坐标系与参数方程高考真题训练教师用卷 10页

坐标系与参数方程历年真题 1. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ ‎【答案】解：由，由②得， 代入①并整理得，． 由，得， 两式平方相加得． 联立，解得或． ∴|AB|=．‎ ‎【解析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案． 本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题． ‎ 2. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．‎ ‎【答案】解：直线l的直角坐标方程为x-2y+8=0， ∴P到直线l的距离d==， ∴当s=时，d取得最小值=．‎ ‎【解析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离． 本题考查了参数方程的应用，属于基础题． ‎ 1. 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （1）写出C的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎【答案】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数）， ∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x-2）①； 又直线l2的参数方程为，（m为参数）， 同理可得，直线l2的普通方程为：x=-2+ky②； 联立①②，消去k得：x2-y2=4，即C的普通方程为x2-y2=4； （2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）-=0， ∴其普通方程为：x+y-=0， 联立得：， ∴ρ2=x2+y2=+=5． ∴l3与C的交点M的极径为ρ=．‎ ‎【解析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x-2）①与x=-2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2-y2=4； （2）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）-=0化为普通方程：x+y-=0，再与曲线C的方程联立，可得，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ=． 本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题． ‎ 2. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4． （1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎【答案】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4， 设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=， ∵|OM||OP|=16， ∴=16， 即（x2+y2）（1+）=16， ‎ ‎∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2， 两边开方得：x2+y2=4x， 整理得：（x-2）2+y2=4（x≠0）， ∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x-2）2+y2=4（x≠0）． （2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2， ∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==， ∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．‎ ‎【解析】（1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|•|OP|=16列方程化简即可； （2）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积． 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题． ‎ 1. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）． （1）若a=-1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．‎ ‎【答案】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1； a=-1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y-3=0； 联立方程， 解得或， 所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（-，）． （2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y-a-4=0， 椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）， 所以点P到直线l的距离d为： d==，φ满足tanφ=， 又d的最大值dmax=， 所以|5sin（θ+φ）-a-4|的最大值为17， 得：5-a-4=17或-5-a-4=-17， 即a=-16或a=8．‎ ‎【解析】（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标； （2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为进行分析，可以求出a 的值． 本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a． ‎ 1. 选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈ . ‎ 求C的参数方程.‎ 设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x +2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.‎ ‎【答案】‎ ‎【小题1】‎ ‎ .‎ ‎【小题2】‎ 点D的直角坐标为 ,即 ‎【解析】【小题1】‎ 试题分析：C的普通方程为 ‎ +y2=1 . ‎ 可得C的参数方程为 ‎ . ‎ ‎【小题2】‎ 试题分析：设D(1+cost ,sint ).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. ‎ 因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同, ‎ tant = ,t= . ‎ 故点D的直角坐标为 ,即 . ‎ ‎ ‎ 1. 已知直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ2 cos 2θ=1.‎ 求曲线C的直角坐标方程.‎ 求直线l被曲线C截得的弦长.‎ ‎【答案】【小题1】‎ 由ρ2cos 2θ=1得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ=1，即有x2－y2=1，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2－y2=1.‎ ‎【小题2】‎ 把代入x2－y2=1中，得（2+t）2－（t）2=1，即2t2－4t－3=0，‎ 所以t1+t2=2，t1·t2=－‎ 设直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).‎ 所以直线l被曲线C截得的弦长为 ‎【解析】【小题1】略 ‎【小题2】略 ‎ ‎ 2. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2． （1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程； （2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数）， 移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1， 即有椭圆C1：+y2=1； 曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2， 即有ρ（sinθ+cosθ）=2， 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y-4=0， 即有C2的直角坐标方程为直线x+y-4=0； （2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时， |PQ|取得最值． 设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0， 联立可得4x2+6tx+3t2-3=0， 由直线与椭圆相切，可得△=36t2-16（3t2-3）=0， 解得t=±2， 显然t=-2时，|PQ|取得最小值， 即有|PQ|==， 此时4x2-12x+9=0，解得x=， 即为P（，）． 另解：设P（cosα，sinα）， 由P到直线的距离为d= =， 当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为， 此时可取α=，即有P（，）．‎ ‎【解析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程； （2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标． 另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标． 本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题． ‎ 1. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ． （Ⅰ ‎）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y-1）2=a2． ∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆． 化为一般式：x2+y2-2y+1-a2=0．① 由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2-2ρsinθ+1-a2=0； （Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ， ∴x2+y2=4x，② 即（x-2）2+y2=4． 由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x， ∵曲线C1与C2的公共点都在C3上， ∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程， ①-②得：4x-2y+1-a2=0，即为C3 ， ∴1-a2=0， ∴a=1（a＞0）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程； （Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1-a2=0，则a值可求． 本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题． ‎ 1. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ ‎【答案】解：直线l的参数方程为，化为普通方程为x+y=3， 与抛物线y2=4x联立，可得x2-10x+9=0， ∴交点A（1，2），B（9，-6）， ∴|AB|==8．‎ ‎【解析】直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长． 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题． ‎ 2. 已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ， 故曲线C的参数方程为，（θ为参数）． 对于直线l：， 由①得：t=x-2，代入②并整理得：2x+y-6=0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为． 则，其中α为锐角． 当sin（θ+α）=-1时，|PA|取得最大值，最大值为． 当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．‎ ‎【解析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值． 本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题． ‎ 1. 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C． （Ⅰ）写出C的参数方程； （Ⅱ）设直线l：2x+y-2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上， ∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为 （0≤θ＜2π，θ为参数）． （Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2）， 则线段P1P2的中点坐标为（，1）， 再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y-1=（x-），即x-2y+=0． 再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα-2ρsinα+=0， 即ρ=．‎ ‎【解析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程． （Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程． 本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题． ‎ 1. 在直角坐标系xoy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=2cosθ． （Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标； （Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，① C3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，② 由①②得或， 即C2与C1交点的直角坐标为（0，0），（，）； （Ⅱ）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx， 则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π． 因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）． 所以|AB|=|2sinα-2cosα|=4|sin（α）|， 当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．‎ ‎【解析】（Ⅰ）将C2与C3转化为直角坐标方程，解方程组即可求出交点坐标； （Ⅱ）求出A，B的极坐标，利用距离公式进行求解． 本题主要考查极坐标方程和参数方程的应用，考查学生的运算和转化能力． ‎ 2. 已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ． （1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程； （2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1； （2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上， 过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5-1）2+3-1=18， 由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．‎ ‎【解析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程； （2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论． 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题． ‎