人民教育出版版高考数学选修4113相似三角形的判定及性质基础训练 5页

‎2013-2014学年高中数学人教A版选修4-1知能达标演练：1-3相似三角形的判定及性质 一、选择题 ‎1．如图所示，给出下列条件：　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎①∠B＝∠ACD；‎ ‎②∠ADC＝∠ACB；‎ ‎③＝；‎ ‎④AC2＝AD·AB.‎ 其中能够单独判定△ABC∽△ACD的个数为 ‎(　　)．‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 解析　‎ 题号 判断 原因分析 ‎①‎ ‎√‎ ‎∵∠B＝∠ACD，又∠A＝∠A，∴由判定定理1，知△ABC∽△ACD ‎②‎ ‎√‎ ‎∵∠ADC＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴由判定定理1，知△ABC∽△ACD ‎③‎ ‎×‎ ‎∵＝，∴＝，由判定定理2知，不能单独判断△ABC∽△ACD ‎④‎ ‎√‎ ‎∵AC2＝AD·AB，∴＝，又∠A＝∠A，由判定定理2，知△ABC∽△ACD 答案　C ‎2．如图所示，梯形ABCD的对角线交于点O，则下列四个结论：‎ ‎①△AOB∽△COD；‎ ‎②△AOD∽△ACB；‎ ‎③S△DOC∶S△AOD＝CD∶AB；‎ ‎④S△AOD＝S△BOC.‎ 其中正确的个数为(　　)．‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 解析　∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正确．由①知，＝.利用三角形的面积公式可知S△DOC∶S△AOD＝OC∶OA＝CD∶AB，③正确．∵S△ADC＝S△BCD，∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD，∴S△AOD＝S△BOC，④正确．故①③④都正确．‎ 答案　C ‎3．如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，CD＝2，则AC∶BC的值是 ‎(　　)．‎ A．3∶2 B．9∶4‎ C.∶ D.∶ 解析　∵∠B为公共角，∴Rt△BCD∽Rt△BAC，‎ 同理Rt△ACD∽Rt△ABC，‎ ‎∴Rt△ACD∽Rt△CBD.‎ ‎∴＝，又∵AD＝3，CD＝2，‎ ‎∴＝，即AC∶BC＝3∶2.‎ 答案　A ‎4．如图所示，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且＝，下列结论中正确的是 (　　)．‎ A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA 解析　由CM＝CN知∠CMN＝∠CNM，‎ ‎∴∠AMB＝∠ANC，‎ 又＝，∴＝，‎ 故△ABM∽△ACN.‎ 答案　B 二、填空题 ‎5．如图所示，已知∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．‎ 解析　∵E为AB中点，∴＝，即AE＝AB，‎ 在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝AB，‎ 又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为＝.‎ 故△ADE与△ABC的相似比为.∶3‎ 答案　.∶3‎ ‎6．如图，设AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为__________．‎ 解析　∵AB∥A1B1且AB＝A1B1，‎ ‎∴△AOB∽△A1OB1，‎ ‎∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比．‎ ‎∴△A1OB1的外接圆直径为2.‎ 答案　2‎ ‎7．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于________．‎ 解析　在Rt△DAO及Rt△DEA中，∠ADO为公共角，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，∴＝，即＝.‎ ‎∵E为AB的中点，∴＝＝，‎ ‎∴＝.‎ 答案　 ‎8．如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG＝2，则CF的长为________．‎ 解析　∵E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，∴FE∥BC，由相似三角形的预备定理，得△FEG∽△CBG，∴＝＝，又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6.‎ 答案　6‎ 三、解答题 ‎9．如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD＝BC，取AB的中点F，连接FD交AC于点E.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若AB＝a，FB＝EC，求AC的长．‎ 解　(1)如图所示，过点F作FM∥AC，交BC于点M.‎ ‎∵F为AB的中点，∴M为BC的中点，‎ ‎∴FM＝AC，由FM∥AC，‎ 得∠CED＝∠MFD，∠ECD＝∠FMD.‎ ‎∴△FMD∽△ECD.‎ ‎∴＝＝.‎ ‎∴EC＝FM＝×AC＝AC，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎(2)∵AB＝a，∴FB＝AB＝a.‎ 又FB＝EC，∴EC＝a.‎ ‎∵EC＝AC，∴AC＝3EC＝a.‎ ‎10．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.‎ 求证：FD2＝FB·FC.‎ 证明　∵E是Rt△ACD斜边AC的中点，‎ ‎∴DE＝EA，∴∠A＝∠2.‎ 又∵∠1＝∠2，∠1＝∠A.‎ ‎∵∠FDC＝∠CDB＋∠1＝90°＋∠1，‎ ‎∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，‎ ‎∵∠FDC＝∠FBD.‎ 又∵∠F是公共角．‎ ‎∴△FBD∽△FDC，∴＝，‎ ‎∴FD2＝FB·FC.‎ ‎11．(拓展深化)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，‎ ‎(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；‎ ‎(2)连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．‎ 解　(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，‎ ‎△EMF∽EAM.‎ 以下证明：△AMF∽△BGM.‎ ‎∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E ‎＝∠BMG，∠A＝∠B，‎ ‎∴△AMF∽△BGM.‎ ‎(2)当α＝45°时，‎ 可得AC⊥BC且AC＝BC.‎ ‎∵M为AB的中点，‎ ‎∴AM＝BM＝2.‎ 又∵△AMF∽△BGM，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴BG＝＝＝.‎ 又AC＝BC＝4×sin 45°＝4，‎ ‎∴CG＝4－＝.‎ ‎∵CF＝4－3＝1，∴FG＝＝ ＝.‎