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- 2021-05-14 发布
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(全国 1 卷 4)
答案:
(全国 1 卷 15)
答案:
(全国 1 卷 20)
答案:
(全国 2 卷 6)双曲线 的离心率为 ,则其渐近线方程为
A. B. C. D.
答案:A
(全国 2 卷 11)已知 , 是椭圆 的两个焦点, 是 上的一点,若 ,且
,则 的离心率为
A. B. C. D.
答案:D
(全国 2 卷 20)设抛物线 的焦点为 ,过 且斜率为 的直线 与 交于
, 两点, .
(1)求 的方程;
(2)求过点 , 且与 的准线相切的圆的方程.
答案:(1)由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x–1)(k>0).
设 A(x1,y1),B(x2,y2).
由 得 .
,故 .
所以 .
由题设知 ,解得 k=–1(舍去),k=1.
因此 l 的方程为 y=x–1.
( 2 ) 由 ( 1 ) 得 AB 的 中 点 坐 标 为 ( 3 , 2 ),所 以 AB 的 垂 直 平 分 线 方 程 为
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 3
2y x= ± 3y x= ± 2
2y x= ± 3
2y x= ±
1F 2F C P C 1 2PF PF⊥
2 1 60PF F∠ = ° C
31 2
− 2 3− 3 1
2
−
3 1−
2 4C y x=: F F ( 0)k k > l C
A B | | 8AB =
l
A B C
2
( 1)
4
y k x
y x
= −
=
2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + =
216 16 0k∆ = + =
2
1 2 2
2 4kx x k
++ =
2
1 2 2
4 4( 1) ( 1) kAB AF BF x x k
+= + = + + + =
2
2
4 4 8k
k
+ =
,即 .
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
解得 或
因此所求圆的方程为
或 .
(全国 3 卷 8)
答案:A
(全国 3 卷 10)
答案:D
(全国 3 卷 20)
2 ( 3)y x− = − − 5y x= − +
0 0
2
2 0 0
0
5
( 1)( 1) 16.2
y x
y xx
= − + − ++ = +
,
0
0
3
2
x
y
=
=
, 0
0
11
6.
x
y
=
= −
,
2 2( 3) ( 2) 16x y− + − = 2 2( 11) ( 6) 144x y− + + =
答案:
(北京卷 10)已知直线 l 过点(1,0)且垂直于轴,若 l 被抛物线 截得的线段长
为 4,则抛物线的焦点坐标为________.
答案:(1,0)
(北京卷 12)
答案:4
(北京卷 20)已知椭圆 的离心率为 ,焦距 2 .斜率
为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A,B.
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程;
(Ⅱ)若 ,求 的最大值;
(Ⅲ)设 ,直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点 C,直线 PB 与椭圆 M 的另一个交
点 D.若 C,D 和点 共线,求 k.
(天津卷 7)已知双曲线 的离心率为 2,过右焦点且垂直于
轴的直线与双曲线交于 两点,设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为
且 ,则双曲线方程为
(A) (B) (C) (D)
答案:A
2 2
2 2 1( 0, 0)− = > >x y a ba b x
,A B ,A B
1 2和d d 1 2+ =6d d
2 2
13 9
− =x y 2 2
19 3
− =x y 2 2
14 12
− =x y 2 2
112 4
− =x y
解析: , ,
在梯形 中, , 为渐焦距 ,
(天津卷 12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的
方程为
答案:
解析:因为圆过(0,0)(2,0)
所以圆心在 x=1 上,设其坐标为(1,b)
又因为(1,1)在圆上
所以
即
(天津卷 19)
(19)(本小题满分 14 分)
设椭圆 ( )的右顶点为 A,上顶点为 B,已知椭圆的离心率
为 , .
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线 ( ∆0)与椭圆交于 P,Q 两点, 与直线 AB 交于点 M,且点
P,M 均在第四象限,若 的面积是 面积的 2 倍,求 的值。
答案:
2= =ce a 2=c a
ABCD + 2=AC BD FE FE =b
1 2 2 6∴ + = =d d b 3∴ =b
2 2 2+ =a b c 2 2 29, 12=3,∴ = =a b c
∴
2 2
13 9
− =x y
2 22 0x x y- + =
21 1 0, 1r b b b r= - = + Þ = =
2 2( 1) 1,x y- + = 2 22 0x x y- + =
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> >
5
3 | 13AB =
:l y kx= k l
BPM BPQ k
(I)解:设椭圆的焦距为 2c,由已知有 ,又由 ,可得 。
由 ,从而 。
所以椭圆的方程为 .
(II)解:设点P的坐标为 ,点 的坐标为 ,由题意, ,
点Q的坐标为 。由 的面积是 面积的2倍,可得 ,
从而 即 。
易 知 直 线 AB 的 方 程 为 , 由 方 程 组 消 去 , 可 得
,由方程组 消去 ,可得 ,由 可得
,两边平方,整理得 ,解得 ,或 .
当 时, ,不合题意,舍去;当 时, ,符合
题意。
所以 的值为 。
2
2
5
9
c
a
= 2 2 2a b c= + 2 3a b=
2 2| 13AB a b= + = 3, 2a b= =
2 2
19 4
x y+ =
1 1( ,x y) M 2 2, )x y( 2 1 0x x> >
1 1( , )x y− − BPM BPQ | | 2 | |PM PQ=
2 1 1 12[ ( )],x x x x− = − − 2 15x x=
2 3 6x y+ = 2 3 6x y
y kx
+ =
= y
2
6
3 2x k
= +
2 2
19 4
x y
y kx
+ =
=
y 1 2
6
9 4
x
k
=
+ 2 15x x=
29 4 5(3 2)k k+ = + 218 25 8 0k k+ + = 8
9k = − 1
2k = −
8
9k = − 2 9 0x = − < 1
2k = − 2 1
1212, 5x x= =
k 1
2
−