高考数学分类汇编：点直线平面之间的位置关系 13页

‎2012年高考数学分类汇编 点直线平面之间的位置关系 一、选择题 ．（2012年高考（浙江文））设是直线,a,β是两个不同的平面 （　　）‎ A．若∥a,∥β,则a∥β B．若∥a,⊥β,则a⊥β C．若a⊥β,⊥a,则⊥β D．若a⊥β, ∥a,则⊥β ．（2012年高考（四川文））下列命题正确的是 （　　）‎ A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 ．（2012年高考（浙江理））已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着,在翻着过程中, （　　）‎ A．存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置,三直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直 ．（2012年高考（四川理））下列命题正确的是 （　　）‎ A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 ．（2012年高考（上海春））已知空间三条直线若与异面,且与异面,则 [答] （　　）‎ A．与异面. B．与相交.‎ C．与平行. D．与异面、相交、平行均有可能.‎ 二、填空题 ．（2012年高考（四川文））如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成的角的大小是____________.‎ ．（2012年高考（大纲文））已知正方形中,分别为,的中点,那么异面直线与所成角的余弦值为____.‎ ．（ 2012年高考（四川理））如图,在正方体中,、分别是、‎ 的中点,则异面直线与所成角的大小是____________.‎ ．（2012年高考（大纲理））三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为_____________.‎ 三、解答题 ．（2012年高考（重庆文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)已知直三棱柱中,,,为的中点.(Ⅰ)求异面直线和的距离;(Ⅱ)若,求二面角的平面角的余弦值.‎ ．（2012年高考（浙江文））如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B‎1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=.AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B‎1C1E与直线AA1的交点.‎ (1)证明:(i)EF∥A1D1;‎ ‎(ii)BA1⊥平面B‎1C1EF;‎ ‎(2)求BC1与平面B‎1C1EF所成的角的正弦值.‎ ．（2012年高考（天津文））如图,在四棱锥中,底面是矩形,,.‎ ‎(I)求异面直线与所成角的正切值;‎ ‎(II)证明平面平面;‎ ‎(III)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ．（2012年高考（四川文））如图,在三棱锥中,,,,点在平面内的射影在上.‎ ‎(Ⅰ)求直线与平面所成的角的大小;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小.‎ ．（2012年高考（上海文））P A B C D 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是 PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,‎ PA=2.求:‎ ‎(1)三棱锥P-ABC的体积;‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三 角函数值表示).‎ ．（2012年高考（陕西文））直三棱柱ABC- A1B‎1C1中,AB=A A1 ,=‎ ‎(Ⅰ)证明;‎ ‎(Ⅱ)已知AB=2,BC=,求三棱锥 的体积.‎ ．（2012年高考（山东文））如图,几何体是四棱锥,△为正三角形,.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若∠,M为线段AE的中点,‎ 求证:∥平面.‎ ．（2012年高考（辽宁文））如图,直三棱柱,,‎ AA′=1,点M,N分别为和的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥的体积.‎ ‎(椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积,h为高)‎ ．（2012年高考（课标文））如图,三棱柱中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.‎ ‎(I) 证明:平面⊥平面 ‎(Ⅱ)平面分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.‎ ．（2012年高考（江西文））如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F是线段AB上的两点,且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4.现将△ADE,△CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合与点G,得到多面体CDEFG.‎ ‎(1) 求证:平面DEG⊥平面CFG;‎ ‎(2) 求多面体CDEFG的体积.‎ ．（2012年高考（湖南文））如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.‎ ‎(Ⅰ)证明:BD⊥PC;‎ ‎(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ．（2012年高考（湖北文））某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台,上不是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱.‎ ‎(1) 证明:直线平面;‎ ‎(2) 现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为元,需加工处理费多少元?‎ ．（2012年高考（广东文））(立体几何)如图5所示,在四棱锥中,平面,∥,,是的中点,是上的点且,为中边上的高.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)若,,,求三棱锥的体积;‎ ‎(Ⅲ)证明:平面.‎ ．（2012年高考（福建文））如图,在长方体中,为棱上的一点.‎ ‎(1)求三棱锥的体积;‎ ‎(2)当取得最小值时,求证:平面.‎ ．（2012年高考（大纲文））如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,,,是上的一点,.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ D A B P C E ‎(Ⅱ)设二面角为90°,求与平面所成角的大小.‎ ．（2012年高考（北京文））如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别是AC,AB上的中点,‎ 点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A‎1F⊥CD,如图2. ‎ ‎(1)求证:DE∥平面A1CB;‎ ‎(2)求证:A‎1F⊥BE;‎ ‎(3)线段A1B上是否存在点Q,使A‎1C⊥平面DEQ?说明理由. ‎ ．（2012年高考（安徽文））如图,长方体中,底面是正方形,‎ 是的中点,是棱上任意一点.‎ ‎(Ⅰ)证明: ;‎ ‎(Ⅱ)如果=2,=, , 求 的长.‎ ．（2012年高考（天津理））如图,在四棱锥中,丄平面,丄,丄,,,.‎ ‎(Ⅰ)证明丄;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)设E为棱上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为,求AE的长.‎ ．（2012年高考（新课标理））如图,直三棱柱中,,是棱的中点,‎ ‎(1)证明:‎ ‎(2)求二面角的大小.‎ ．（2012年高考（浙江理））如图,在四棱锥P—ABCD中,底面是边长为的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分别为PB,PD的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:MN∥平面ABCD;‎ ‎(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值.‎ ．（2012年高考（重庆理））(本小题满分12分(Ⅰ)小问4分(Ⅱ)小问8分)‎ 如图,在直三棱柱 中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点 ‎(Ⅰ)求点C到平面 的距离;‎ ‎(Ⅱ)若,求二面角 的平面角的余弦值.‎ ．（2012年高考（四川理））如图,在三棱锥中,,,,平面平面.‎ ‎(Ⅰ)求直线与平面所成角的大小;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小.‎ ．（2012年高考（上海理））如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,‎ A B C D P E AD=2,PA=2.求:‎ ‎(1)三角形PCD的面积;‎ ‎(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.‎ ．（2012年高考（上海春））如图,正四棱柱的底面边长为,高为,为线段的中点.求:‎ ‎(1)三棱锥的体积;‎ ‎(2)异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值 表示)‎ ．（2012年高考（陕西理））(1)如图,证明命题“是平面内的一条直线,是外的一条直线(不垂直于),是直线在上的投影,若,则”为真.‎ ‎(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假 (不需要证明)‎ ．（2012年高考（山东理））在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,∥,‎ 平面.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值.‎ ．（2012年高考（辽宁理）） 如图,直三棱柱,,‎ 点M,N分别为和的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)若二面角为直二面角,求的值.‎ ．（2012年高考（江西理））在三棱柱中,已知,在在底面的投影是线段的中点。‎ ‎(1)证明在侧棱上存在一点,使得平面,并求出的长;‎ ‎(2)求平面与平面夹角的余弦值。‎ ．（2012年高考（江苏））如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点不同于点),且为的中点.‎ 求证:(1)平面平面;‎ ‎(2)直线平面.‎ ．（2012年高考（湖南理）） 如图5,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAE;‎ ‎(Ⅱ)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.‎ A B C D P E 图5‎ ．（2012年高考（湖北理））如图1,,,过动点A作,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿将△折起,使(如图2所示). ‎ ‎(Ⅰ)当的长为多少时,三棱锥的体积最大;‎ ‎(Ⅱ)当三棱锥的体积最大时,设点,分别为棱,的中点,试在 棱上确定一点,使得,并求与平面所成角的大小.‎ D A B C A C D B 图2‎ 图1‎ M E ‎.‎ ‎·‎ ．（2012年高考（广东理））如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.‎ ．（2012年高考（福建理））如图,在长方体中为中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:‎ ‎(Ⅱ)在棱上是否存在一点,使得平面?若存在,求的长;若不存在,说明理由.[ ‎ ‎(Ⅲ)若二面角的大小为,求的长.‎ ．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,,是上的一点,.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)设二面角为,求与平面所成角的大小.‎ ．（2012年高考（北京理））如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,‎ 且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A‎1C⊥CD,如图2. ‎ ‎(1)求证:A‎1C⊥平面BCDE;‎ ‎(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;‎ ‎(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由. ‎ ．（2012年高考（安徽理））平面图形如图4所示,其中是矩形,,,‎ ‎.现将该平面图形分别沿和折叠,使与所在平面都 与平面垂直,再分别连接,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答 下列问题..‎ ‎(Ⅰ)证明:; (Ⅱ)求的长;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的余弦值.‎