中，PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2，PA⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 答案　A 解析　PA⊥平面PBC，AC＝2，PA＝4，∴PC＝2，∴△PBC为等边三角形，设其外接圆半径为r，则r＝2，∴外接球半径为2.故选A.‎ ‎10．[2016·四川高考]在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由||＝||＝||知，D为△ABC的外心．由·＝·＝·知，D为△ABC的内心，所以△ABC为正三角形，易知其边长为2.取AC的中点E，因为M是PC的中点，所以EM＝AP＝，所以||max＝|BE|＋＝，则||＝，选B.‎ ‎11．[2016·山西质检]记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若－7·－8＝0，且正整数m，n满足a1ama2n＝2a，则＋的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　∵{an}是正项等比数列，设{an}的公比为q(q>0)，∴＝q6，＝q3，∴q6－7q3－8＝0，解得q＝2，又a1ama2n＝2a，∴a·2m＋2n－2＝2(a124)3＝a213，∴m＋2n＝15，∴＋＝(m＋2n)＝≥＝，当且仅当＝，n＝2m，即m＝3，n＝6时等号成立，∴＋的最小值是，故选C.‎ ‎12．[2016·海口调研]已知曲线f(x)＝ke－2x在点x＝0处的切线与直线x－y－1＝0垂直，若x1，x2是函数g(x)＝f(x)－|ln x|的两个零点，则(　　)‎ A．10，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，直线y＝(x＋c)与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为________．‎ 答案　＋1‎ 解析　∵直线y＝(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为30°，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，∴∠F2PF1＝90°，即F1P⊥F2P.∴|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|·sin60°＝c，由双曲线的定义得2a＝|PF1|－|PF2|＝c－c，∴双曲线C的离心率e＝＝＝＋1.‎ ‎16．[2016·广州综合测试]已知函数f(x)＝ 则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为________个．‎ 答案　2‎ 解析　由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0，得f(x)＝21－|x|，画出y＝与y＝21－|x|的图象，可知，它们有2个交点，所以零点个数为2.‎ 三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．‎ ‎(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；‎ ‎(2)求P到海防警戒线AC的距离．‎ 解　(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.(2分)‎ 在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝，‎ 同理，在△PAC中，‎ AC＝50，cos∠PAC＝＝＝.(4分)‎ ‎∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴＝，‎ 解得x＝31.(6分)‎ ‎(2)作PD⊥AC于点D，在△ADP中，‎ 由cos∠PAD＝，‎ 得sin∠PAD＝＝，(9分)‎ ‎∴PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4.‎ 故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米．(12分)‎ ‎18．[2016·重庆市一模](本小题满分12分)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．‎ 方案一：每满200元减50元；‎ 方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)‎ 红球个数 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 实际付款 半价 ‎7折 ‎8折 原价 ‎(1)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；‎ ‎(2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？‎ 解　(1)记顾客获得半价优惠为事件A，则P(A)＝＝，(2分)‎ 两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率P＝1－P()P()＝1－2＝.(4分)‎ ‎(2)若选择方案一，则付款金额为320－50＝270元．(6分)‎ 若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160,224,256,320.‎ P(X＝160)＝，‎ P(X＝224)＝＝，‎ P(X＝256)＝＝，‎ P(X＝320)＝＝，(9分)‎ 则E(X)＝160×＋224×＋256×＋320×＝240.‎ ‎∵270>240，‎ ‎∴第二种方案比较划算．(12分)‎ ‎19．[2016·贵州四校联考](本小题满分12分)已知长方形ABCD中，AB＝1，AD＝.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如图所示．‎ ‎(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．‎ ‎(2)当四面体A－BCD体积最大时，求二面角A－CD－B的余弦值．‎ 解　(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，‎ 所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC.‎ 即AB2＋a2＝BC2⇒12＋a2＝()2⇒a＝1.(2分)‎ 若AD⊥BC，因为AD⊥AB，AB∩BC＝B，‎ 所以AD⊥面ABC⇒AD⊥AC，‎ 即AD2＋a2＝CD2⇒()2＋a2＝12⇒a2＝－1，无解，‎ 故AD⊥BC不成立．(4分)‎ ‎(2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值，所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD.(6分)‎ 过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，‎ 以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，‎ 则易知A，C，D 显然，面BCD的法向量为＝.(8分)‎ 设面ACD的法向量为n＝(x，y，z)．‎ 因为＝，＝，‎ 所以令y＝，‎ 得n＝(1，，2)，(10分)‎ 故二面角A－CD－B的余弦值即为 ‎|cos〈，n〉|＝＝.(12分)‎ ‎20．[2016·全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2x 的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ 解　由题知F.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，‎ 且A，B，P，Q，‎ R，.‎ 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.(3分)‎ ‎(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.‎ 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝＝＝＝＝－b＝k2，‎ 所以AR∥FQ.(5分)‎ ‎(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝|b－a|·|FD|＝|b－a|，S△PQF＝.‎ 则题设可得|b－a|＝，所以x1＝0(舍去)或x1＝1.‎ 设满足条件的AB的中点为E(x，y)．‎ 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)，而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．‎ 当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2＝x－1.‎ 所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.(12分)‎ ‎21．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax－ln x－4(a∈R)．‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当a＝2时，若存在区间[m，n]⊆，使f(x)在[m，n]上的值域是，求k的取值范围．‎ 解　(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝，‎ 当a≤0时，f′(x)≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，‎ 当a>0时，令f′(x)＝0，则x＝，当x∈时，f′(x)<0，f(x)为减函数，‎ 当x∈时，f′(x)>0，f(x)为增函数，(3分)‎ ‎∴当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上为减函数；当a>0时，f(x)在上为减函数，在上为增函数．(4分)‎ ‎(2)当a＝2时，f(x)＝2x－ln x－4，由(1)知：f(x)在上为增函数，而[m，n]⊆，‎ ‎∴f(x)在[m，n]上为增函数，结合f(x)在[m，n]上的值域是知：f(m)＝，f(n)＝，其中≤m0，‎ ‎∴F(x)在上为增函数，即φ′(x)在上为增函数，而φ′(1)＝0，‎ ‎∴当x∈时，φ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，‎ ‎∴φ(x)在上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，(10分)‎ 而φ＝，φ(1)＝－4，当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，故结合图象得：‎ φ(1)