中山市某重点中学高考数学考前模拟理试卷新人民教育出 11页

广东省中山市某重点中学2014届高考数学考前模拟理试卷新人教A版 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.‎ ‎1.已知集合，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 复数等于 A. B. C. D.‎ ‎3.已知，则 A. B. C. - D. ‎ ‎4．已知数列{｝是各项均为正数的等比数列，若，则 ‎ A.4 B.8 C.16 D.32‎ ‎5. 关于函数，下列说法正确的是 A．是奇函数且x=-1处取得极小值 ‎ B．是奇函数且x=1处取得极小值 C．是非奇非偶函数且x=-1处取得极小值 D．是非奇非偶函数且x=1处取得极小值 ‎6.一简单组合体的三视图及尺寸如图（1）所示，则该组合体的体积是 图（1）‎ A. 76 B. 80 C. 96 D. 112 ‎ ‎7.已知不共线的平面向量a，b，c，两两所成的角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝3，则｜a＋b＋c｜等于 ‎ A．2 B.5 C.2或5 D.或 ‎8.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的个专业中，选择个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有 A.210种 B. 180种 C.120种 D.95种 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。‎ ‎ (一）必做题（9-13题）‎ ‎9.在△中，角的对边分别为，且，．‎ 则角的大小为 ；‎ ‎10．由曲线所围成的图形面积是 .[‎ ‎11. 在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，则焦点到准线的距离为 . ‎ ‎12. 图（2）是某算法的程序框图，当输出的结果时，整数的最小值 是 .‎ ‎13. 已知是坐标原点，点，若为平面区域 上的一个动点，则 的最小值是 . ‎ （二） 选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．(几何证明选做题)如图（3），是圆的直径，延长至，‎ 使，且，CD是圆的切线，切点为，连接，‎ 则________，________． ‎ ‎15.（极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系中，曲线和 相交于点，则＝ . 图（3） ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数（）的图象过点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设，求的值.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中 罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：‎ 罗非鱼的汞含量（ppm）‎ ‎《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过ppm．‎ ‎（1）检查人员从这条鱼中，随机抽出条，求条中恰有条汞含量超标的概率；‎ ‎（2）若从这批数量很大的鱼中任选条鱼，记表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求的分布列及数学期望．‎ ‎18. （本小题满分14分）‎ 如图（4），三棱柱的底面是边长的正三角形，侧棱与底面垂直，且长为，是的中点．‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值； 图（4）‎ ‎（3）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，说明理由.‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆：的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点是椭圆上的动点，点满足且，求的最小值；‎ ‎（3）设椭圆的上下顶点分别为、，点是椭圆上异于、的任一点，直线 ‎ 分别于x轴交于点D、E，若直线OT与过点D、E的圆相切，切点为T，试探究线段OT的长是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是，请说明理由.‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ 已知数列满足：，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：对一切有.‎ ‎21. （本小题满分14分）已知函数在处存在极值.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）函数的图像上存在两点使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，讨论关于的方程的实根的个数.‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9、__________ __ 10、 ； 11、________________‎ ‎12、 ； 13、_________ ____; （ ）、_______________‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16.‎ ‎17.‎ ‎18.‎ ‎（第19，20,21题请写到背面，谢谢！）‎ 一、选择题 CB CC DBAC 二、填空题 9. 60°；10. ；11.4；12. 5；13.1；14. 、；15..‎ 三、解答题 ‎16.解：（1）依题意得，，‎ ‎∵ ∴∴，∴‎ ‎（2）∵ ∴，‎ 又∵ ∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ ‎17.解：（1）记“条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标”为事件，则，‎ ‎∴条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标的概率为.‎ ‎（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，‎ 可能取，，，.‎ 则 ，，‎ ‎，．‎ 其分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴‎ ‎18.（1）证明：连结，‎ ‎∵三棱柱的侧棱与底面垂直 ‎ ∴四边形是矩形， ∴为的中点．‎ ‎ ∵是的中点， ∴是三角形的中位线，‎ ‎ ∴∥．∵平面，平面， ∴∥平面．‎ ‎（2）解：作于，连结 ‎∵平面 ‎∴平面平面,且平面平面 ‎∴平面，∴为直线与平面所成的角，‎ 在直角三角形中，∵‎ ‎ ∴.‎ ‎(3)以点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：‎ 若在线段上存在点满足题设，设，则 ，，，， ‎ ‎ ∴，，．‎ ‎ 设是平面的法向量，‎ ‎ 则由得 ‎ 令，则，， ∴是平面的一个法向量．‎ ‎ ∵，则，‎ 设平面的法向量，‎ ‎ ∴即 令，则，，， ‎ 又，即，解得，‎ ‎ ∴存在点，使得平面平面且．‎ ‎19．解：（1）， ∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）由知，点M在以F为圆心，以1为半径的圆上，‎ 由知，MP为圆F的切线，M为切点，故|,‎ 当|PF|取最小值时，|PM|取最小值，‎ 设，则，又，当时，，所以.‎ ‎（3）由（1）知椭圆上下顶点坐标分别为,‎ 设点（，），则直线 与的方程分别为：‎ ‎， ，‎ 令分别得，∴，‎ 又得，∴，‎ 由切割线定理得：,即线段OT的长为定值且.‎ ‎20.（1）由（） 得 ‎ 即，‎ ‎ 整理得： ，‎ 即当时有：‎ 解得，当时，上式也成立，∴‎ ‎（2）∵当时，‎ ‎∴当时，‎ ‎=，‎ 当时，，综上得：对一切有.‎ ‎21.解（1）当时，.‎ 因为函数f(x)在处存在极值，所以解得.‎ ‎(2) 由（1）得 根据条件知A，B的横坐标互为相反数，不妨设.‎ 若，则，‎ 由是直角得，，即，即.此时无解；‎ 若，则. 由于AB的中点在轴上，且是直角，所以B点不可能在轴上，即. 由，即=0，即..‎ 因为函数在上的值域是，所以实数的取值范围是. ‎ ‎（3）由方程，知，可知0一定是方程的根， ‎ 所以仅就时进行研究：方程等价于 构造函数 对于部分，函数的图像是开口向下的抛物线的一部分，‎ 当时取得最大值，其值域是；‎ 对于部分，函数，由，知函数在上单调递增.‎ 所以，①当或时，方程有两个实根；‎ ‎②当时，方程有三个实根；‎ ‎ ③当时，方程有四个实根. ‎