（浙江专版）2020年高考数学一轮复习 简单的三角恒等变换 17页

1 第 03 节 简单的三角恒等变换 【考纲解读】 考 点 考纲内容 5 年统计 分析预测 简单的三角 恒等变换 ①掌握两角和与两角差 的正弦、余弦、正切公 式，掌握正弦、余弦、 正切二倍角的公 式. ②掌握简单的三角函数 式的化简、求值及恒等 式证明. 2014 浙江文 4,18；理 4， 18； 2015 浙江文 11,16；理 11； 2016 浙江文 11；理 10， 16； 2017 浙江 14，18； 2018 浙江 18. 1.和（差）角公式； 2.二倍角公式； 3.和差倍半的三角函数公式的综合 应用. 4.对于三角恒等变换，高考命题主 要以公式的基本运用、计算为主， 其中多以与角的范围、三角函数的 性质、三角形等知识结合考查. 5.备考重点： (1) 掌握和差倍半的三角函数公 式； (2) 掌握三角函数恒等变换的常 用技巧. 【知识清单】 1. 两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ tan α＋tan β1－tan αtan β； T(α－β)：tan(α－β)＝ tan α－tan β1＋tan αtan β. 变形公式： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓ tanαtanβ)； . 函数 f(α)＝acos α＋bsin α(a，b 为常数)，可以化为 f(α)＝sin(α＋φ)或 f(α)＝ cos(α－φ)，其中φ可由 a，b 的值唯一确定． 2 2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； T2α：tan 2α＝ 2tan α1－tan2α. 变形公式： cos2α＝1＋cos 2α2 ，sin2α＝1－cos 2α2 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 【重点难点突破】 考点 1 两角和与差的三角函数公式的应用 【1-1】【2018 河南省名校联盟第一次段考】已知圆 ： ，点 ， ， 记射线 与 轴正半轴所夹的锐角为 ，将点 绕圆心 逆时针旋转 角度得到点 ，则点 的 坐标为__________． 【答案】 【解析】设射线 OB 与 轴正半轴的夹角为 ，有已知有 ， 所以 ，且 ，C 点坐标为 . 【1-2】已知： ， ，且 ， 则 =_______. 【答案】 3 【1-3】【2018 年浙江卷】已知角α的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它 的终边过点 P（ ）． （Ⅰ）求 sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足 sin（α+β）= ，求 cosβ的值． 【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ） 或 【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得 ，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三 角函数定义得 ，再根据同角三角函数关系得 ，最后根据 ，利用 两角差的余弦公式求结果. 详解：（Ⅰ）由角 的终边过点 得 ， 所以 . 点睛：三角函数求值的两种类型： (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 【领悟技法】 1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形， 如 tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等． 2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被 忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有 4 熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用． 提醒：在 T(α＋β)与 T(α－β)中，α，β，α±β都不等于 kπ＋π2(k∈Z)，即保证 tan α， tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是 kπ＋π2(k∈Z)，可利用诱导公式化简． 【触类旁通】 【变式一】【2018 江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】 的值是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 故选 D. 【变式二】已知 均为锐角，且 ， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值． 【答案】（Ⅰ） ．（Ⅱ） ． ∴ ． 5 【变式三】已知函数 的部分图像如图所示. （Ⅰ）求函数 )的解析式，并写出 的单调减区间； （Ⅱ） 的内角分别是 A,B,C.若 , ,求 的值. 【答案】（Ⅰ） 的单调减区间为 . （Ⅱ） . 【解析】（Ⅰ）由图象最高点得 A=1， 由周期 . 当 时， ，可得 ， 因为 ，所以 ． . 由图象可得 的单调减区间为 . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， , ， ， . . 6 . . 考点 2 二倍角公式的运用公式的应用 【2-1】【2018 年新课标 I 卷文】已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合， 终边上有两点 ， ，且 ，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到 ，利用 ，利用倍角公式 以及余弦函数的定义式，求得 ，从而得到 ，再结合 ，从而得到 ，从而确定选项. 详解：根据题的条件，可知 三点共线，从而得到 ， 因为 ， 解得 ，即 ，所以 ，故选 B. 【2-2】【2017 浙江 ZDB 联盟一模】已知 ， ，则 __________， __________． 【答案】 【解析】因为 ， ，所以 因为 ，所以 ，因此 . 7 【2-3】【江苏省淮安市五模】已知 ，且 ，则 的值 为 ． 【答案】 【解析】由 得 ，而 ，则 ， 所以 ，又 ，则 ，所以 ； 【领悟技法】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则： （1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； （2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【触类旁通】 【变式一】已知 ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 8 【变式二】已知 ，且 ，则 的值为__________. 【答案】 【解析】因为，所以 ， ， ， 又因为 ，所以 . 【变式三】已知 ， （1）求 的值； （2）求 的值． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由 得 （2）原式 考点 3 三角恒等式的证明 【3-1】求证：α2＝14sin 2α. 【解析】∵左边＝α2＝α2＝α2＝2 9 ＝cos αsinα2cosα2＝12sin αcos α ＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立． 【3-2】求证： sin βsin α＝ 2α＋βsin α－2cos(α＋β). 【解析】证法一： 右边＝α＋βsin αsin α ＝α＋βsin αsin α ＝α＋β－α]sin α ＝ sin βsin α＝左边. 证法二： 2α＋βsin α－ sin βsin α＝2α＋β－sin βsin α ＝α＋βsin αsin α ＝2cos(α＋β)， 所以 2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝ sin βsin α. 【3-3】已知 ， ，且 ， . 证明： . 【解析】 ，即 ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， . 【领悟技法】 1.三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式． (1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒 10 等式变换，使等式的两边化异为同． (2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途 径．常用代入法、消元法、两头凑等方法． （3）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．变名：通过 变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． 2.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝α＋β2 －α－β2 ；α－β2 ＝ . （3）化简技巧：切化弦、“1”的代换等 【触类旁通】 【变式一】求证： . 【解析】左边＝ sin αcos α＋ ＝右边． 故原式得证． 【变式二】已知 ，证明： 11 . 考点 4 三角函数公式的综合应用 【4-1】【2018 湖北省部分重点中学起点】设函数 ，其中θ ∈ ，则导数 f ′(1)的取值范围是________． 【答案】[ ，2] 【解析】由题 【4-2】【2018 届浙江省杭州市第二中学 6 月热身】已知 ，则 __________； __________． 【答案】 或 . . 【解析】分析：先把 两边平方得到 ，利用 弦切互化所得方程可以化成关于 的方程，解出 后可求 ． 详解：由 可以得到 ， 故 ， 也就是 ， 12 整理得到 ，故 或 ． 当 时， ； 当 时， ． 故填 或 ， ． 【4-3】【2018 届江苏省南京市三模】在平面直角坐标系 中，锐角 的顶点为坐标原点 , 始边为 轴的正半轴，终边与单位圆 的交点分别为 ．已知点 的横坐标为 ，点 的纵 坐标为 ． （1）求 的值； （2）求 的值. 【答案】（1） ；（2） . （2）因为点 Q 的纵坐标为 ，所以 sinβ＝ ． 又因为β为锐角，所以 cosβ＝ ． 因为 cosα＝ ，且α为锐角，所以 sinα＝ ， 13 因此 sin2α＝2sinαcosα＝ ， 所以 sin(2α－β) ＝ ． 因为α为锐角，所以 0＜2α＜π． 又 cos2α＞0，所以 0＜2α＜ ， 又β为锐角，所以－ ＜2α－β＜ ，所以 2α－β＝ ． 点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换, 意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第 2 问易错，再求得 sin(2α－β) 后，容易错误地得到 2α－β＝ 或 研究三角问题，一定要注意角的 问题，所以先要求出－ ＜2α－β＜ ，再得出 2α－β＝ ． 【领悟技法】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在 研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为 的形式， 再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质． 【触类旁通】 【变式一】【2018 届山东省桓台第二中学 4 月月考】已知函数 为奇函数，且 ，其中 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 ， ，求 的值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】试题分析：（1）由 为奇函数得 ，解得 的值；再根据 ，得 （2）根据 解析式化简得 ， 再根据两角和正弦余弦公式以及二倍角公式化简得 的值． 14 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 因为 所以 又 ，所以 或 ①由 所以 ②由 ， 得 所以 15 综上， 或 【变式二】【2017 浙江温州二模】已知函数 ． （1）求函数 的最小正周期； （2）若 ， ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】试题解析： （1） ∴函数 的最小正周期是 （2） ∴ ， ，∴ ，又 . ∴ ∴ ， ∴ . 【易错试题常警惕】 易错典例：若 sin θ，cos θ是关于 x 的方程 5x2－x＋a＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0， π)，求 cos 2θ的值． 易错分析：不注意挖隐含条件，角 的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与 漏解的错误． 正确解析：由题意知：sin θ＋cos θ＝15， ∴(sin θ＋cos θ)2＝ 125. ∴sin 2θ＝－2425，即 2sin θcos θ＝－2425＜0. 则 sin θ与 cos θ异号． 又 sin θ＋cos θ＝15＞0， ∴π2＜θ＜3π4 .∴π＜2θ＜3π2 . 故 cos 2θ＝－＝－ 725. 16 温馨提醒：求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及 开方求值问题，注意正负号的选取. 【学科素养提升之思想方法篇】 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事 物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结 合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助 数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具 体化，从而起到优化解题途径的目的. 向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐 标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重 身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想， 将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果. 【典例】在平面坐标系 中，直线 与圆 相交于 , （ 在第一象限）两个不同的点，且 则 的值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，则 ，∴ ,即 , ∴ ，由题意得， , 又∵ ，∴ , ∴ ． 17