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- 2021-05-14 发布
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【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 12-2坐标系与参数方程课后强化作业 新人教A版
基础巩固强化
一、选择题
1.(文)极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是( )
A.两个圆 B.两条直线
C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线
[答案] C
[解析] 原方程等价于ρ=1或θ=π,前者是半径为1的圆,后者是一条射线.
(理)(2013·北京西城期末)在极坐标系中,已知点P(2,),则过点P且平行于极轴的直线的方程是( )
A.ρsinθ=1 B.ρsinθ=
C.ρcosθ=1 D.ρcosθ=
[答案] A
[解析] 点P(2,)的直角坐标为(,1),
∵所求直线平行于极轴,∴所求直线的斜率k=0.
所求直线的普通方程为y=1,化为极坐标方程为ρsinθ=1,故选A.
2.(文)设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴为x轴正半轴,则直线(t为参数)被圆ρ=3截得的弦长为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 圆的直角坐标方程为x2+y2=9,直线的参数方程化为普通方程为x-2y+3=0,则圆心(0,0)到直线的距离d=.所以弦长为2=.
(理)已知点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上,则|PF|=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] D
[解析] 将抛物线的参数方程化为普通方程为y2=4x,则焦点F(1,0),准线方程为x
=-1,又P(3,m)在抛物线上,由抛物线的定义知|PF|=3-(-1)=4.
3.(文)(2013·北京海淀期末)已知直线l:(t为参数)与圆C:(θ为参数),则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别为( )
A.,(1,0) B.,(-1,0)
C.,(1,0) D.,(-1,0)
[答案] C
[解析] ∵直线l的普通方程为x+y=0,
∴直线l的倾斜角为.
又∵圆C的普通方程为(x-1)2+y2=4,
∴圆心坐标为(1,0),故选C.
(理)(2013·山西太原测评)若直线(t为参数)被曲线(θ为参数,θ∈R)所截,则截得的弦的长度是( )
A. B.
C. D.6
[答案] B
[解析] ∵∴x+2y+3=0.
∵∴(x-1)2+(y-1)2=9,
∴圆心(1,1)到直线x+2y+3=0的距离
d==,
弦长为2=,故选B.
4.若直线的参数方程为(t为参数),则直线的倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
[答案] D
[解析] 由直线的参数方程知,斜率k===-=tanθ,θ为直线的倾斜角,所以该直线的倾斜角为150°.
5.(文)在极坐标系中,过点(2,)且与极轴平行的直线的方程是( )
A.ρcosθ= B.ρsinθ=
C.ρ=cosθ D.ρ=sinθ
[答案] B
[解析] 设P(ρ,θ)是所求直线上任意一点,则ρsinθ=2sin,∴ρsinθ=,故选B.
(理)(2013·安徽理,7)在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2
B.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2
C.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1
D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1
[答案] B
[解析] 由题意可知,圆ρ=2cosθ可化为普通方程为(x-1)2+y2=1.
所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x=0和x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2,故选B.
6.(2012·淮南市二模)已知曲线C:(θ为参数)和直线l:(t为参数,b为实数),若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1,则b=( )
A. B.-
C.0 D.±
[答案] D
[解析] 将曲线C和直线l的参数方程分别化为普通方程为x2+y2=4和y=x+b,依题意,若要使圆上有3个点到直线l的距离为1,只要满足圆心到直线的距离为1即可,得到=1,解得b=±.
二、填空题
7.若直线l1:(t为参数)与直线l2:(s为参数)垂直,则k=______.
[答案] -1
[解析] l1:(t为参数)
化为普通方程为y-2=-(x-1),
l2:(s为参数)化为普通方程为y-1=-2x,
∵l1⊥l2,∴-·(-2)=-1,k=-1.
8.(文)(2013·江西理,15)设曲线C的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为________.
[答案] ρcos2θ-sinθ=0
[解析] 由参数方程得曲线在直角坐标系下的方程为y=x2.
由公式得曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ.
(理)(2013·陕西理,15)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为________.
[答案] (θ为参数)
[解析] 由三角函数定义知=tanθ(x≠0),y=xtanθ,
由x2+y2-x=0得,x2+x2tan2θ-x=0,x==cos2θ,
则y=xtanθ=cos2θtanθ=sinθcosθ,
又θ=时,x=0,y=0也适合题意,
故参数方程为(θ为参数).
[解法探究] 因为直线OP与圆的交点为P,所以点P与直径两端点构成直角三角形,故可通过解直角三角形求得参数方程.
将圆x2+y2-x=0配方得,(x-)2+y2=,
∴圆的直径为1.
设P(x,y),则|OP|=cosθ,
x=|OP|cosθ=cos2θ,
y=|OP|sinθ=sinθcosθ.
∴圆的参数方程为(θ为参数).
9.(文)(2012·深圳调研)在极坐标系中,点P(1,)到直线l:ρcos(θ+)=上的点的最短距离为________.
[答案] 2
[解析] 注意到点P(1,)的直角坐标是(0,1),直线l:ρcos(θ+)=的直角坐标方程是x-y-3=0,因此点P(1,)到直线l上的点的最短距离,即点P到直线l的距离,等于=2.
(理)在极坐标系中,圆ρ=4cosθ的圆心C到直线ρsin(θ+)=2的距离为________.
[答案]
[解析] 注意到圆ρ=4cosθ的直角坐标方程是x2+y2=4x,圆心C的坐标是(2,0).直线ρsin(θ+)=2的直角坐标方程是x+y-4=0,因此圆心(2,0)到该直线的距离等于=.
三、解答题
10.(文)(2012·河南六市联考)曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线C2的参数方程为(t为参数).
(1)将C1化为直角坐标方程;
(2)曲线C1与C2是否相交?若相交,求出弦长,若不相交,请说明理由.
[解析] (1)∵ρ=4cosθ,∴ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,
所以C1的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.
(2)C2的直角坐标方程为3x-4y-1=0,
C1表示以(2,0)为圆心,2为半径的圆.
圆心C1(2,0)到直线C2的距离
d==1<2.
所以C1与C2相交.
相交弦长|AB|=2=2.
(理)已知直线C1:(t为参数),圆C2:ρ=1.(极坐标轴与x轴非负半轴重合)
(1)当α=时,求直线C1被圆C2所截得的弦长;
(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A.当a变化时,求A点的轨迹的普通方程.
[解析] (1)当α=时,C1的普通方程为y=(x-1),
C2的普通方程为x2+y2=1.
法1:联立方程组
解得C1与C2的交点为(1,0),(,-),
所以截得的弦长为=1.
法2:原点O到直线C1的距离为=,
又圆C2的半径为1,所以截得的弦长为2=2×=1.
(2)C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0.
A点坐标为(sin2α,-cosαsinα),
故当α变化时,A点轨迹的参数方程为(α为参数).
所以A点轨迹的普通方程为x2+y2-x=0.
能力拓展提升
一、填空题
11.(2013·广东理,14)已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为________.
[答案] ρsin(θ+)=
[解析] ∵曲线C的参数方程为(t为参数),
∴其普通方程为x2+y2=2.
又点(1,1)在曲线C上,∴曲线l的斜率k=-1.
故l的方程为x+y-2=0,化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=2,
即ρsin(θ+)=.
12.(文)极坐标系中,点A在曲线ρ=2sinθ上,点B在曲线ρcosθ=-2上,则|AB|的最小值为________.
[答案] 1
[解析] ρ=2sinθ⇒ρ2=2ρsinθ
∴x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1;
∵ρcosθ=-2,∴x=-2,
易知圆心(0,1)到直线x=-2的距离为2,圆半径为1,故|AB|min=1.
(理)在极坐标系中,设P是直线l:ρ(cosθ+sinθ)=4上任一点,Q是圆C:ρ2=4ρcosθ-3上任一点,则|PQ|的最小值是________.
[答案] -1
[解析] 直线l方程化为x+y-4=0,
⊙C方程化为x2+y2-4x+3=0,
即(x-2)2+y2=1.
圆心C(2,0)到直线l的距离d==,
∴|PQ|min=-1.
13.(文)(2013·广东深圳一模)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的参数方程为(t为参数),曲线C2的极坐标方程为ρsinθ-ρcosθ=3,则C1与C2的交点在直角坐标系中的坐标为________.
[答案] (2,5)
[解析] 将曲线C1的参数方程和曲线C2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C1:y=x2+1,C2:y-x=3,
由解得
故交点坐标为(2,5).
(理)以椭圆+=1的焦点为焦点,以直线
为渐近线的双曲线的参数方程为________________.
[答案] (θ≠kπ+)
[解析] ∵椭圆的焦点(±3,0),∴双曲线中c=3,
又直线化为y=2x,它是双曲线的渐近线,
∴=2,∴a2=1,b2=8,∴a=1,b=2,
∴双曲线的参数方程为(θ≠kπ+).
14.(2013·广东广州调研)已知圆C的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,则直线l被圆C所截得的弦长是________.
[答案]
[解析] 圆C的参数方程化为普通方程为x2+(y-2)2=1,
直线l的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x+y=1,
圆心到直线的距离d==,
故圆C截直线l所得的弦长为2=.
二、解答题
15.(文)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标坐标系取相等的单位长度.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=.
(1)写出直线l的参数方程;
(2)设l与圆ρ=2相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.
[解析] (1)直线的参数方程是(t是参数)
(2)因为点A、B都在直线l上,所以可设它们对应的参数为t1和t2,圆ρ=2化为直角坐标系的方程x2+y2=4.
将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4整理得到t2+(+1)t-2=0①
因为t1和t2是方程①的解,从而t1t2=-2,
∴|PA|·|PB|=|t1t2|=2.
(理)(2013·辽宁五校协作体联考)已知直线l是过点P(-1,2),方向向量为n=(-1,)的直线,圆方程ρ=2cos(θ+).
(1)求直线l的参数方程;
(2)设直线l与圆相交于M,N两点,求|PM|·|PN|的值.
[解析] (1)∵n=(-1,),∴直线的倾斜角α=.
∴直线的参数方程为(t为参数),
即(t为参数).
(2)∵ρ=2(cosθ+sinθ)=cosθ+sinθ,
∴ρ2=ρcosθ+ρsinθ.
∴x2+y2-x+y=0,将直线的参数方程代入得t2+(3+2)t+6+2=0.
∴|t1t2|=6+2,即|PM|·|PN|=6+2.
16.(文)(2013·贵州六校联考)已知圆C1的参数方程为(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ+).
(1)将圆C1的参数方程化为普通方程,将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)圆C1、C2是否相交?若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.
[解析] (1)由得x2+y2=1,
又∵ρ=2cos(θ+)=cosθ-sinθ,
∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ.
∴x2+y2-x+y=0,
即(x-)2+(y+)2=1.
(2)圆心距d=
=1<2,得两圆相交.
设交点为A,B,由
得A(1,0),B(-,-),
∴|AB|==.
(理)已知直线C1:(t为参数),圆C2:(θ为参数).
(1)当α=时,求C1与C2的交点坐标;
(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点.当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
[解析] (1)当α=时,C1的普通方程为y=(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.
联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0),(,-).
(2)C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0.
A点坐标为(sin2α,-cosαsinα),
故当α变化时,P点轨迹的参数方程为
(α为参数),
消去参数得P点轨迹的普通方程为(x-)2+y2=,
故P点轨迹是圆心为(,0),半径为的圆.
考纲要求
1.了解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2.了解极坐标的基本概念.会在极坐标系中用极坐标来刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.
4.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.
5.了解参数方程,了解参数的意义.
6.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
补充说明
1.极坐标系的概念
在平面内取一个定点O为极点,引一条射线Ox为极轴,再选定一个长度单位和角度单位(通常取弧度)及正方向(通常取逆时针方向),就建立了一个极坐标系.对于极坐标系内任意一点M,用ρ表示线段OM的长度,用θ表示以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序实数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标.如无特别说明时,ρ≥0,θ∈R.
2.柱坐标系
(1)如图,空间直角坐标系O-xyz中,设P是空间任意一点,它在xoy平面上的射影为Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q在平面xoy上的极坐标.则点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.把建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞