高考数学题分类汇编函数与导数 52页

‎2014年高考数学题分类汇编 函数与导数 一、选择题 ‎1.【2014·全国卷Ⅰ（理3，文5）】设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）‎ .是偶函数 .||是奇函数 .||是奇函数 .||是奇函数 ‎【答案】C ‎2. 【2014·全国卷Ⅰ（理6）】如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为（ ）‎ ‎【答案】C ‎3. 【2014·全国卷Ⅰ（理11，文12）】已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为（ ）‎ .（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）‎ ‎【答案】B ‎4. 【2014·全国卷Ⅱ（理8）】设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= ‎ A. 0 B. ‎1 C. 2 D. 3 ‎ ‎【答案】 D ‎【解析】 ‎5【2014·全国卷Ⅱ（理12）】设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C。‎ ‎【解析】‎ ‎6.【2014·全国卷Ⅱ（文3）】函数在处导数存在，若p：f‘（x0）=0；q：x=x0是的极值点，则 ‎ （A）是的充分必要条件 ‎ （B）是的充分条件，但不是的必要条件 ‎ （C）是的必要条件，但不是 的充分条件 ‎ (D) 既不是的充分条件，也不是的必要条件 ‎【答案】C ‎7.【2014·全国卷Ⅱ（文11）】若函数在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D） ‎【答案】D ‎8. 【2014·全国大纲卷（理7）】曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）‎ A．2e B．e C．2 D．1‎ ‎【答案】C ‎9. 【2014·全国大纲卷（理12）】函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】D ‎10.【2014·全国大纲卷（文5）】函数的反函数是（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】D ‎11.【2014·全国大纲卷（文12）】奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则（ ）‎ A．-2 B．‎-1 C．0 D．1‎ ‎【答案】D ‎12. 【2014·山东卷（理3）】函数的定义域为 ‎（A）（B）（C）（D） ‎13.【2014·山东卷（文3）】函数的定义域为（ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎【答案】C ‎14.【2014·山东卷（理5）】已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是 ‎（A）（B） ‎（C）（D） ‎15.【2014·山东卷（文5）】已知实数满足，则下列关系式恒成立的是 ‎ (A) (B) ‎ (C) (D) ‎【答案】A ‎ ‎16.【2014·山东卷（文6）】已知函数的图象如右图，则下列结论成立的是 ‎ (A) (B) ‎ (C) (D) ‎【答案】D ‎17.【2014·山东卷（文9）】对于函数，若存在常数，使得 取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ‎ (A) (B) ‎ (C) (D) ‎【答案】D ‎18.【2014·山东卷（理6）】直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ‎（A）（B）（C）2（D）4‎ ‎19.【2014·山东卷（理8）】已知函数，，若有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 ‎（A）（B）（C）（D） ‎20.【2014·安徽卷（理6）】设函数满足.当时，，则( )‎ A.B.C.D. ‎【解析】⑴由条件知：，故选A；‎ ‎21.【2014·安徽卷（文、理9）】若函数的最小值3，则实数的值为（ ）‎ A.或B.或C.或D.或 ‎【答案】D.‎ ‎22.【2014·安徽卷（文5）】设，，，则（ ）‎ A.B.C.D. ‎【答案】B ‎23.【2014·浙江卷（理6，文8）】已知函数且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎24.【2014·浙江卷（理7，文8）】在同意直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）‎ ‎25.【2014·浙江卷（理10）】设函数，，，记，则 A. B. C. D. ‎26.【2014·北京卷（理2）】下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）‎ ‎27.【2014·北京卷（文2）】下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎【答案】B。‎ ‎28.【2014·北京卷（文6）】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎29.【2014·天津卷（理4）】函数的单调递增区间是（　　）‎ A．B.C. D. ‎【答案】D.‎ ‎【解析】函数的定义域为。由于在上单调递减，而在区间上单调递减，故为函数的单调递增区间，选D.‎ ‎30.【2014·天津卷（文4）】设，，，则（　　）‎ ‎ （A）（B）（C）（D） ‎【解析】因为，，，所以，选C.‎ ‎31.【2014·福建卷（理4，文8）】若函数的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）‎ ‎【答案】B ‎32.【2014·福建卷（理7，文8）】已知函数则下列结论正确的是（ ）‎ A. 是偶函数 B. 是增函数 C.是周期函数 D.的值域为 ‎【答案】D ‎33.【2014·辽宁卷（理3，文3）】已知，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】C ‎34.【2014·辽宁卷（理11）】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】C ‎35.【2014·辽宁卷（理12）】已知定义在上的函数满足：①；‎ ‎②对所有，且，有.‎ 若对所有，，则k的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】B ‎36.【2014·辽宁卷（文10）】已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D． ‎37.【2014·陕西卷（理3）】定积分的值为（ ）‎ ‎【答案】C ‎【解析】，选C。‎ ‎38.【2014·陕西卷（文、理7）】下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ） ‎ ‎（A） （B） （C）（D） ‎【答案】D ‎【解析】 ‎39.【2014·陕西卷（理10）】如图，某飞行器在‎4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离‎10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）‎ （A） （B） ‎（C）（D） ‎【答案】A ‎【解析】三次奇函数过点，且为极值点，即，对而言，由于，，，符合题意。‎ ‎40.【2014·陕西卷（文10）】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）‎ A.B. C.D. ‎【答案】A.‎ ‎【解析】三次函数图象过点，且，，设，则，从而解得，则函数式为，故选A.‎ ‎41.【2014·湖南卷（理3）】已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且＝‎ A．－3 B．－‎1 C．1 D．3‎ ‎42.【2014·湖南卷（文4）】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）‎ ‎【答案】A ‎43.【2014·湖南卷（理10）】已知函数的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可得存在满足 ,当取决于负无穷小时,趋近于,因为函数在定义域内是单调递增的,所以,故选B.‎ ‎【考点定位】指对数函数 方程 ‎44.【2014·湖南卷（文9）】若，则（ ） ‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎45【2014·江西卷（理2）】函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎46.【2014·江西卷（理3）】已知函数，，若，则（ ）‎ A. ‎1 B. ‎2 C. 3 D. -1‎ ‎【答案】A ‎47.【2014·江西卷（文4）】已知函数，若，则（ ）‎ ‎【答案】A ‎48.【2014·江西卷（理8）】若则（ ）‎ A. B. C. D.1‎ ‎【答案】B ‎49.【2014·江西卷（文10）】在同意直角坐标系中，函数与的图像不可能的是（ ）‎ ‎【答案】B ‎50.【2014·湖北卷（理6）】若函数满足，则称为区间上的一组正交函数，给出三组函数：①；②；③。其中为区间的正交函数的组数是（ ）‎ A.0 B‎.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】C ‎51.【2014·湖北卷（理10）】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当时，若则实数a的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎52.【2014·湖北卷（文9）】已知是定义在上的奇函数，当时，. 则函数的零点的集合为 A. B. C. D. ‎【答案】D ‎53.【2014·四川卷（理9）】已知，。现有下列命题：‎ ‎①；②；③。其中的所有正确命题的序号是 A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②‎ ‎【答案】B ‎54.【2014·四川卷（文7）】已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）‎ A、B、C、D、 ‎【答案】B ‎55.【2014·重庆卷（文4）】下列函数为偶函数的是（）‎ ‎【答案】D ‎56.【2014·重庆卷（文9）】若的最小值是（）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎57.【2014·重庆卷（文10）】已知函数，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）‎ A. ‎ B.‎ ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎58.【2014·广东卷（文5）】下列函数为奇函数的是 ‎【答案】A 二、填空题 ‎59.【2014·全国卷Ⅰ（文15）】设函数则使得成立的的取值范围是________.‎ ‎【答案】 ‎60.【2014·全国卷Ⅱ（理15）】已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】偶函数在区间上单减，且，则，解得 ‎61.【2014·全国卷Ⅱ（文15）】已知函数的图像关于直线=2对称，=3，则_______.‎ ‎62.【2014·山东卷（理15）】已知函数.对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，关于点对称.若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 .‎ ‎63.【2014·江苏卷（10）】已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是.‎ ‎64.【2014·江苏卷（13）】已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是▲.‎ ‎65.【2014·安徽卷（文11）】________.‎ ‎【答案】 ‎66.【2014·安徽卷（文14）】若函数是周期为的奇函数，且在上的解析式为，则 ___.‎ ‎【答案】 ‎67.【2014·安徽卷（文15）】若直线与曲线满足下列两个条件：‎ 直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.‎ 下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) .‎ ‎①直线：在点处“切过”曲线：； ‎ ‎②直线：在点处“切过”曲线：； ‎ ‎③直线：在点处“切过”曲线：； ‎ ‎④直线：在点处“切过”曲线：， ‎ ‎⑤直线：在点处“切过”曲线： ‎【答案】①③④‎ ‎68.【2014·浙江卷（理15）】设函数若，则实数的取值范围是______‎ ‎【解析】不等式可化为或，解得，即 ，或 ‎69.【2014·浙江卷（文15）】设函数，若，则.‎ ‎70.【2014·浙江卷（文16）】已知实数、、满足，，则的最大值为为_______.‎ ‎71.【2014·天津卷（文12）】函数的单调递减区间值是________.‎ ‎【解析】由复合函数的单调性知，的单调递减区间是.‎ ‎72.【2014·天津卷（理14）】已知函数，.若方程 恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】显然.‎ ‎（ⅰ）当与相切时，，此时恰有3个互异的实数根.‎ ‎（ⅱ）当直线与函数相切时，，此时恰有2个互异的实数根.‎ 结合图象可知或.‎ 解2：显然，所以.‎ 令，则.‎ 因为，‎ 所以.‎ 结合图象可得或.‎ ‎73.【2014·福建卷（文15）】函数的零点个数是_________‎ ‎【答案】2‎ ‎74.【2014·陕西卷（理11，文12）】已知则=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎75.【2014·陕西卷（文14）】已知f（x）=，x≥0, f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),nN+, 则f2014(x)的表达式为__________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】，由于，则，‎ ，…，归纳得。‎ ‎76.【2014·湖南卷（文15）】若是偶函数，则____________.‎ ‎【答案】 ‎77.【2014·江西卷（文11）】若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.‎ ‎【答案】 ‎78.【2014·江西卷（理13）】若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________.‎ ‎【答案】（-ln2,2）‎ ‎79.【2014·湖北卷（理14）】设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.‎ （1） 当时，为的几何平均数；‎ （2） 当时，为的调和平均数；‎ ‎（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）‎ ‎【答案】；x 或； ‎80.【2014·湖北卷（文15）】如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．‎ 第15题图 若，，则正实数的取值范围为．‎ ‎【答案】 ‎81.【2014·四川卷（理12，文13）】设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则。‎ ‎【答案】 ‎82.【2014·四川卷（理15，文15）】以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，，。现有如下命题：‎ ‎①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；‎ ‎②函数的充要条件是有最大值和最小值；‎ ‎③若函数，的定义域相同，且，，则；‎ ‎④若函数（，）有最大值，则。‎ 其中的真命题有。（写出所有真命题的序号）‎ ‎【答案】①③④‎ ‎83.【2014·重庆卷（理12）】.函数的最小值为_________.‎ ‎【答案】 ‎84.【2014·重庆卷（理16）】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】 ‎85.【2014·广东卷（理11）】曲线在点处的切线方程为。‎ ‎【答案】‎ ‎86.【2014·广东卷（文11）】曲线在点处的切线方程为.‎ ‎【答案】 三、解答题 ‎87.【2014·全国卷Ⅰ（理21）】(本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：.‎ ‎【解析】……5分 ‎……8分 ‎……12分 ‎88.【2014·全国卷Ⅰ（文21）】设函数，曲线处的切线斜率为0‎ ‎(Ⅰ)求b；‎ ‎(Ⅱ)若存在使得，求a的取值范围。‎ ‎【解析】，‎ 由题设知，解得.……4分 ‎（II）的定义域为，由（1）知，，‎ ‎（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，‎ 所以，存在，使得的充要条件为，即，‎ 解得.‎ ‎（ii）若，则，故当时，；‎ 当时，，在单调递减，在单调递增.‎ 所以，存在，使得的充要条件为，‎ 而，所以不合题意.‎ ‎（iii）若，则.‎ 综上，a的取值范围是.‎ ‎……12分 ‎89.【2014·全国卷Ⅱ（理21）】已知函数= ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设，当时，,求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，.‎ ‎ 当b=2时，＞0；＞＞0.6928；‎ ‎ 当时，，‎ =＜0，‎ ＜＜0.6934‎ ‎ 所以的近似值为0.693.‎ ‎90.【2014·全国卷Ⅱ（文21）】已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.‎ （1） 求；‎ （2） 证明：当时，曲线与直线只有一个交点.‎ ‎【解析】（I）=，.‎ 曲线在点（0,2）处的切线方程为。‎ 由题设得，所以a=1.‎ ‎ （Ⅱ）由（I）知， ‎ 设 由题设知.‎ ‎ 当≤0时，，单调递增， ‎，所以=0在有唯一实根。‎ 当时，令，则。 ‎ ，在单调递减，在单调递增，所以 所以在没有实根.‎ 综上，=0在R有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点。‎ ‎91.【2014·全国大纲卷（理22）】（本小题满分12分）函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设，证明：.‎ ‎【解析】（I）的定义域为．‎ ‎（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数．‎ ‎（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数．‎ ‎（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数．‎ ‎（II）由（I）知，当时，在是增函数．当时，，即．又由（I）知，当时，在上是减函数；当时，，即．下面用数学归纳法证明．‎ ‎（i）当时，由已知，故结论成立；‎ ‎（ii）假设当时结论成立，即．当时，‎ ，即当时有，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何结论都成立．‎ ‎92.【2014·全国大纲卷（文21）】函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).‎ ‎（1）讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.‎ ‎【解析】（1），的判别式△=36（1-a）.‎ ‎（i）若a≥1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.‎ ‎（ii）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：，‎ 若00，x>0时,，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.‎ 若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.‎ 综上，a的取值范围是.‎ ‎93.【2014·山东卷（理20）】设函数（为常数，是自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1），‎ 当时，，‎ 令，得，函数在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎（2）令，则，‎ 令，得。‎ 由于，，‎ 综上知的取值范围是。‎ ‎94.【2014·山东卷（文20）】（本小题满分13分）设函数，其中为常数.‎ ‎（Ｉ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）讨论函数的单调性.‎ ‎【解析】⑴由题意知时，.‎ ‎ 此时，可得。‎ ‎ 所以在 处的切线方程为 ‎⑵函数的定义域为.‎ 。‎ ‎ 当，，函数在上单调递增；‎ 当时，令。‎ 由于，‎ ‎①当时，，，函数在上单调递减；‎ ‎②当时，，，则，函数在上单调递减；‎ ‎③当时，，设是函数的两个零点，‎ 则，，‎ 由。‎ 所以 时，，，函数单调递减；‎ 时， ，函数单调递增；‎ 时，，函数单调递减。‎ 综上所述：‎ 当时，函数在（0，+）上单调递增加；‎ 当时，函数在（0，+）上单调递减；‎ 当时，在,上单调递减，‎ 在上单调递增。‎ ‎95.【2014·江苏卷（19）】(本小题满分16分)已知函数,其中e是自然对数的底数.‎ ‎ (1)证明:是R上的偶函数；‎ ‎(2)若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(3)已知正数满足：存在，使得成立.试比较与的大小，并证明你的结论.‎ ‎【解析】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 ‎ 方法分析与解决问题的能力.满分16分.‎ ‎（1），，∴是上的偶函数 ‎（2）由题意，，即 ‎∵，∴，即对恒成立 令，则对任意恒成立 ‎∵，当且仅当时等号成立 ‎∴ ‎（3），当时，∴在上单调增 令， ‎∵，∴，即在上单调减 ‎∵存在，使得，∴，即 ‎∵ 设，则 当时，，单调增；‎ 当时，，单调减 因此至多有两个零点，而 ‎∴当时，，；‎ 当时，，；‎ 当时，，．‎ ‎96.【2014·安徽卷（理19，文20）】（本小题满分13分）设函数，其中.‎ ‎(Ⅰ)讨论在其定义域上的单调性；‎ ‎(Ⅱ)当时，求取得最大值和最小值时的的值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）的定义域为， ‎ 令得 所以 当或时；当时 故在和内单调递减，在内单调递增。‎ ‎（Ⅱ）∵，∴ ‎（1）当时，由（Ⅰ）知在上单调递增 ‎∴在和处分别取得最小值和最大值。‎ ‎（2）当时，，‎ 由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递减 ‎∴在处取得最大值 又 ‎∴当时在处取得最小值 ‎ 当时在和处同时取得最小值 当时，在取得最小值。‎ ‎97.【2014·浙江卷（理20）】已知函数 ‎ (Ⅰ)若在上的最大值和最小值分别记为，求 ‎ (Ⅱ)设，若对恒成立，求得取值范围.‎ ‎ (2) ‎98.【2014·浙江卷（文21）】已知函数，若在上的最小值记为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：当时，恒有.‎ ‎【解析】本题主要考查函数最大（最小）值的概念 、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证、分类讨论、分析问题和解决问题等综合解题能力。满分15分。‎ ‎（1）因为，‎ ①当时，‎ 若，则，，故在上是减函数；‎ 若，则，，故在上是增函数；‎ 所以，.‎ ②当，则，，，故在上是减函数，‎ 所以，‎ 综上所述，.‎ ‎（2）令，‎ ①当时，，‎ 若，得，所以在上是增函数，所以在上的最大值是，且，所以，‎ 故.‎ 若，，则，所以在上是减函数，‎ 所以在上的最大值是，‎ 令，则，‎ 所以在上是增函数，所以即，‎ 故，‎ ②当时，，所以，得，‎ 此时在上是减函数，因此在上的最大值是，‎ 故，综上所述，当时恒有.‎ ‎99.【2014·北京卷（理18，文8）】已知函数，‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的最大值与的最小值.‎ ‎【解析】（I）由得 。‎ ‎ 因为在区间上，所以在区间上单调递减。‎ 从而。‎ ‎（Ⅱ）当时，“”等价于“”“”等价于“”。‎ ‎ 令，则，‎ ‎ 当时，对任意恒成立。‎ ‎ 当时，因为对任意，，所以在区间上单调递减。从而对任意恒成立。‎ ‎ 当时，存在唯一的使得。‎ 与在区间上的情况如下：‎ ‎→‎ ‎0‎ ‎→‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 因为在区间上是增函数，所以。进一步，“对 任意恒成立”当且仅当，即，‎ ‎ 综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，‎ 对任意恒成立。‎ ‎ 所以，若对任意恒成立，则a最大值为，b的最小值为1.‎ ‎100.【2014·北京卷（文20）】已知函数.‎ ‎（1）求在区间上的最大值；‎ ‎（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；‎ ‎（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）‎ ‎（I）由得，令，得或，‎ 因为，，，，‎ 所以在区间上的最大值为.‎ ‎（II）设过点P（1，t）的直线与曲线相切于点，则 ，且切线斜率为，所以切线方程为，‎ 因此，整理得：，‎ 设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”，=，‎ 与的情况如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ t+3‎ 所以，是的极大值，是的极小值，‎ 当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点，‎ 当，时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点.‎ 当且，即时，因为，，‎ 所以分别为区间和上恰有1个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.‎ 综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是.‎ ‎（III）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线相切；‎ 过点B（2，10）存在2条直线与曲线相切；‎ 过点C（0，2）存在1条直线与曲线相切.‎ ‎101.【2014·天津卷（理20）】已知函数，.已知函数有两个零点，且.‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）证明随着的减小而增大；‎ ‎（Ⅲ）证明 随着的减小而增大.‎ ‎【解析】本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法 ‎. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分.‎ ‎（Ⅰ）解：由，可得.‎ 下面分两种情况讨论：‎ ‎（1）时 在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意.‎ ‎（2）时，‎ ‎ 由，得.‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 这时，的单调递增区间是；单调递减区间是.‎ 于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：‎ ‎1°；2°存在，满足；‎ ‎3°存在，满足.‎ 由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且.‎ 所以，的取值范围是.‎ ‎（Ⅱ）证明：由，有.‎ 设，由，知在上单调递增，在上单调递减. 并且，当时，；当时，.‎ 由已知，满足，. 由，及的单调性，可得，.‎ ‎ 对于任意的，设，，其中；，其中.‎ 因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得.‎ 又由，得.‎ 所以，随着的减小而增大.‎ ‎（Ⅲ）证明：由，，可得，.‎ 故.‎ 设，则，且解得，.所以，‎ . ①‎ 令，，则.‎ 令，得.‎ 当时，.因此，在上单调递增，故对于任意的，，由此可得，故在上单调递增.‎ 因此，由①可得随着的增大而增大.‎ 而由（Ⅱ），随着的减小而增大，所以随着的减小而增大.‎ ‎102.【2014·天津卷（文19）】已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的，都存在，使得.求的取值范围.‎ ‎（Ⅰ）解：因为，所以.‎ 令得或.‎ 因为当或时，单调递减，当时，单调递增，‎ 所以，.‎ ‎（Ⅱ）解：因为，所以.‎ ‎103.【2014·福建卷（理20）】已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处 的切线斜率为-1.‎ ‎（I）求的值及函数的极值；‎ ‎（II）证明：当时，；‎ ‎（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.‎ ‎【解析】本小题主要考查导数的运算及导数的应用、全称量词等基础知识的考查运用，考查抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等。 满分14分。‎ 解法一：（I）由，得.又,得.所以.令,得.当时,单调递减;当时,单调递增.所以当时,取得极小值,且极小值为无极大值.‎ ‎（II）令,则.由（I）得,故在R上单调递增,又,因此,当时,,即.‎ ‎（III）①若,则.又由（II）知，当时,.所以当时,.取 ,当时，恒有.‎ ‎②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时,在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.‎ 综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.‎ 解法二：（I）同解法一；‎ ‎（II）同解法一 ‎（III）对任意给定的正数c，取 由（II）知，当x>0时，，所以 当时， 因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.‎ ‎104.【2014·福建卷（文20）】已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.‎ ‎（Ⅰ）求的值及函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时， ‎（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在，使得当时，恒有 ‎【解析】解法一：‎ ‎（1）由，得.‎ 又，得.‎ 所以，.‎ 令，得.‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ 所以当时，有极小值，‎ 且极小值为，‎ 无极大值.‎ ‎（2）令，则.‎ 由（1）得，，即.‎ 所以在R上单调递增，又，‎ 所以当时，，即.‎ ‎（3）对任意给定的正数c，取，‎ 由（2）知，当时，.‎ 所以当时，，即.‎ 因此，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.‎ 解法二：（1）同解法一.‎ ‎（2）同解法一.‎ ‎（3）令，要使不等式成立，只要成立.‎ 而要使成立，则只需，即成立.‎ ‎①若，则，易知当时，成立.‎ 即对任意，取，当时，恒有.‎ ‎②若，令，则，‎ 所以当时，，在内单调递增.‎ 取，‎ ，‎ 易知，，所以.‎ 因此对任意，取，当时，恒有.‎ 综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.‎ 解法三：（1）同解法一.‎ ‎（2）同解法一.‎ ‎（3）①若，取，‎ 由（2）的证明过程知，，‎ 所以当时，有，即.‎ ‎②若，‎ 令，则，‎ 令得.‎ 当时，，单调递增.‎ 取，‎ ，‎ 易知，又在内单调递增，‎ 所以当时，恒有，即.‎ 综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.‎ 注：对c的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分。‎ ‎105.【2014·辽宁卷（理21）】已知函数，.‎ 证明：（1）存在唯一，使；‎ ‎（2）存在唯一，使，且对（1）中的.‎ ‎（Ⅰ）当时，，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使.‎ ‎（Ⅱ）考虑函数，‎ 令，则时，，‎ 记，则，‎ 由（Ⅰ）得，当时，，当时，.‎ 在上是增函数，又，从而当时，，所以在上无零点.‎ 在上是减函数，由，存在唯一的，使.‎ 所以存在唯一的使.‎ 因此存在唯一的，使.‎ 因为当时，，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使.‎ 因，所以 ‎106.【2014·辽宁卷（文8）】已知函数，.‎ 证明：（Ⅰ）存在唯一，使；‎ ‎（Ⅱ）存在唯一，使，且对（1）中的x0，有.‎ ‎（Ⅰ）当时，，所以在上为增函数．又．．所以存在唯一，使．‎ ‎（Ⅱ）当时，化简得．令．记 ．．则．由（Ⅰ）得，当时，；当时，．从而在上为增函数，由知，当时，，所以在上无零点．在上为减函数，由及知存在唯一，使得．于是存在唯一，使得．设． ‎．因此存在唯一的，使得．由于，，所以．‎ ‎107【2014·陕西卷（理21）】设函数，其中是的导函数.‎ （1） ，求的表达式；‎ （2） 若恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设，比较与的大小，并加以证明.‎ ‎【解析】，， ‎（1） ，，，，即，当且仅当时取等号 当时， 当时， ，，即 数列是以为首项，以1为公差的等差数列 ， 当时，， ‎（2）在范围内恒成立，等价于成立 令，即恒成立，‎ 令，即，得 当即时，在上单调递增， 所以当时，在上恒成立；‎ 当即时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以 设， 因为，所以，即，所以函数在上单调递减 所以，即，所以不恒成立 综上所述，实数的取值范围为；‎ ‎（3）由题设知：， 比较结果为： 证明如下：上述不等式等价于 在（2）中取，可得 令，则，即 故有 上述各式相加可得： 结论得证.‎ ‎108.【2014·陕西（文21）】设函数.‎ ‎（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；‎ ‎（2）讨论函数零点的个数；‎ ‎（3）若对任意恒成立，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）由题设，当时， 易得函数的定义域为 当时，，此时在上单调递减；‎ 当时，，此时在上单调递增；‎ 当时，取得极小值 的极小值为2‎ ‎(2)函数 令，得 设 当时，，此时在上单调递增；‎ 当时，，此时在上单调递减；‎ 所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，‎ 的最大值为 又，结合y=的图像（如图），可知 ① 当时，函数无零点；‎ ‎②当时，函数有且仅有一个零点；‎ ‎③当时，函数有两个零点；‎ ‎④时，函数有且只有一个零点；‎ 综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.‎ （2） 对任意恒成立，等价于恒成立 设，在上单调递减 在恒成立 恒成立 （对，仅在时成立），的取值范围是 ‎109.【2014·湖南卷（理22）】已知常数 ‎（1）讨论在区间上的单调性；‎ ‎（2）若存在两个极值点且求的取值范围．‎ ‎【解析】（I）= 当1时，，此时在区间上单调递增。‎ 当0＜a＜1时，由得（舍去）‎ 当时，；当时， 故在区间上单调递增，在区间上单调递增。‎ 综上所述 当时，在区间（0，）上单调递增；‎ 当0＜＜1时，在区间（0，）上单调递减，在区间（，）上单调递增 ‎（II）由（）式知。当，，此时不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有0＜＜1。又的极值点只可能是和，且由的定义可知，＞且—2，所以＞。‎ —2，解得。此时，由（）式易知，，分别是的极小值点和极大值点，而=（）-+（1+）- ‎ =- ‎ =—=+ 令2-1=x,由0＜＜1且知 当0＜＜时,-1＜x＜0; 当＜＜1时。0＜x＜1‎ 记（x）=ln+-2‎ (i) 当-1＜x＜0时，（x）=2ln(-x)+-2，所以 （x）=-=＜0‎ 因此，（x）在区间（-1,0）上单调递减，从而（x）＜（-1）=-4＜0，故当0＜＜时，；‎ ‎（ii）当0＜x＜1时，（x）=2lnx+-2,所以，‎ 因此（x）在区间（0,1）上单调递减，从而（x）＞（1）=0.故当＜＜1时， 综上所述。满足条件的a的取值范围为（，1）‎ ‎110【2014·湖南卷（文21）】已知函数.‎ （1） 求的单调区间；‎ ‎（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有 ‎（I）数求导可得,令可得 ,当时,.此时;‎ 当时,,此时,‎ 故函数的单调递减区间为,‎ 单调递增区间为.‎ ‎(II)由(1)可知函数在区间上单调递减,又,所以,‎ 当时,因为,且函数的图像是连续不断的,所以在区间内至少存在一个零点,又在区间上是单调的,故,因此,‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 当时, ,‎ 综上所述,对一切的,.‎ ‎111【2014·江西卷（理18）】已知函数.‎ ‎（1）当时，求的极值；‎ ‎(2)若在区间上单调递增，求b的取值范围.‎ ‎【解析】（1）当时，由得或 当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.‎ ‎（2）因为当时, 依题意当时，有，从而 所以b的取值范围为 ‎112.【2014·江西卷（文18）】已知函数，其中.‎ ‎ （1）当时，求的单调递增区间;‎ ‎ （2）若在区间上的最小值为8，求的值.‎ 当时，由，得或，由得或，‎ 故函数f（x）的单调递增区间为和 ‎（2）因为，a<0，由 得或，当时，单调递增，时，单调递减，当时，单调递增，易知=（2x+a）2，且 当时，即‎-2a<0时，在上的最小值为，由=4+‎4a+a2=8，得a=均不符合题意 当时，即，在上的最小值为不符合题意 当时，即，在上的最小值可能在x=1或x=4上取得，而由得或(舍去)，当时，在上单调递减，‎ 在上的最小值为符合题意。综上有，a=-10‎ ‎113.【2014·湖北卷（理22，文8（Ⅰ）、（Ⅱ））】为圆周率，为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数.‎ ‎ （Ⅲ）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论。‎ ‎（I）函数的定义域为，因为，所以，‎ 当，即时，函数单调递增；‎ 当，即时，函数单调递减；‎ 故函数的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎（II）因为，所以，，即，，‎ 于是根据函数、、在定义域上单调递增，‎ 所以，，‎ 故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中，‎ 由及（I）的结论得，即，‎ 由得，所以，‎ 由得，所以，‎ 综上，6个数中的最大数为，最小数为.‎ ‎（III）由（II）知，，，又由（II）知，，‎ 故只需比较与和与的大小，‎ 由（I）知，当时，，即，‎ 在上式中，令，又，则，即得①‎ 由①得，，‎ 即，亦即，所以，‎ 又由①得，，即，所以，‎ 综上所述，，即6个数从小到大的顺序为，，，，，.‎ ‎114.【2014·四川卷（理21）】已知函数，其中，为自然对数的底数。‎ ‎（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；‎ ‎（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围 解：（1）因为 所以 又 因为， 所以：‎ ‎①若，则，，‎ 所以函数在区间上单增， ‎②若，则，‎ 于是当时，当时，‎ 所以函数在区间上单减，在区间上单增，‎ ‎③若，则， 所以函数在区间上单减， 综上：在区间上的最小值为 ‎（2）由，又 若函数在区间内有零点，则函数在区间内至少有三个单调区间 由（1）知当或时，函数即在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求。‎ 若，则 令（）‎ 则。由 所以在区间上单增，在区间上单减 即恒成立 于是，函数在区间内至少有三个单调区间 又 所以 综上，的取值范围为 ‎115.【2014·四川卷（文21）】已知函数，其中，为自然对数的底数。‎ ‎（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，证明：。‎ ‎【解析】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想，并考查思维的严谨性.‎ ‎（Ⅰ） ‎①当时，，所以.‎ ‎②当时，由得.‎ 若，则；若，则.‎ 所以当时，在上单调递增，所以.‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.‎ 当时，在上单调递减，所以.‎ ‎（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，‎ 在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.‎ 则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.‎ 同理在区间内存在零点.‎ 所以在区间内至少有两个零点. ‎ 由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.‎ 当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.‎ 所以.‎ 此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，必有.‎ 由得：，有 .‎ 解得.‎ 所以，函数在区间内有零点时，.‎ ‎116.【2014·重庆卷（理20）】已知函数的导函数 为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.‎ ‎（1）确定的值；‎ ‎（2）若，判断的单调性；‎ ‎（3）若有极值，求的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）对求导得，由为偶函数，知，‎ 即，因，所以 又，故.‎ ‎（Ⅱ）当时，，那么 故在上为增函数.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，而，当时等号成立.‎ 下面分三种情况进行讨论.‎ 当时，对任意，此时无极值；‎ 当时，对任意，此时无极值；‎ 当时，令，注意到方程有两根， 即有两个根或.‎ 当时，；又当时，从而在处取得极小值.‎ 综上，若有极值，则的取值范围为.‎ ‎117.【2014·重庆卷（文19）】已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间和极值。‎ ‎【解析】（Ⅰ）对求导得，由在点处切线垂直于直线知解得；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则 令，解得或.因不在的定义域内，故舍去.‎ 当时，故在内为减函数；‎ 当时，故在内为增函数；‎ 由此知函数在时取得极小值.‎ ‎118.【2014·广东卷（理21）】设函数，其中。‎ ‎（1）求函数的定义域D（用区间表示）；‎ ‎（2）讨论函数在D上的单调性；‎ ‎（3）若，求D上满足条件的的集合（用区间表示）。‎ ‎【解析】解：（１）可知，‎ ‎，‎ 或，‎ 或，‎ 或，‎ 或或，‎ 所以函数的定义域D为 ‎；‎ ‎（２），‎ 由得，即，‎ 或，结合定义域知或，‎ 所以函数的单调递增区间为，，‎ 同理递减区间为，；‎ ‎（３）由得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 或或或，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ 结合函数的单调性知的解集为．‎ ‎119．【2014·广东卷（文21）】已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间;‎ ‎（2）当时,试讨论是否存在,使得.‎