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- 2021-05-14 发布
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2011年最新高考+最新模拟——立体几何
1.【2010·浙江理数】设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
【答案】B
【解析】可对选项进行逐个检查.本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题.
2.【2010·全国卷2理数】与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点（ ）
A.有且只有1个 B.有且只有2个
C.有且只有3个 D.有无数个
【答案】D
【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.
3.【2010·全国卷2理数】已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）
A.1 B. C.2 D.3
【答案】C
【解析】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.设底面边长为a，则高所以体积，
设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.
4.【2010·陕西文数】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A.2 B.1 C. D.
【答案】B
【解析】本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱,所以其体积为.
5.【2010·辽宁文数】已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于（ ）
A.4 B.3 C.2 D.
【答案】A
【解析】由已知，球的直径为，表面积为
6.【2010·辽宁理数】有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（ ）
A.（0,） B.（1,）
C.(,） D.（0,）
【答案】A
【解析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力.根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有<2+，即，即有a<
(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;
综上分析可知a∈（0,）
7.【2010·全国卷2文数】与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（ ）
A.有且只有1个 B.有且只有2个
C.有且只有3个 D.有无数个
【答案】D
【解析】本题考查了空间想象能力.
∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点.
8.【2010·全国卷2文数】已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
A
B
C
S
E
F
【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，
∴ ，AS=3，∴ SE=，AF=，∴ .
9.【2010·江西理数】过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,,所成的角都相等，这样的直线L可以作（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】D
【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力.第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条.
10.【2010·安徽文数】一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（ ）
A.372 B.360 C.292 D.280
【答案】B
【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和.
把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和.
.
11.【2010·重庆文数】到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（ ）
A.只有1个 B.恰有3个
C.恰有4个 D.有无穷多个
【答案】D
【解析】放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，所以排除A、B、C，选D.亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等.
12.【2010·浙江文数】
若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（ ）
A.cm3 B.cm3
C.cm3 D.cm3
【答案】B
【解析】本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题.
13.【2010·山东文数】在空间，下列命题正确的是（ ）
A.平行直线的平行投影重合
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
【答案】D
14.【2010·北京文数】如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上.点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积（ ）
A.与x，y都有关； B.与x，y都无关；
C.与x有关，与y无关； D.与y有关，与x无关；
【答案】C
15.【2010·北京文数】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：（ ）
【答案】C
16.【2010·北京理数】如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积（ ）
Ａ.与ｘ，ｙ，ｚ都有关
Ｂ.与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关
Ｃ.与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关
Ｄ.与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关
【答案】D
17.【2010·四川理数】半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝，cos∠BAC＝，连结OM，则△OAM为等腰三角形，AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD ，而AC＝R,CD＝R，故MN：CD＝AN:AC Þ MN＝，连结OM、ON，有OM＝ON＝R，于是cos∠MON＝，所以M、N两点间的球面距离是 .
18.【2010·广东理数】如图1，△ ABC为三角形，// // , ⊥
平面ABC 且3== =AB,则多面体△ABC -的正视图（也称主视图）是
【答案】D
19.【2010·广东文数】
20.【2010·福建文数】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )
A． B．2
C． D．6
【答案】D
【解析】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力.由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为
，侧面积为，选D．
21.【2010·全国卷1文数】已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故.
22.【2010·全国卷1文数】正方体-中，与平面所成角的余弦值为（ ）
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.
方法一：因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,
则,.
所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.
方法二：设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，.
23.【2010·全国卷1文数】直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】C
【解析】本小题主要考查直三棱柱
的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，.
24.【2010·湖北文数】用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：
①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；
③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.
A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④
25.【2010·山东理数】在空间，下列命题正确的是（ ）
A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行
【答案】D
【解析】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题.由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案.
26.【2010·福建理数】
所以∥，故∥∥，所以选项A、C正确；因为平面，
∥，所以平面，又平面， 故，所以选项B也正确，故选D.
【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.
27.【2010·湖北省武汉市四月调研】若a、b是异面直线，、是两个不同平面，，则（ ）
A．l与a、b分别相交 B．l与a、b都不相交
C．l至多与a、b中一条相交 D．l至少与a、b中的一条相交
【答案】B
【解析】假设l与a、b均不相交，则l∥a，l∥b，从而a∥b与a、b是异面直线矛盾.故l至少与a、b中的一条相交选D.
28．【2010·北京西城一模】如图，平面平面，=直线，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线，分别是线段的中点．下列判断正确的是（ ）
A．当时，两点不可能重合
B．两点可能重合，但此时直线与不可能相交
C．当与相交，直线平行于时，直线可以与相交
D．当是异面直线时，直线可能与平行
【答案】B
【解析】若两点重合，由知，从而平面，故有，故B正确．
29．【2010·宁波市二模】已知表示两个互相垂直的平面，表示一对异面直线，则 的一个充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，a⊥α ,则a平行β或在β内，由于b⊥β，则，选择D.
30．【2010·上海市浦东新区4月二模】“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由直线与平面平行的定义知，选C.
31．【2010··北京崇文一模】已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )
A．若则 B．若则
C．若，则 D．若则
【答案】B
【解析】A中可以是任意关系；B正确；C中平行于同一平面，其位置关系可以为任意．D中平行于同一直线的平面可以相交或者平行．
32.【2010·甘肃省部分普通高中第二次联合考试】已知直线,平面,且,给出下列命题:
①若∥，则m⊥； ②若⊥，则m∥;
③若m⊥，则∥； ④若m∥，则⊥
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①∵，若∥，∴m⊥β，所以m⊥，①正确；对于②，若⊥，则m∥β或m在β内，m与l可以平行可以异面还可以相交，所以②错；对于③∵，若m⊥，则与β可以相交，③错；对于④若m∥，则l⊥ ，∴⊥，④正确，选择B.
33.【2010·湖北六市四月联考】给出互不相同的直线、、和平面、，下列四个命题：
①若，，，则与不共面；
②若、是异面直线，，，且，，则；
③若，，，，，则；
④若，，，则
其中真命题有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【解析】由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质，存在直线，，使得，，∵、是异面直线，∴与是相交直线，又，，∴，，故，②是真命题；由线面平行的性质和判定，知③是真命题；满足条件，，的直线、或相交或平行或异面，故④是假命题，于是选B.
34.【2010•河南省郑州市第二次质检】已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γβ⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】依题意,α与β换成直线后是真命题，γ与β换成直线后是真命题，γ与α换成直线后是假命题，选择C.
35．【2010•宁波二模】已知表示两个互相垂直的平面，表示一对异面直线，则 的一个充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，a⊥α ,则a平行β或在β内，由于b⊥β，则，选择D.
36．【2010•绵阳三诊】已知，表示两个不同的平面，是一条直线且，则：“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，因是一条直线且，由面面垂直的判定定理，知，反之，若是一条直线且，当时，与平面的位置关系可以为：相交或平行或，故“”是“”的必要不充分条件，选B.
37．【2010·吉林市下学期期末质量检测】已知a，b表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若
B．若所成角等于b与β所成角，则a//b.
C．若
D．若
【答案】D
【解析】对于选项A：直线a，b可能平行或异面；对于选项B：只有当平面α与β平行时，才有a//b，故B不对；对于选项C，有可能直线b在平面β内，故C错；故选D.
38．【2010·山东德州五月质检】在空间中，给出下面四个命题：
(1)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
(2)若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行
于该平面；
(3)两条相交直线在同一平面的射影必为相交直线；
(4)两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线.
其中正确的是( )
A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
【答案】D
【解析】对于(2)可能该直线与平面相交；对于(3)可能两相交直线的射影为一条直线或一点与过该点的一条直线,故选D.
39．【2010·江西省重点中学第二次联考】已知一个确定的二面角，和是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使和所成的角也确定的是（ ）A．∥且∥ B．∥且
C．且 D．且
【答案】D
【解析】因为二面角的大小是确定的，所以当且时，和所成的角与二面角的大小相等或互补，故而和所成的角也确定,选D.
40．【2010·崇文一模】已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )
A．若则 B．若则
C．若，则 D．若则
【答案】D
【解析】A中，垂直于同一平面的平面可能平行或者相交；B中，平行于同一直线的平面可能平行或者相交；C中，平行于同一平面的直线可能是任意关系；D中，垂直于同一平面的直线平行,正确．
41．【2010·上海市长宁区二次模】已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据是平面与平面垂直的判定定理知：由m⊥βα⊥β，反之不成立.故选B.
42．【2010·河北省衡水中学一模】正四棱锥P—ABCD的底面积为3，体积为E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由V==×3×h，所以h=，从而侧棱长PA=，取AC中点O，连OE，则OE∥PA，且OE=，于是∠OEB为异面直线PA与BE所成的角或其补角.在直角三角形BOE中，BO=，所以tan∠OEB=，所以∠OEB=.
43．【2010·湖北省襄樊五中5月调研测试】如图，正三棱锥A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上．并且==λ（0＜λ<＋∞)，设α为异面直线EF与AC所成的角，β为异面直线EF与BD所成的角，则α＋β的值是（ ）
A． B． C． D．与λ的值有关
【答案】C
【解析】利用特殊化思想，当λ=1，即E、F分别为AB、CD中点时，取BC中点M，则EM∥AC,FM∥BD,又AC⊥BD，所以三角形EMF为直角三角形，所以α＋β=.
44．【2010·甘肃省兰州市五月实战模拟】二面角，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在平面内，AC⊥l，BD⊥l，且AC=AB=1，BD=2，则CD的长等于 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】过B作BE∥AC，且BE=1，则∠DBE=60°，从而DE==，在三角形CDE中，CD==2.
45．【2010·泸州二诊】如图，在正三棱柱中，.若二面角的大小为，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】取中点，连结，，则是二面角的平面角.
∵，∴，∴在中，，，设点到平面的距离为，则由得，，解得，选A.
46．【2010·湖 北 省年普通高等学校招生全国统一考试模拟训练（二）】
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取AC中点F，连DF，BF，则易知BF∥DE，过F作FH⊥BC于H，则FH⊥平面BCC1B1，则角∠FBH为所求，在直角三角形FHB中，FH=,BF=AC=1，所以∠FBH=30°.
47．【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点M为侧棱AA1上一动点，已知△BCM面积的最大值是，二面角M―BC―A的最大值是，则该三棱柱的体积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当点M与点A1重合时，△BCM的面积为最大值，此时二面角M―BC―A也为最大.
由已知可得，，所以底面正三角形ABC 的边长为2，高为，从而正三棱柱的高AA1＝.所以正三棱柱的体积，故选A.
M
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
N
48．【2010·曲靖一中高考冲刺卷数学（八）】 如图，正方体中，M,N分别为AB,DC中点，则直线MC与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连NA，D1A，则∠D1NA为所求，在三角形D1NA中由余弦定理可求得cos∠D1NA=.
49．【2010·曲靖一中高考冲刺卷数学（四）】一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是那么这个三棱柱的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为球的体积为π，柱体的高为2r=4，又正三棱柱的底面三角形内切圆半径与球半径相等，r=2，所以底面边长a=4,所以V柱=×(4)2×4=.
50.【2010·内蒙古赤峰市四月统一考试】已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设底面边长AB=1，则侧棱长SA=2，过顶点S作底面的垂线，垂足O为底面中心，连结AO，则∠SAO为所求，因为AO=,所以cos∠SAO==.
51．【2010·上海市奉贤区4月调研】已知一球半径为2，球面上A、B两点的球面距离为,则线段AB的长度为（ ）
A.1 B. C.2 D. 2
【答案】C
【解析】由l=αR=α×2=得，α=，从而知∠AOB=，即△AOB为正三角形，所以AB=OA=R=2.
52．【2010·石家庄市教学质量检测（二）】如图，在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】EF∥AC，所以AC⊥DE，又AC⊥BD，所以AC⊥平面ABD，所以侧面三角形为等腰直角三角形，AB=AC=AD=，V=×()3=.
O.
A
B
C
53.【2010·甘肃省部分普通高中高三第二次联合考试】如图，在半径为3的球面上有三点，， 球心到平面的距离是，则两点的球面距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取AC中点H，连OH，则OH垂直于平面ABC，又OA=3，所以AC=2AH=CH=2×=3,又，BC=3，从而三角形OBC为正三角形，∠BOC=60°，所以球面距离为l=×3=.
54．【2010·成都石室中学高三“三诊”模拟考试 】如图所示，在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且，若侧棱则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是（ ）
A．12π B．32π C．36π D．48π
【答案】C
【解析】因为MN⊥AM，所以SB⊥AM，又SB⊥AC，所以侧面三角形为等腰直角三角形，所以SA=SB=SC=2，所以2R=×(2)=6，所以S=π(2R)2=36π.
55．【河南省郑州市2010年高中毕业班第二次质量预测】过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易求得截面圆半径为球半径的倍，所以==.
56．【2010·唐山三模】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为4π，则球的表面积为( )
A.5π B.17π C.20π D.68π
【答案】C
【解析】截面圆的半径为2，所以球半径R==，所以S=20π.
57．【2010·成都市第37中学五月考前模拟】如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过A、B两点分别作AM、BN垂直于EF，垂足分别为M、N，连结DM、CN，可证得DM⊥EF、CN⊥EF，多面体ABCDEF分为三部分，多面体的体积V为，∵，，∴，作NH垂直于点H，则H为BC的中点，则，∴，∴，， ，∴，故选A．
58.【2010·内蒙古赤峰市一模】四面体ABCD的外接球球心在CD上，且CD=2，.在外接球球面上A、B两点间的球面距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知半径R=1，所以∠AOB=，从而球面距离为l=×1=.
59．【2010·江西赣州十一县（市）第二学期期中联考】棱长为1的正方体的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AB、的中点，则经过E、F的球截面的面积最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当截面圆的圆心在直线EF上时，其面积最小.因为EF=
，可求得球心O到直线EF的距离为，所以截面圆的半径r===，所以S=.
60.【2010·上海文数】已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 .
【答案】96
【解析】考查棱锥体积公式.
61.【2010·湖南文数】图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= cm.
【答案】4
62.【2010·浙江理数】若某几何体的三视图（单位：cm）如上图（右）所示，则此几何体的体积是___________.
【答案】144
【解析】图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题.
63.【2010·辽宁理数】如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为___ ___.
【答案】
【解析】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力.由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为.
64.【2010·江西理数】如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为 .
【答案】
【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得.
65.【2010·北京文数】如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴
所围区域的面积为 .
【答案】4
【解析】“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动.
66.【2010`四川理数】如图，二面角的大小是60°，线段.，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .
C
D
【答案】
【解析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D，连结AD，由三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角的平面角，为60°，又由已知，∠ABD＝30°，连结CB，则∠ABC为与平面所成的角，设AD＝2，则AC＝，CD＝1，AB＝＝4，∴sin∠ABC＝.
67.【2010·天津文数】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .
【答案】3
【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题. 正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半.由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为.
68.【2010·天津理数】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .
【答案】
【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题.利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉哦.由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积V=2+ = .
69.【2010·湖北文数】圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是__ __cm.
【答案】4
【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.
70.【2010·湖南理数】图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 ．
71.【2010·福建理数】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ．
【答案】
【解析】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力.由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为
，侧面积为，所以其表面积为.
72．【2010·甘肃省兰州市五月实战模拟】已知S—ABC是正四面体，M为AB之中点，则SM与BC所成的角为 .
【答案】arccos
【解析】设正四面体边长为1，取AC中点N，则MN∥BC，∠SMN为异面直线SM与BC所成的角或其补角，且MN=，SM=SN=，由余弦定理可得cos∠SMN=.
73．【2010·石家庄市质量检测（二）】如图，在底面边长为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，若二面角C1-AB-C的大小为60，则点C到平面ABC1的距离为 ．
【答案】
【解析】过点C作CD⊥AB交AB于D，连结C1D，则由三垂线定理知∠CDC1为二面角的平面角，则∠CDC1=60°.过点C作CH⊥C1D，交C1D于H，则CH⊥平面ABC1，故CH为所求，在三角形CC1D中，CD=,从而CC1=3，从而CH=.
74．【2010·云南曲靖一中高考冲刺卷六】正四面体外接球的体积为，则点A到平面BCD的距离为__________________.
【答案】
【解析】V=，所以R=，过A作AH⊥平面BCD，则垂足为底面中心，则AH为所求.又由正四面体与外接球的关系知，AH=R=.
75．【2010·上海市长宁区二模】棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长是_________.
【答案】a
【解析】由题意知球心为正方体对角线的中点，球半径为a，球心到直线EF的距离为，所以直线EF被球O截得的线段长l=2=a.
76.【2010·邯郸市二模】三棱锥A—BCD，AB=a，CD=b，∠ABD=∠BDC，M，N分别为AD，BC的中点，P为BD上一点，则MP+NP 的最小值是 .
A
B
C
D
M
N
P
【答案】
【解析】如图，将三棱锥的两个侧面ABD与BCD展成一个平面，由∠ABD=∠BDC知此时AB∥CD，连接MN交BD于一点P，此即为最小值点.此时，MN为梯形ABCD的中位线，所以MN=.
77.【2010·上海市普陀区四月调研】一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 .
【答案】
【解析】因为底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以底面边长为a=，又顶点在球面上，所以三棱锥的高为半径，所以V=××()2×1=.
78.【2010·甘肃省兰州市五月实战模拟】已知S—ABC是正四面体，M为AB之中点，则SM与BC所成的角为 .
【答案】
【解析】取AC中点N，连结SN，在三角形SMN中，易求得cos∠SMN=.∠SMN=即为所求.
79.【2010·上海市卢湾区4月高考模拟】若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为 （结果保留π）．
【答案】4π
【解析】因为正方体的体积为8，所以边长为2，又各个顶点在一球面上，所以正方体的体对角线为球的直径，即2R=2，所以R=，所以V球=πR3=4π.
80.【2010·浙江五校四月联考】四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为 .
【答案】
【解析】由题可知该四面体内接于球，且球的直径为2R==4，所以S=.
A
B
C
D
E
F
M
81．【2010·上海市卢湾区4月模拟】在正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD中点，则异面直线AE与CF所成的角是________________.（用反三角值表示）
【答案】arccos
【解析】如图所示，连结DE，取DE中点M，连结CM，FM，则FM∥AE，所以∠CFM为异面直线所成的角或其补角，设正四面体的棱长为1，在三角形CFM中，CF=, FM=,CM=,由余弦定理，可求得cos∠CFM=.
82．【2010·年抚州市高三年级教学质量检测】 在矩形中，已知，，将该矩形沿对角线折成直二面角，则四面体的外接球的体积为 .
【答案】
【解析】外接球的球心为对角线AC的中点，半径r=AC=，V=π()3=.
83.【2010·上海文数】
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01平方米）;
(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.
解：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(00,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”.由（*）式得.
又,解
得,即的取值范围.
97.【2010·北京理数】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小.
证明：（I） 设AC与BD交与点G.因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF//平面EG，因为平面BDE，AF平面BDE，所以AF//平面BDE.
（II）（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.则C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0）. 所以，，.
所以,，所以,.所以BDE.
(III) 由（II）知，是平面BDE的一个法向量.设平面ABE的法向量,则，.即所以且
令则.所以.
从而.因为二面角为锐角，所以二面角的大小为.
98.【2010·四川理数】
已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.
【解析】本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力.
解：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK，因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点，所以AM，所以MO，由AA’⊥AK，得MO⊥AA’，因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’，所以AK⊥BD’，所以MO⊥BD’，又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交，
故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.
（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’,过点N作NH⊥BC’于H，连结MH,则由三垂线定理得BC’⊥MH,从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角.MN=1,NH=Bnsin45°=,在Rt△MNH中，tan∠MHN=,故二面角M-BC’-B’的大小为arctan2.
(3)易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’内,点O到平面MA’D’距离h＝,VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=S△MA’D’h=.
99.【2010·天津文数】如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.
（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；
（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值.
【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.
(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故为异面直线CE与AF所成的角.因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==
.所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.
(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.
(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NMEF，交BC于M，则为二面角B-EF-A的平面角.连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM=.由NG//FA,FAGM,得NGGM.在Rt△NGM中，tan,所以二面角B-EF-A的正切值为.
100.【2010·天津理数】如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,
（1） 求异面直线与所成角的余弦值；
（2） 证明平面
（3） 求二面角的正弦值.
【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
解：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=，连接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1
D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为.
（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED
(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角,易知，所以，又所以，在
连接A1C1,A1F 在
.所以
所以二面角A1-DE-F正弦值为
101.【2010·广东理数】如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足，FE=a ．
（1）证明：EB⊥FD；
（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面与平面所成二面角的正弦值．
（2）设平面与平面RQD的交线为.
由BQ=FE,FR=FB知, .
而平面，∴平面，
而平面平面= ，
∴.
由（1）知，平面，∴平面，
而平面， 平面，
∴，
∴是平面与平面所成二面角的平面角．
在中，，
，．
．
故平面与平面所成二面角的正弦值是．
102.【2010·全国卷1理数】如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .
103. 【2010山东理数】如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．
解：（Ⅰ）证明：因为ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，
所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，
又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因为
，所以平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则
，又AB∥CD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO⊥平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥P—ACDE的体积为=.
104. 【2010江苏卷】如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900.
(1) 求证：PC⊥BC；
(2) 求点A到平面PBC的距离.
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.满分14分.
解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC.
由∠BCD=900，得CD⊥BC，
又PDDC=D，PD、DC平面PCD，
所以BC⊥平面PCD.
因为PC平面PCD，故PC⊥BC.
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等.
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍.
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F.
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于.
（方法二）体积法：连结AC.设点A到平面PBC的距离为h.
因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900.
从而AB=2，BC=1，得的面积.
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积.
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC.
又PD=DC=1，所以.
由PC⊥BC，BC=1，得的面积.
由，，得，
故点A到平面PBC的距离等于.
105．【2010·宁波市二模】如图，四棱锥的底面为一直角梯形，其中，底面，是的中点．
（1）求证：//平面；
（2）若平面，
①求异面直线与所成角的余弦值；
②求二面角的余弦值．
解：设，建立如图的空间坐标系，，,
，.
（1），，所以，
平面，平面.
（2）平面，，即
，，即.
①，，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
②平面和平面中，，
所以平面的一个法向量为；平面的一个法向量为；
，所以二面角的余弦值为．
106．【2010·上海市卢湾区4月二模】在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求棱的长；
（2）若的中点为，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
解：（1）设，由题设，
得，即，解得．
故的长为．（6分）
（2）因为在长方体中//，所以即为异面直线与所成的角（或其补角）．（8分）
在△中，计算可得，则的余弦值为，
故异面直线与所成角的大小为．（14分）
107．【2010·北京宣武一模】如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，分别为棱的中点．⑴求证：；⑵求证： EMBED Equation.DSMT4 平面．
解：⑴∵ EMBED Equation.DSMT4 平面，平面，∴，∵，∴，∴平面，又是中点，∴平面，∴．
⑵证明：取中点，连结，，
∵为中点，∴．∵平面，平面，∴平面；同理，平面．∵，∴平面平面．∴平面．
108．【2010·广东省四月调研F
E
A
B
D
C
】在直四棱柱中ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
，，底面是边长为的正方形，、分别是棱、的中点.
(Ⅰ)求二面角的大小；
(Ⅱ)求证：直线平面.
解：(Ⅰ)以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系如图.
则相应点的坐标分别为，，，， ∴ ， ；
设平面、平面的法向量分别为，
F
E
A
B
D
C
由，
由，
∴，∴
∴二面角的大小为.
方法二： ， ∴,同理
∴，∴
同理可证
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
G
E
A
B
D
C
F
又,面,面 ∴面 ……………5分
∵平面，∴平面平面，
∴二面角的大小为.
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
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ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
(Ⅱ)证明:取的中点，连接
分别是棱中点
∴∥，，
∴四边形为平行四边形，∴，
又，
∴，平面 ，
∵，∴平面平面
∵，∴直线平面 ，
（或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线平面，亦可.）
109．【2010·东城一模】三棱柱中，平面，是边长为的等边三角形，为边中点，且．
⑴求证：平面平面；
⑵求证：平面；
⑶求三棱锥的体积．
解：⑴因为平面，又平面，
所以平面平面．
⑵证明：连结交于，连结，则是的中点，是的中位线．所以．因为平面，所以平面；
⑶因为平面，所以平面，所以为三棱锥的高．
．
所以三棱锥的体积为．
110．【2010·石家庄市质检（二）】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA=AD=1,AB=2,且PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PC的中点．
（I）求证：EF⊥PD；
（II）求二面角C-PD-E的大小．
解：法一：（Ⅰ） 取的中点，连结、．
因为E、F分别为AB，PC的中点． 所以AE平行且等于,平行且等于,所以四边形为平行四边形，则EF//AM. 又平面ABCD，PA=AD,
所以在等腰中,, 所以．
（Ⅱ）连结ME． 因为底面ABCD为矩形，所以,因为平面，所以．又FM//CD,所以平面，则． 可知平面，所以为二面角的平面角．由平面,
可知,四边形为矩形．那么在中，，二面角C—PD—E的大小为.
法二：（Ⅰ）建立如图所示的坐标系，因为E、F分别为AB，PC的中点, 则,，，．那么．
所以．
（Ⅱ）由图可知,
则,,．
设平面的一法向量为
则 因此 取，则
又,,所以，平面．
则为平面的一法向量．
所以
所以所求二面角的大小
111．【2010·海淀一模】如图：在四棱锥中，底面是菱形，，平面，点、分别为、的中点，且．
（I）证明：平面；
（II）求三棱锥的体积；
（III）在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）因为为菱形，所以，又，所以，
又为中点，所以，而平面，平面，所以，又，所以平面
（II）因为，又底面，，所以，所以，三棱锥的体积
（III）存在，取中点，连结，，，因为，分别为、中点，所以且，又在菱形中，，，所以，，即是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，即在上存在一点，使得平面，此时．
112．【2010·吉林市下学期期末质量检测】已知四棱锥S—ABCD中，是边长为2的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，O为AD的中点，Q为SB的中点，H为OQ的中点. （1）求证：OQ//平面SCD；
（2）求二面角D—OC—Q的余弦值；
C
（3）证明：在内存在一点M，使
解：（1）取SC中点R，连接QR，DR，由题意知，所以OQ//DR，又平面SCD，DR平面SCD，
所以OQ//平面SCD；
（2）连结SO，BO，在中，，又因为平面SAD平面ABCD，
所以OS⊥AD，所以OS⊥平面ABCD所以OA，OB，OS两两垂直，
如图，建系
平面OCD的法向量为，设为平面OQC的一个法向量
由取z=1得， ，二面角D—OC—Q的余弦值为；
（3）设点，
，
在内部区域满足不等式组，经检验M坐标满足 在内存在一点M，使平面QOC；
113．【2010·西城一模】在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，=90°，，．
⑴求证：平面；
⑵求证：平面；
⑶设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为45°．
解：⑴取的中点，连结，因为为中点，所以，且在梯形中，，，所以，，四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面．
⑵平面底面，，所以平面，所以．如图，以为原点建立空间直角坐标系．则，，，．．所以．又由平面，可得，所以平面．
⑶平面的法向量为，，所以，设平面的法向量为，
由，，得，所以，所以，注意到，得．
114．【2010·绵阳南山中学五月考热身考试】在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，是中点．
（Ⅰ）在棱上求一点，使得∥平面；
（Ⅱ）求证：平面⊥平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
解：（Ⅰ）当为棱中点时，∥平面．
证明如下：分别为中点， ∥
又平面，平面
∥平面．
（Ⅱ）连结，，，为中点，,
⊥，．同理, ⊥，．又,, ． ⊥．
⊥,⊥,,⊥平面．平面
平面⊥平面；
（Ⅲ）如图,建立空间直角坐标系．
则，，，， ．
由（Ⅱ）知是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
则 ．令，则，
平面的一个法向量．
．
二面角的平面角为锐角，所求二面角的余弦值为．
115．【2010·巢湖市期末质检】如图，已知正方形的边长为1，，，，为边上的动点.
(Ⅰ)证明：平面；
(Ⅱ)试探究点的位置，使.
解：(I）
又且，
. …………………………6分
(Ⅱ）以D为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标，
依题意，得
设，平面的法向量为,平面的法向量为,取
得
又 ,
取得
若平面平面，则，，解得，
此时为的中点.所以当在的中点时， .
116．【2010·丰台一模】如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．
（I）求证：；
（II）确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由．
【解答】（I）∵面，四边形是正方形，其对角线、交于点，∴，．∴平面，∵平面，∴
（II）当为中点，即时，/平面，理由如下：连结，由为中点，为中点，知，而平面，平面，故//平面．
117．【2010·崇文一模】 三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是，的中点．
⑴求证：平面；
⑵求证：平面；
⑶求三棱锥的体积．
解：⑴连结，，∵是，的中点，∴．又∵平面，∴平面．
⑵∵三棱柱中，侧棱与底面垂直，∴四边形是正方形．∴．∴．连结，．∴，又中的中点，∴．∵与
相交于点，∴平面．
⑶由⑵知是三棱锥的高．在直角中，，∴．又． ．
118．【2010·海淀一模】如图，三棱柱中，侧面底面，，，且，为中点．（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
解：（Ⅰ）证明：因为，且为的中点，所以．又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面．
（Ⅱ）如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．由题意可知，，又∴．所以得：，，，，，，则有：，，． 设平面的一个法向量为，则有，令，得，所以．．因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以．
119．【2010·湖北省武汉市四月调研测试】在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=，M，N分别为棱AA1、BC的中点，点P在边A1B1上，且A1P=2PB1.
（1）求证：MN⊥AP；
（2）求二面角M—AN—P的正切值.
解：（1）过点N作NH⊥AB于H，连结MN.
∵ABC—A1B1C1为直三棱柱，且NH⊥AB，
∴NH⊥面ABB1A1，
∴MH为MN在面ABB1A1内的射影，且AH=
由三垂线定理知MN⊥AP.
（2）取B1C1的中点D，连结DN、DA1过点P作PF⊥AD于E，过E作EF⊥AN于F，连结PF，由三垂线定理知：∠PFE为二面角M—AN—P的平面角.
故二面角M—AN—P的正切值为
A
B
C
D
E
F
120．【2010·湖北省普通高等学校招生全国统一考试模拟训练（二）】如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=，EF=2.（1）求异面直线AD与EF所成的角； （2）当二面角D—EF—B的大小为45°时，求二面角A—EC—F的大小.
解：（方法一）（1）作EM⊥CF于M,则EM∥BC∥AD,计算:∠MEF=300,即为所求.
（2）当二面角D—EF—B的大小为450，即∠DEC=450.计算：CE=CD=AB=.
作BN⊥CE于N,则∠ANB即为二面角A—EC—F的平面角的补角，计算：BN=，
tan∠ANB=∴二面角A—EC—F的大小为.
（方法二）
如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别为作x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系
（I）
由
所以
所以，
所以异面直线AD与EF成30°
（II）当二面角D—EF—B的大小为45，即∠DEC=450.设，求得 又因为BA⊥平面BEFC，所以 所以二面角A—EC—F的大小为
121．【2010·江西省重点中学第二次联考】在右图所示的多面体中， R
下部为正方体, 点在的延长线上，且，、分别为和的重心．
（１）已知为棱上任意一点，求证：∥ 面；
（２）求二面角的大小．
解：连并延长交于点，连并延长交于点，则易知，
、 分别为、的中点，连、，则，，
∴ ，又，
A
C
D
B′
B
C′
D′
P
M
N
F
E
R
G
Q
H
∴
å 面 Ü
面
（2）取的中点，连、，则得直角梯形
及面面，交线为
过作于点，则面
过作于，连，则
∴为二面角——的平面角，
设正方体的棱长为，易求：，
∴ ∴
二面角——的大小为.
122．【2010·邯郸市高三摸底考试】如图，四面体中，是的中点，和均为等边三角形，.
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
解：法一（I）连结，
A
B
C
O
D
E
和为等边三角形，为的中点，为的中点，,,又， ，
在中， ，
，即
，∴ 平面；
（Ⅱ）过作于连结， 平面，
在平面上的射影为，
为二面角的平面角. ， 在中，， 二面角的余弦值为 ；
（Ⅲ）设点到平面的距离为 ， ，
， 在中，，
， 而
点到平面的距离为.
法二：（I）同解法一…………………………………………………………4分
x
y
z
A
B
C
O
D
（Ⅱ）以为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
平面，
平面的法向量…………6分
设平面的法向量
由
设与夹角为，则
∴二面角的余弦值为.……………………8分
（Ⅲ）设平面的法向量为又
…………10分
设与夹角为，
则
设到平面的距离为，
到平面的距离为……12分
123．【2010·江西省抚州市第二次质检】在斜三棱柱中，，，又顶点在底面上的射影落在上，侧棱与底面成角，为的中点.
（1）求证：；
（2）如果二面角为直二面角，
试求侧棱与侧面的距离.
解：⑴
(2)为二面角的平面角，
故，又为与底面
所成的角，从而，设侧棱
长为，由于
，
则
，类似地
.在中，，即
.
这样为等边三角形，取的中点，以为原点，如图建立空间直角坐标系.易知
，故，设面的法向量为，则，可取，又，，故点到侧面的距离为，而侧面，故与侧面的距离为.
124．【2010·湖北省襄樊五中5月调研】如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2点E在棱AB上移动．
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）若E为AB中点，求E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为
解：法一：（1）
（2）设点E到平面的距离为h，由题设可得
算得
则
（3）过D作，垂足为H，连则
为二面角的平面角．
设，在直角中，
在直角中，在直角中，
在直角中，，在直角中，
因为以上各步步步可逆，所以当时，二面角的大小为
法二：以DA，DC，DD1建立空间坐标系，设，有
（1）因为，所以，
（2）E是AB中点，有，
设平面的法向量为则也即，
得，从而，点E到平面的距离
（3）设平面的法向量为
由令，得
则于是
（不合，舍去），
即时，二面角的大小为
125．【2010·内蒙古赤峰市一模】如图，平面平面ABCD，为正三角形，四边形ABCD为矩形，F是CD中点，EB与平面ABCD成30°角.
（1）当AD长度为何值时，点A到平面EFB的距离为2？
（2）二面角A—BF—E的大小是否与AD的长度有关？请说明.
解：法一：（1）设，过点E向AD引垂线交AD于点O，
平面平面ABCD，
且， 连结OB，OF，
则
，
，又
；
（2）
为二面角A—BF—E的平面角，
即，故与AD无关 12分
法二：（1）取AD的中点O，连结OE、OB，
则EOAD，EO平面ABCDD，于是，设，则，建立如图所示的直角坐标系，
则
可求得平面EFB的法向量，
（2）平面ABCD的一个法向量
设二面角A—BF—E的大小为
长度不影响二面角A—BF—E的大小 12分
126．【2010·河南省郑州市第二次质量预测】 如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝2，AD＝3，CD＝1，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝AD,BF＝B C．现将此梯形沿EF折至使AD＝的位置（如图2）．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求点B到平面CDEF的距离；
（Ⅲ）求直线CE与平面BCF所成角的正弦值．
解：（I）由题意：，
，即，
又，，
平面．…………3分
（Ⅱ）作于点，
，
．
又平面，
平面，
平面．
故点到平面的距离即为点到平面的距离．…………5分
由图1,，
平面，平面，
，又．
平面．
故的长即为点到平面的距离．…………7分
在中，，
所以点到平面的距离为．…………8分
（用等体积法做，可根据实际情况分步给分）
（Ⅲ）以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，
由得．
记直线与平面所成的角为，
则．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
127．【2010·河北省邯郸市二模】如图所示，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是棱的中点.
(Ⅰ)求证:平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
解：(Ⅰ) 连结与交于，
则为的中点，为的中点，为的中位线，//. 又平面，平面//平面；
（Ⅱ）解法一：过作于，由正三棱柱的性质可知，
平面，连结，在正中，
在直角三角形中，
由三垂线定理的逆定理可得.则为二面角的平面角，
又得，
，
∴.故所求二面角的大小为.；
解法二：（向量法）
建立如图所示空间直角坐标系，则
.
设是平面的一个法向量，则可得
，所以即取
可得
又平面的一个法向量设则
又知二面角是锐角,所以二面角
的大小是；
（Ⅲ）设求点到平面的距离；因，所以，故，而，
由.
128．【2010·年广东省四月调研F
E
A
B
D
C
】在直四棱柱中ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
，，底面是边长为的正方形，、分别是棱、的中点.
(Ⅰ)求二面角的大小；
(Ⅱ)求证：直线平面.
解：(Ⅰ)以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系如图.
则相应点的坐标分别为，，，，
∴
，
设平面、平面的法向量分别为，
由，
由，
∴，∴
∴二面角的大小为.
方法二： ， ∴,同理
∴，∴
同理可证
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
G
E
A
B
D
C
F
又,面,面 ∴面
∵平面，∴平面平面，
∴二面角的大小为.
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
(Ⅱ)证明:取的中点，连接
分别是棱中点
∴∥，，
∴四边形为平行四边形，∴
又，
∴，平面
∵，∴平面平面
∵，∴直线平面
（或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线平面，亦可.）
129．【2010·湖南师大附中三月模拟仿真（一）】
如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC= 90°，CD∥AB，AB=2，AD=CD=1．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，如图2．
（I）求证：BC⊥AD；
（II）设M为线段AB的中点，直线AD与平面CDM所成的角为θ，求sinθ的值．
解：（I）在Rt△ADC中，因为AD=CD=1，则AC=．
在图1中，取AB的中点M，则四边形AMCD为正方形，从而CM⊥AB，所以BC=AC=
又AB=2，则AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．
因为平面ADC上平面ABC，且平面
所以BC平面故
（II）法1：过点A作AE⊥平面CDM，垂足为E，连结DE，
则∠ADE为直线AD与平面CDM所成的角，即∠ADE=θ． ）
取AC的中点O，连结DO，MO，则DO⊥AC，MO∥BC．
因为平面ADC⊥平面ABC，则DO⊥平面ABC
因为，
则为正三角形
由
所以
在
法2：取AC的中点O，连结DO，MO，则DO⊥AC，MO∥BC．
因为平面ADC⊥平面ABC，则DO⊥平面ABC，因为AC⊥BC，则AC⊥OM．
如图所示建立空间直角坐标系，
则点
所以
设为平面CDM的一个法向量，则 ， 即 ．
取则
于是
130．【2010·铜鼓中学三月模拟】如图，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等边三角形，ABCD是矩形，AB∶AD＝∶1，F是AB的中点．
（1）求VC与平面ABCD所成的角；
（2）求二面角V-FC-B的度数；
（3）当V到平面ABCD的距离是3时，求B到平面VFC的距离．
解：（甲）取AD的中点G，连结VG，CG．
（1）∵ △ADV为正三角形，∴ VG⊥AD．
又平面VAD⊥平面ABCD．AD为交线，
∴ VG⊥平面ABCD，则∠VCG为CV与平面ABCD所成的角．
设AD＝a，则，．
在Rt△GDC中，
．
在Rt△VGC中，． ∴ ．
即VC与平面ABCD成30°．
（2）连结GF，则． 而 ．
在△GFC中，． ∴ GF⊥FC．
连结VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角．
在Rt△VFG中，．
∴ ∠VFG＝45°． 二面角V-FC-B的度数为135°．
（3）设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，即VG＝3．
此时，，，．
∴ ， ．
∵ ， ∴ ． ∴ ．
∴ 即B到面VCF的距离为．
131．【2010·上海市卢湾区4月高考模拟】在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．
（1）求棱的长；（2）求点到平面的距离．
解：（1）设，由题设，
得，即，解得．
故的长为．
（2）以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
由已知及（1），可知，，，，
设平面的法向量为，有，，
其中，，则有即解得，，取，得平面的一个法向量，且．
在平面上取点，可得向量，于是点到平面的距离．
132．【2010·北京市海淀区高三第二学期期末练习】已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示.
（Ⅰ）求证：AN//平面MBD；
（Ⅱ）求异面直线AN与PD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角M-BD-C的余弦值.
解：（Ⅰ）连结交于，连结 ，
，
，
，
，
，
，
.
（Ⅱ）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，,
,
,
异面直线与所成角的余弦值为 .
（Ⅲ）侧棱,,
设的法向量为,
，并且,
，令得，,
的一个法向量为 .
,
由图可知二面角的大小是锐角,
二面角大小的余弦值为 .
133．【2010·北京市东城区综合练习（二）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD//BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点.（I）求证：PE⊥CD；
（II）求四棱锥P—ABCD的体积；
（III）求PC与平面PDE所成角的正弦值.
解：（I）证明：因为AD⊥侧面PAB，PE平面PAB，
所以AD⊥PE.
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，
所以PE⊥AB.因为AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD.而CD平面ABCD，
所以PE⊥CD.
（II）由（I）知：PE⊥平面ABCD，所以PE是四棱锥P—ABCD的高.由DA=AB=2，BC=AD，可得BC=1.因为△PAB是等边三角形，可求得
所以
（III）以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E—xyz.
令 设PC与平面PDE所成的角为
所以PC与平面PDE所成角的正弦值为
134．【2010·海淀区高三年级第二学期期末练习】
已知四棱锥，底面为矩形，侧棱，其中，为侧棱上的两个三等分点，如图所示.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.
解：（Ⅰ）证明：连结交于，连结 ，
，，
，，
， ，
.
（Ⅱ）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，,
,
,
异面直线与所成角的余弦值为 .
（Ⅲ）侧棱,,
设的法向量为,
，并且,
，令得，,
的一个法向量为 . , 由图可知二面角的大小是锐角,二面角大小的余弦值为 .
135．【2010·成都石室中学五月考前模拟】如图，在五面体中， 平面为的中
点，.
(Ⅰ)求异面直线与所成的角的大小；
(Ⅱ)证明：平面平面；
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
解：如图建立空间直角坐标系，设则
因为为的中点，则
(Ⅰ)
(Ⅱ) ，则
所以平面，得平面平面；
(Ⅲ)由图可得平面的法向量为，设平面的法向量为
列方程组的 得
136．【2010·青岛市四月质检】
图1
图2
如图1，直角梯形中，，分别为边和上的点，且，．将四边形沿折起成如图2的位置，使．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积;
（Ⅲ）求面与面所成锐二面角的余弦值.
解:（Ⅰ）证：
面面
又面
所以平面
（Ⅱ）取的中点，连接
平面
又平面
面
所以四棱锥的体积
（Ⅲ）如图以中点为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以的中点坐标为
因为，所以
易知是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为
由
令则，，
所以面与面所成锐二面角的余弦值为
137．【2010·浙江省杭州市第二次质量检测】已知如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面ABC，垂足G在AD上，且，E是BC的中点.
（1）求证：PCBG；
（2）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
（3）若F是PC上一点，且的值.
解：（Ⅰ）因为PG⊥底面ABCD,
所以 PG⊥ BG, 又BG⊥CG, 所以BG⊥面PGC,所以PC⊥BG．
（Ⅱ）建立如图空间直角坐标系，各点坐标如图所示，
∴ .． 4分
（Ⅲ）设CF = lCP，
则点 ，又D（–，，0 ），
∴
，，
由得，∴.
得，所以 =
138．【2010·上海市卢湾区4月模拟】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1，且这个几何体的体积为10．
（1）求棱AA1的长；（2）求点D到平面A1BC1的距离．
解：（1）设，由题设，
得，即，解得．
故的长为．
（2）以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
由已知及（1），可知，，，，
设平面的法向量为，有，，
其中，，则有即解得，，取，得平面的一个法向量，且．
在平面上取点，可得向量，于是点到平面的距离．
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