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- 2021-05-14 发布
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高考数列求和专项训练及解答
一.选择题(共3小题)
1.已知数列1,3,5,7,…则其前n项和Sn为( )
A.n2+1﹣ B.n2+2﹣ C.n2+1﹣ D.n2+2﹣
2.已知项数为奇数的等差数列{an}共有n项,其中奇数项之和为72,偶数项之和为60,则项数n的值是( )
A.9 B.10 C.11 D.13
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=6,S5=15.设数列{}的前n项和为Tn,若Tn=,则n=( )
A.19 B.20 C.21 D.22
二.解答题(共5小题)
4.已知数列{an}的通项是an=2n﹣1.
(1)求数列{an}的前n项和为Sn
(2)设数列的前n项和为Tn,求Tn.
5.已知正项数列满足4Sn=an2+2an+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
6.已知等比数列{an}的公比q>0,a1a5=8a2,且3a4,28,a6成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
7.在数列{an}中,a1=1,.
(1)求a2,a3,a4,猜想an,无需证明;
(2)若数列,求数列{an}的前n项和Sn.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2an+2n.
(1)证明数列{}是等差数列,并求出an;
(2)求Sn;
(3)令bn=,若对任意正整数n,不等式bn<恒成立,求实数m的取值范围.
2018年10月20日克拉玛****高级中学的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共3小题)
1.已知数列1,3,5,7,…则其前n项和Sn为( )
A.n2+1﹣ B.n2+2﹣ C.n2+1﹣ D.n2+2﹣
【分析】利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.
【解答】解:Sn=1+3+5+…+(2n﹣1)++…+
=+
=n2+.
故选:A.
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式,属于基础题.
2.已知项数为奇数的等差数列{an}共有n项,其中奇数项之和为72,偶数项之和为60,则项数n的值是( )
A.9 B.10 C.11 D.13
【分析】利用项数为奇数的等差数列{an}共有n项,求出奇数项之和,偶数项之和,然后通过比值求解即可.
【解答】解:由题意,;
;
∴,
∴n=11.
故选:C.
【点评】本题考查数列求和,数列的应用,考查计算能力.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=6,S5=15.设数列{}的前n项和为Tn,若Tn=,则n=( )
A.19 B.20 C.21 D.22
【分析】等差数列{an}的公差设为d,由等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项、公差,求得==﹣,由裂项相消求和可得前n项和Tn,解方程可得n的值.
【解答】解:等差数列{an}的公差设为d,前n项和为Sn,S3=6,S5=15,
可得3a1+3d=6,5a1+10d=15,
解得a1=d=1,
即an=1+n﹣1=n,
==﹣,
前n项和为Tn=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣,
由Tn=,可得n=20,
故选:B.
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的求和方法:裂项相消求和,考查运算能力,属于中档题.
二.解答题(共5小题)
4.已知数列{an}的通项是an=2n﹣1.
(1)求数列{an}的前n项和为Sn
(2)设数列的前n项和为Tn,求Tn.
【分析】(1)利用等差数列的通项公式求解数列的和即可.
(2)利用错位相减法求解数列的和即可.
【解答】(12分)
解:(1)∵an=2n﹣1,∴a1=1,
∴
(2)①,
②
①减②得:
=
=,
∴.
【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解,利用错位相减法的应用,考查计算能力.
5.已知正项数列满足4Sn=an2+2an+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【分析】(1)由,可知当n≥2时,,两式作差可得an﹣an﹣1=2(n≥
2),再求出首项,代入等差数列的通项公式可得数列{an}的通项公式;
(2)把数列{an}的通项公式代入bn=,再由裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:(1)由,可知当n≥2时,,
两式作差得an﹣an﹣1=2(n≥2),
又,得a1=1,
∴an=2n﹣1;
(2)由(1)知,,
∴Tn=b1+b2+…+bn=
=.
【点评】本题考查等差数列的通项公式,训练了利用裂项相消法求数列的前n项和,是中档题.
6.已知等比数列{an}的公比q>0,a1a5=8a2,且3a4,28,a6成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【分析】(1)利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组,求出数列的首项与公比,然后求解数列的通项公式;
(2)化简通项公式,利用错位相减法求解数列的和即可.
【解答】解:(1)由a1a5=8a2得:a1q3=8,即a4=8,
又∵3a4,28,a6成等差数列,∴3a4+a6=56,
将a4=8代入得:a6=32.
从而:a1=1,q=2.
∴an=2n﹣1;
(2)bn==2n•()n﹣1,
Tn=2×()0+4×()1+6×()2+…+2(n﹣1)•()n﹣2+2n•()n﹣1……………………①
Tn=2×()1+4×()2+6×()3+…+2(n﹣1)•()n﹣1+2n•()n……………………②
①﹣②得:Tn=2×[()0+2()1+()2+…+()n﹣1]﹣2n•()n
=2+2×﹣2n•()n=4﹣(n+2)•()n﹣1.
∴Tn=8﹣(n+2)•()n﹣2.
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,数列求和的方法,考查转化首项以及计算能力,是中档题.
7.在数列{an}中,a1=1,.
(1)求a2,a3,a4,猜想an,无需证明;
(2)若数列,求数列{an}的前n项和Sn.
【分析】(1)利用已知条件通过递推关系式求解a2,a3,a4,猜想an;
(2)化简数列,利用裂项消项法求数列{an}的前n项和Sn.
【解答】解:(1)∵a1=1,an+1=,
∴a2==,a3=═,a4=═.
猜想:an=.
(2)由(1)知:bn===2[﹣],
从而sn=b1+b2+…+bn
=2[(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)]=2[1﹣]=.
【点评】本题考查数列求和,数列的递推关系式的应用,考查计算能力.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2an+2n.
(1)证明数列{}是等差数列,并求出an;
(2)求Sn;
(3)令bn=,若对任意正整数n,不等式bn<恒成立,求实数m的取值范围.
【分析】(1)两边同除以2n+1,结合等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;
(2)运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简可得所求和;
(3)求得bn==()n+(n﹣1)•()n,讨论bn的单调性,求得最大值,可得m2﹣m﹣6>0,解不等式即可得到所求范围.
【解答】解:(1)证明:a1=1,an+1=2an+2n,
可得=+,
可得数列{}是首项和公差均为的等差数列,
可得=n,即an=n•2n﹣1;
(2)Sn=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1,
2Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n,
相减可得﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n,
=﹣n•2n,
化简可得Sn=1+(n﹣1)•2n;
(3)bn==()n+(n﹣1)•()n,
bn+1﹣bn=()n+1+n•()n+1﹣()n﹣(n﹣1)•()n=,
当n=1时,b2﹣b1=;n=2时,b3﹣b2=;即b1<b2<b3,
当n≥3时,bn+1﹣bn<0,即b3>b4>b5>…,
则n=3时,bn的最大值为b3=,
不等式bn<恒成立,可得
<,即为m2﹣m﹣6>0,
解得m>3或m<﹣2.
则m的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞).
【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用,考查数列的求和方法:错位相减法,以及数列的单调性的运用:解不等式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.