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  • 2021-05-14 发布

2015高考数学人教A版本(12-2坐标系与参数方程)一轮复习学案

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‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 12-2坐标系与参数方程课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1.(文)极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是(  )‎ A.两个圆         B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 ‎[答案] C ‎[解析] 原方程等价于ρ=1或θ=π,前者是半径为1的圆,后者是一条射线.‎ ‎(理)(2013·北京西城期末)在极坐标系中,已知点P(2,),则过点P且平行于极轴的直线的方程是(  )‎ A.ρsinθ=1         B.ρsinθ= C.ρcosθ=1 D.ρcosθ= ‎[答案] A ‎[解析] 点P(2,)的直角坐标为(,1),‎ ‎∵所求直线平行于极轴,∴所求直线的斜率k=0.‎ 所求直线的普通方程为y=1,化为极坐标方程为ρsinθ=1,故选A.‎ ‎2.(文)设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴为x轴正半轴,则直线(t为参数)被圆ρ=3截得的弦长为(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] B ‎[解析] 圆的直角坐标方程为x2+y2=9,直线的参数方程化为普通方程为x-2y+3=0,则圆心(0,0)到直线的距离d=.所以弦长为2=.‎ ‎(理)已知点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上,则|PF|=(  )‎ A.1     B.2    ‎ C.3     D.4‎ ‎[答案] D ‎[解析] 将抛物线的参数方程化为普通方程为y2=4x,则焦点F(1,0),准线方程为x ‎=-1,又P(3,m)在抛物线上,由抛物线的定义知|PF|=3-(-1)=4.‎ ‎3.(文)(2013·北京海淀期末)已知直线l:(t为参数)与圆C:(θ为参数),则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别为(  )‎ A.,(1,0) B.,(-1,0)‎ C.,(1,0) D.,(-1,0)‎ ‎[答案] C ‎[解析] ∵直线l的普通方程为x+y=0,‎ ‎∴直线l的倾斜角为.‎ 又∵圆C的普通方程为(x-1)2+y2=4,‎ ‎∴圆心坐标为(1,0),故选C.‎ ‎(理)(2013·山西太原测评)若直线(t为参数)被曲线(θ为参数,θ∈R)所截,则截得的弦的长度是(  )‎ A. B. C. D.6 ‎[答案] B ‎[解析] ∵∴x+2y+3=0.‎ ‎∵∴(x-1)2+(y-1)2=9,‎ ‎∴圆心(1,1)到直线x+2y+3=0的距离 d==,‎ 弦长为2=,故选B.‎ ‎4.若直线的参数方程为(t为参数),则直线的倾斜角为(  )‎ A.30° B.60°‎ C.120° D.150°‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由直线的参数方程知,斜率k===-=tanθ,θ为直线的倾斜角,所以该直线的倾斜角为150°.‎ ‎5.(文)在极坐标系中,过点(2,)且与极轴平行的直线的方程是(  )‎ A.ρcosθ= B.ρsinθ= C.ρ=cosθ D.ρ=sinθ ‎[答案] B ‎[解析] 设P(ρ,θ)是所求直线上任意一点,则ρsinθ=2sin,∴ρsinθ=,故选B.‎ ‎(理)(2013·安徽理,7)在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(  )‎ A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2‎ B.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2‎ C.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1‎ D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由题意可知,圆ρ=2cosθ可化为普通方程为(x-1)2+y2=1.‎ 所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x=0和x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2,故选B.‎ ‎6.(2012·淮南市二模)已知曲线C:(θ为参数)和直线l:(t为参数,b为实数),若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1,则b=(  )‎ A. B.- C.0 D.± ‎[答案] D ‎[解析] 将曲线C和直线l的参数方程分别化为普通方程为x2+y2=4和y=x+b,依题意,若要使圆上有3个点到直线l的距离为1,只要满足圆心到直线的距离为1即可,得到=1,解得b=±.‎ 二、填空题 ‎7.若直线l1:(t为参数)与直线l2:(s为参数)垂直,则k=______.‎ ‎[答案] -1‎ ‎[解析] l1:(t为参数)‎ 化为普通方程为y-2=-(x-1),‎ l2:(s为参数)化为普通方程为y-1=-2x,‎ ‎∵l1⊥l2,∴-·(-2)=-1,k=-1.‎ ‎8.(文)(2013·江西理,15)设曲线C的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为________.‎ ‎[答案] ρcos2θ-sinθ=0‎ ‎[解析] 由参数方程得曲线在直角坐标系下的方程为y=x2.‎ 由公式得曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ.‎ ‎(理)(2013·陕西理,15)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为________.‎ ‎[答案] (θ为参数)‎ ‎[解析] 由三角函数定义知=tanθ(x≠0),y=xtanθ,‎ 由x2+y2-x=0得,x2+x2tan2θ-x=0,x==cos2θ,‎ 则y=xtanθ=cos2θtanθ=sinθcosθ,‎ 又θ=时,x=0,y=0也适合题意,‎ 故参数方程为(θ为参数).‎ ‎[解法探究] 因为直线OP与圆的交点为P,所以点P与直径两端点构成直角三角形,故可通过解直角三角形求得参数方程.‎ 将圆x2+y2-x=0配方得,(x-)2+y2=,‎ ‎∴圆的直径为1.‎ 设P(x,y),则|OP|=cosθ,‎ x=|OP|cosθ=cos2θ,‎ y=|OP|sinθ=sinθcosθ.‎ ‎∴圆的参数方程为(θ为参数).‎ ‎9.(文)(2012·深圳调研)在极坐标系中,点P(1,)到直线l:ρcos(θ+)=上的点的最短距离为________.‎ ‎[答案] 2 ‎[解析] 注意到点P(1,)的直角坐标是(0,1),直线l:ρcos(θ+)=的直角坐标方程是x-y-3=0,因此点P(1,)到直线l上的点的最短距离,即点P到直线l的距离,等于=2.‎ ‎(理)在极坐标系中,圆ρ=4cosθ的圆心C到直线ρsin(θ+)=2的距离为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 注意到圆ρ=4cosθ的直角坐标方程是x2+y2=4x,圆心C的坐标是(2,0).直线ρsin(θ+)=2的直角坐标方程是x+y-4=0,因此圆心(2,0)到该直线的距离等于=.‎ 三、解答题 ‎10.(文)(2012·河南六市联考)曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线C2的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)将C1化为直角坐标方程;‎ ‎(2)曲线C1与C2是否相交?若相交,求出弦长,若不相交,请说明理由.‎ ‎[解析] (1)∵ρ=4cosθ,∴ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,‎ 所以C1的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.‎ ‎(2)C2的直角坐标方程为3x-4y-1=0,‎ C1表示以(2,0)为圆心,2为半径的圆.‎ 圆心C1(2,0)到直线C2的距离 d==1<2.‎ 所以C1与C2相交.‎ 相交弦长|AB|=2=2.‎ ‎(理)已知直线C1:(t为参数),圆C2:ρ=1.(极坐标轴与x轴非负半轴重合)‎ ‎(1)当α=时,求直线C1被圆C2所截得的弦长;‎ ‎(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A.当a变化时,求A点的轨迹的普通方程.‎ ‎[解析] (1)当α=时,C1的普通方程为y=(x-1),‎ C2的普通方程为x2+y2=1.‎ 法1:联立方程组 解得C1与C2的交点为(1,0),(,-),‎ 所以截得的弦长为=1.‎ 法2:原点O到直线C1的距离为=,‎ 又圆C2的半径为1,所以截得的弦长为2=2×=1.‎ ‎(2)C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0.‎ A点坐标为(sin2α,-cosαsinα),‎ 故当α变化时,A点轨迹的参数方程为(α为参数).‎ 所以A点轨迹的普通方程为x2+y2-x=0.‎ 能力拓展提升 一、填空题 ‎11.(2013·广东理,14)已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为________.‎ ‎[答案] ρsin(θ+)= ‎[解析] ∵曲线C的参数方程为(t为参数),‎ ‎∴其普通方程为x2+y2=2.‎ 又点(1,1)在曲线C上,∴曲线l的斜率k=-1.‎ 故l的方程为x+y-2=0,化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=2,‎ 即ρsin(θ+)=.‎ ‎12.(文)极坐标系中,点A在曲线ρ=2sinθ上,点B在曲线ρcosθ=-2上,则|AB|的最小值为________.‎ ‎[答案] 1‎ ‎[解析] ρ=2sinθ⇒ρ2=2ρsinθ ‎∴x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1;‎ ‎∵ρcosθ=-2,∴x=-2,‎ 易知圆心(0,1)到直线x=-2的距离为2,圆半径为1,故|AB|min=1.‎ ‎(理)在极坐标系中,设P是直线l:ρ(cosθ+sinθ)=4上任一点,Q是圆C:ρ2=4ρcosθ-3上任一点,则|PQ|的最小值是________.‎ ‎[答案] -1‎ ‎[解析] 直线l方程化为x+y-4=0,‎ ‎⊙C方程化为x2+y2-4x+3=0,‎ 即(x-2)2+y2=1.‎ 圆心C(2,0)到直线l的距离d==,‎ ‎∴|PQ|min=-1.‎ ‎13.(文)(2013·广东深圳一模)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的参数方程为(t为参数),曲线C2的极坐标方程为ρsinθ-ρcosθ=3,则C1与C2的交点在直角坐标系中的坐标为________.‎ ‎[答案] (2,5)‎ ‎[解析] 将曲线C1的参数方程和曲线C2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C1:y=x2+1,C2:y-x=3,‎ 由解得 故交点坐标为(2,5).‎ ‎(理)以椭圆+=1的焦点为焦点,以直线 为渐近线的双曲线的参数方程为________________.‎ ‎[答案] (θ≠kπ+)‎ ‎[解析] ∵椭圆的焦点(±3,0),∴双曲线中c=3,‎ 又直线化为y=2x,它是双曲线的渐近线,‎ ‎∴=2,∴a2=1,b2=8,∴a=1,b=2,‎ ‎∴双曲线的参数方程为(θ≠kπ+).‎ ‎14.(2013·广东广州调研)已知圆C的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,则直线l被圆C所截得的弦长是________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 圆C的参数方程化为普通方程为x2+(y-2)2=1,‎ 直线l的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x+y=1,‎ 圆心到直线的距离d==,‎ 故圆C截直线l所得的弦长为2=.‎ 二、解答题 ‎15.(文)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标坐标系取相等的单位长度.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程;‎ ‎(2)设l与圆ρ=2相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.‎ ‎[解析] (1)直线的参数方程是(t是参数)‎ ‎(2)因为点A、B都在直线l上,所以可设它们对应的参数为t1和t2,圆ρ=2化为直角坐标系的方程x2+y2=4.‎ 将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4整理得到t2+(+1)t-2=0①‎ 因为t1和t2是方程①的解,从而t1t2=-2,‎ ‎∴|PA|·|PB|=|t1t2|=2.‎ ‎(理)(2013·辽宁五校协作体联考)已知直线l是过点P(-1,2),方向向量为n=(-1,)的直线,圆方程ρ=2cos(θ+).‎ ‎(1)求直线l的参数方程;‎ ‎(2)设直线l与圆相交于M,N两点,求|PM|·|PN|的值.‎ ‎[解析] (1)∵n=(-1,),∴直线的倾斜角α=.‎ ‎∴直线的参数方程为(t为参数),‎ 即(t为参数).‎ ‎(2)∵ρ=2(cosθ+sinθ)=cosθ+sinθ,‎ ‎∴ρ2=ρcosθ+ρsinθ.‎ ‎∴x2+y2-x+y=0,将直线的参数方程代入得t2+(3+2)t+6+2=0.‎ ‎∴|t1t2|=6+2,即|PM|·|PN|=6+2.‎ ‎16.(文)(2013·贵州六校联考)已知圆C1的参数方程为(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ+).‎ ‎(1)将圆C1的参数方程化为普通方程,将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)圆C1、C2是否相交?若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.‎ ‎[解析] (1)由得x2+y2=1,‎ 又∵ρ=2cos(θ+)=cosθ-sinθ,‎ ‎∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ.‎ ‎∴x2+y2-x+y=0,‎ 即(x-)2+(y+)2=1.‎ ‎(2)圆心距d= ‎=1<2,得两圆相交.‎ 设交点为A,B,由 得A(1,0),B(-,-),‎ ‎∴|AB|==.‎ ‎(理)已知直线C1:(t为参数),圆C2:(θ为参数).‎ ‎(1)当α=时,求C1与C2的交点坐标;‎ ‎(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点.当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.‎ ‎[解析] (1)当α=时,C1的普通方程为y=(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.‎ 联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0),(,-).‎ ‎(2)C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0.‎ A点坐标为(sin2α,-cosαsinα),‎ 故当α变化时,P点轨迹的参数方程为 (α为参数),‎ 消去参数得P点轨迹的普通方程为(x-)2+y2=,‎ 故P点轨迹是圆心为(,0),半径为的圆.‎ 考纲要求 ‎1.了解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.‎ ‎2.了解极坐标的基本概念.会在极坐标系中用极坐标来刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.‎ ‎3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.‎ ‎4.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.‎ ‎5.了解参数方程,了解参数的意义.‎ ‎6.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.‎ 补充说明 ‎1.极坐标系的概念 在平面内取一个定点O为极点,引一条射线Ox为极轴,再选定一个长度单位和角度单位(通常取弧度)及正方向(通常取逆时针方向),就建立了一个极坐标系.对于极坐标系内任意一点M,用ρ表示线段OM的长度,用θ表示以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序实数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标.如无特别说明时,ρ≥0,θ∈R.‎ ‎2.柱坐标系 ‎(1)如图,空间直角坐标系O-xyz中,设P是空间任意一点,它在xoy平面上的射影为Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q在平面xoy上的极坐标.则点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.把建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞