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- 2021-05-14 发布
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高考数学选择题分类汇编
1.【2011课标文数广东卷】已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=( )
A. B . C.1 D.2
2.【2011·课标理数广东卷】若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·(a+2b)=( )
A.4 B.3 C.2 D.0
3.【2011大纲理数四川卷】如图1-1,正六边形ABCDEF中,++=( )
A.0 B. C. D.
4.【2011大纲文数全国卷】设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-,则|a+2b|=( )
A. B. C. D.
.
5.【2011课标文数湖北卷】若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于( )
A.- B. C. D.
6.【2011课标理数辽宁卷】若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( ) A.-1 B.1 C. D.2
【解析】 |a+b-c|==,由于a·b=0,所以上式=,又由于(a-c)·(b-c)≤0,得(a+b)·c≥c2=1,所以|a+b-c|=≤1,故选B.
7.【2011课标文数辽宁卷】已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=( )
A.-12 B.-6 C.6 D.12
8.【2011大纲理数1全国卷】设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=-,〈a-c,b-c〉=60°,
则|c|的最大值等于( ) A.2 B. C. D.1
9.【2011课标理数北京卷】已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,).若a-2b与c共线,则k=________.
10.【2011·课标文数湖南卷】设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a 的坐标为________.
【解析】 因为a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),又因为(a+λb)∥c,(1+λ)×4-2×3=0,解得λ=.
【解析】 因为a∥b且a⊥c,所以b⊥c,所以c·(a+2b)=c·a+2b·c=0.
【解析】 ++=+-=-=,所以选D.
【解析】 2=(a+2b)2=2+4a·b+42=3,则=,故选B
【解析】 因为2a+b=+=,a-b=,所以=3,=3.设2a+b与a-b的夹角为θ,则cosθ===,又θ∈,所以θ=.
【解析】 a·(2a-b)=2a2-a·b=0,即10-(k-2)=0,所以k=12,故选D.
【解析】 设向量a,b,c的起点为O,终点分别为A,B,C,由已知条件得,∠AOB=120°,∠ACB=60°,则点C在△AOB的外接圆上,当OC经过圆心时,|c|最大,在△AOB中,求得AB=,由正弦定理得△AOB外接圆的直径是=2,的最大值是2,故选A.
【解析】 因为a-2b=(,3),由a-2b与c共线,有=,可得k=1.
【解析】 因为a与b的方向相反,根据共线向量定义有:a=λb(λ<0),所以a=(2λ,λ).
由=2,得=2⇒λ=-2或λ=2(舍去),故a=(-4,-2).
11.【2011·课标理数天津卷】已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为________.
12.【2011·课标理数浙江卷】 若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为,则α与β的夹角θ的取值范围是________.
13.【2011·新课标理数安徽卷】已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b 的夹角为________.
14.【2011·课标文数福建卷】若向量a=(1,1),b=(-1,2),则a·b等于________.
15.【2011·课标理数湖南卷】在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=3,则·=________.
16.【2011课标理数江西卷】已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,则a与b的夹角为________.
17.【2011·课标文数江西卷】已知两个单位向量e1,e2的夹角为,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=________.
18.【2011课标文数全国卷】 已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=________.
19.【10安徽文数】设向量,,则下列结论中正确的是
(A) (B) (C) (D)与垂直
20.【10重庆文数】若向量,,,则实数的值为
(A) (B) (C)2 (D)6
【解析】 建立如图1-6所示的坐标系,设DC=h,则A(2,0),B(1,h).
设P(0,y),(0≤y≤h) 则=(2,-y),=(1,h-y),
∴=≥=5.
【解析】 由题意得:sinθ=,∵=1,≤1,∴sinθ=≥.
又∵θ∈(0,π),∴θ∈.
【解析】 设a与b的夹角为θ,依题意有(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=-7+2cosθ=-6,所以cosθ=.因为0≤θ≤π,故θ=.
【解析】 由已知a=(1,1),b=(-1,2),得a·b=1×(-1)+1×2=1.
【解析】 由题知,D为BC中点,E为CE三等分点,以BC所在的直线为x轴,以AD所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,可得A,D(0,0),B,E,故=,=,所以·=-×=-.
【解析】 设a与b的夹角为θ,由(a+2b)(a-b)=-2得
|a|2+a·b-2|b|2=4+2×2×cosθ-2×4=-2,解得cosθ=,∴θ=.
【解析】 |e1|=|e2|=1且e1·e2=,所以b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3e-2e1·e2-8e=3-2×-8=-6.
【解析】 由题意,得(a+b)·(ka-b)=k2-a·b+ka·b-2=k+(k-1)a·b-1
=(k-1)(1+a·b)=0,a与b不共线,所以a·b≠-1,所以k-1=0,解得k=1.
【解析】,,所以与垂直.
【解析】 D
21.【10重庆理数】已知向量a,b满足,则
A. 0 B. C. 4 D. 8
解析:
22.【10湖南文数】若非零向量a,b满足|,则a与b的夹角为C
A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500
23.【10全国卷理数】中,点在上,平方.若,,,,则(A) (B) (C) (D)
【解析】因为平分,由角平分线定理得,所以D为AB的三等分点,且,所以,选B.
24. 【10辽宁文数】平面上三点不共线,设,则的面积等于
(A) (B)
(C) (D)
25.【10全国卷】△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若= a , = b , = 1 ,
= 2, 则=(A)a + b (B)a +b (C)a +b (D)a +b
∵ CD为角平分线,∴ ,∵ ,∴ ,∴
26.【10山东理数】定义平面向量之间的一种运算“”如下,对任意的,,令,下面说法错误的是( )
A.若与共线,则 B.
C.对任意的,有 D.
【解析】若与共线,则有,故A正确;因为,而
,所以有,故选项B错误,故选B。
27.【10四川理数】设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,则
(A)8 (B)4 (C) 2 (D)1w_w w. k#s5_u.c o*m
解析:由=16,得|BC|=4 =4
而 故2
28.【10天津文数】如图,在ΔABC中,,,,则=
(A) (B) (C) (D)
29.【10广东文数)w若向量=(1,1),=(2,5),=(3,x)满足条件 (8-)·=30,则= C A.6 B.5 C.4 D.3
30.【10四川文数】设点是线段的中点,点在直线外,, ,则 (A)8 (B)4 (C)2 (D)1
解析:由=16,得|BC|=4w_w w. k#s5_u.c o*m
=4而故2
计算题
1.【09广东卷文】已知向量与互相垂直,其中
(1)求和的值
(2)若,,求的值
解 (1),,即
又∵, ∴,即,∴
又 ,
(2) ∵
, ,即
又 , ∴
2.【09江苏卷】设向量
(1)若与垂直,求的值;
(2)求的最大值;
(3)若,求证:∥.
解析 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分14分。
3.【09湖南卷文】已知向量
(1)若,求的值;
(2)若求的值。
解 (1) 因为,所以,故
(2)由知,所以
从而,即,
于是.又由知,,
所以,或.因此,或
4. 【09上海卷】 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量,
, .
(1) 若//,求证:ΔABC为等腰三角形;
(2) 若⊥,边长c = 2,角C = ,求ΔABC的面积 .
证明:(1)
即,其中R是三角形ABC外接圆半径, 为等腰三角形
解(2)由题意可知
由余弦定理可知,