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  • 2021-05-14 发布

高考数列求和专项训练及解答

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高考数列求和专项训练及解答 一.选择题(共3小题)‎ ‎1.已知数列1,3,5,7,…则其前n项和Sn为(  )‎ ‎ A.n2+1﹣ B.n2+2﹣ C.n2+1﹣ D.n2+2﹣‎ ‎2.已知项数为奇数的等差数列{an}共有n项,其中奇数项之和为72,偶数项之和为60,则项数n的值是(  )‎ ‎ A.9 B.10 C.11 D.13 ‎ ‎3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=6,S5=15.设数列{}的前n项和为Tn,若Tn=,则n=(  )‎ ‎ A.19 B.20 C.21 D.22 ‎ ‎ ‎ 二.解答题(共5小题)‎ ‎4.已知数列{an}的通项是an=2n﹣1.‎ ‎(1)求数列{an}的前n项和为Sn ‎(2)设数列的前n项和为Tn,求Tn.‎ ‎5.已知正项数列满足4Sn=an2+2an+1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎6.已知等比数列{an}的公比q>0,a1a5=8a2,且3a4,28,a6成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎7.在数列{an}中,a1=1,.‎ ‎(1)求a2,a3,a4,猜想an,无需证明;‎ ‎(2)若数列,求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2an+2n.‎ ‎(1)证明数列{}是等差数列,并求出an;‎ ‎(2)求Sn;‎ ‎(3)令bn=,若对任意正整数n,不等式bn<恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2018年10月20日克拉玛****高级中学的高中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题(共3小题)‎ ‎1.已知数列1,3,5,7,…则其前n项和Sn为(  )‎ ‎ A.n2+1﹣ B.n2+2﹣ C.n2+1﹣ D.n2+2﹣ ‎ ‎【分析】利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.‎ ‎【解答】解:Sn=1+3+5+…+(2n﹣1)++…+‎ ‎=+‎ ‎=n2+.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.已知项数为奇数的等差数列{an}共有n项,其中奇数项之和为72,偶数项之和为60,则项数n的值是(  )‎ ‎ A.9 B.10 C.11 D.13 ‎ ‎【分析】利用项数为奇数的等差数列{an}共有n项,求出奇数项之和,偶数项之和,然后通过比值求解即可.‎ ‎【解答】解:由题意,;‎ ‎;‎ ‎∴,‎ ‎∴n=11.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查数列求和,数列的应用,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=6,S5=15.设数列{}的前n项和为Tn,若Tn=,则n=(  )‎ ‎ A.19 B.20 C.21 D.22 ‎ ‎【分析】等差数列{an}的公差设为d,由等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项、公差,求得==﹣,由裂项相消求和可得前n项和Tn,解方程可得n的值.‎ ‎【解答】解:等差数列{an}的公差设为d,前n项和为Sn,S3=6,S5=15,‎ 可得3a1+3d=6,5a1+10d=15,‎ 解得a1=d=1,‎ 即an=1+n﹣1=n,‎ ‎==﹣,‎ 前n项和为Tn=1﹣+﹣+…+﹣‎ ‎=1﹣,‎ 由Tn=,可得n=20,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的求和方法:裂项相消求和,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二.解答题(共5小题)‎ ‎4.已知数列{an}的通项是an=2n﹣1.‎ ‎(1)求数列{an}的前n项和为Sn ‎(2)设数列的前n项和为Tn,求Tn.‎ ‎【分析】(1)利用等差数列的通项公式求解数列的和即可.‎ ‎(2)利用错位相减法求解数列的和即可.‎ ‎【解答】(12分)‎ 解:(1)∵an=2n﹣1,∴a1=1,‎ ‎∴‎ ‎(2)①,‎ ‎②‎ ‎①减②得:‎ ‎=‎ ‎=,‎ ‎∴.‎ ‎【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解,利用错位相减法的应用,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎5.已知正项数列满足4Sn=an2+2an+1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(1)由,可知当n≥2时,,两式作差可得an﹣an﹣1=2(n≥‎ ‎2),再求出首项,代入等差数列的通项公式可得数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)把数列{an}的通项公式代入bn=,再由裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(1)由,可知当n≥2时,,‎ 两式作差得an﹣an﹣1=2(n≥2),‎ 又,得a1=1,‎ ‎∴an=2n﹣1;‎ ‎(2)由(1)知,,‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn=‎ ‎=.‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式,训练了利用裂项相消法求数列的前n项和,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎6.已知等比数列{an}的公比q>0,a1a5=8a2,且3a4,28,a6成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(1)利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组,求出数列的首项与公比,然后求解数列的通项公式;‎ ‎(2)化简通项公式,利用错位相减法求解数列的和即可.‎ ‎【解答】解:(1)由a1a5=8a2得:a1q3=8,即a4=8,‎ 又∵3a4,28,a6成等差数列,∴3a4+a6=56,‎ 将a4=8代入得:a6=32.‎ 从而:a1=1,q=2.‎ ‎∴an=2n﹣1;‎ ‎(2)bn==2n•()n﹣1,‎ Tn=2×()0+4×()1+6×()2+…+2(n﹣1)•()n﹣2+2n•()n﹣1……………………①‎ Tn=2×()1+4×()2+6×()3+…+2(n﹣1)•()n﹣1+2n•()n……………………②‎ ‎①﹣②得:Tn=2×[()0+2()1+()2+…+()n﹣1]﹣2n•()n ‎=2+2×﹣2n•()n=4﹣(n+2)•()n﹣1.‎ ‎∴Tn=8﹣(n+2)•()n﹣2.‎ ‎【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,数列求和的方法,考查转化首项以及计算能力,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎7.在数列{an}中,a1=1,.‎ ‎(1)求a2,a3,a4,猜想an,无需证明;‎ ‎(2)若数列,求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎【分析】(1)利用已知条件通过递推关系式求解a2,a3,a4,猜想an;‎ ‎(2)化简数列,利用裂项消项法求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎【解答】解:(1)∵a1=1,an+1=,‎ ‎∴a2==,a3=═,a4=═.‎ 猜想:an=.‎ ‎(2)由(1)知:bn===2[﹣],‎ 从而sn=b1+b2+…+bn ‎=2[(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)]=2[1﹣]=.‎ ‎【点评】本题考查数列求和,数列的递推关系式的应用,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2an+2n.‎ ‎(1)证明数列{}是等差数列,并求出an;‎ ‎(2)求Sn;‎ ‎(3)令bn=,若对任意正整数n,不等式bn<恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎【分析】(1)两边同除以2n+1,结合等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;‎ ‎(2)运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简可得所求和;‎ ‎(3)求得bn==()n+(n﹣1)•()n,讨论bn的单调性,求得最大值,可得m2﹣m﹣6>0,解不等式即可得到所求范围.‎ ‎【解答】解:(1)证明:a1=1,an+1=2an+2n,‎ 可得=+,‎ 可得数列{}是首项和公差均为的等差数列,‎ 可得=n,即an=n•2n﹣1;‎ ‎(2)Sn=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1,‎ ‎2Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n,‎ 相减可得﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n,‎ ‎=﹣n•2n,‎ 化简可得Sn=1+(n﹣1)•2n;‎ ‎(3)bn==()n+(n﹣1)•()n,‎ bn+1﹣bn=()n+1+n•()n+1﹣()n﹣(n﹣1)•()n=,‎ 当n=1时,b2﹣b1=;n=2时,b3﹣b2=;即b1<b2<b3,‎ 当n≥3时,bn+1﹣bn<0,即b3>b4>b5>…,‎ 则n=3时,bn的最大值为b3=,‎ 不等式bn<恒成立,可得 ‎<,即为m2﹣m﹣6>0,‎ 解得m>3或m<﹣2.‎ 则m的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞).‎ ‎【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用,考查数列的求和方法:错位相减法,以及数列的单调性的运用:解不等式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎