高考数学压轴题大全 22页

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  • 2021-05-14 发布

高考数学压轴题大全

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高考数学压轴题突破训练:函数 1. 甲乙两公司生产同一种新产品,经测算,对于函数 , ,及任意的 ,当甲公司投入万元作宣传时,乙公司投入的宣传费若小于 万元,则乙公司有失败的危险,否则无失败的危险;当乙公司投入万元作宣传时,甲公司投入的宣传费若小于 万元,则甲公司有失败的危险,否则无失败的危险.设甲公司投入宣传费x万元,乙公司投入宣传费y万元,建立如图 直角坐标系,试回答以下问题: (1)请解释 ; (2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问此时各应投入多少宣传费? (3)若甲、乙分别在上述策略下,为确保无失败的危险,根据对方所投入的宣传费,按最少投入费用原则,投入自己 的宣传费:若甲先投入 万元,乙在上述策略下,投入最少费用;而甲根据乙的情况,调整宣传费为;同样,乙再根据甲的情况,调整宣传 费为 如此得当甲调整宣传费为时,乙调整宣传费为;试问是否存在 , 的值,若存在写出此极限值(不必证明),若不存在,说明理由. 2. 已知三次函数 在y轴上的截距是2,且在 上单调递增,在(-1,2)上单调递减. (Ⅰ)求函数f (x)的解析式; (Ⅱ)若函数 ,求 的单调区间. 3. 已知函数 ,函数 的图象与 的图象关于点 中心对称。 (1)求函数 的解析式; (2)如果 , ,试求出使 成立的取值范围; (3)是否存在区间,使 对于区间内的任意实数,只要 ,且 时,都有 恒成立? 4.已知函数: (Ⅰ)证明:f(x)+2+f(2a-x)=0对定义域内的所有x都成立. ( ) 8+= xxf ( ) 12+= xxg 0≥x ( )xf ( )xg ( ) ( )0,0 gf 121 =a ,, lim nn a→∞ nn b∞→lim cbxaxxxf +++= 23)( ),2(),1,( +∞−−∞ )ln()1()2(3 )()( mxmx xfxh ++−− ′= )(xh 155)( 2 ++= xxxϕ )( Rx ∈ )(xfy = )(xϕ )2 1,0( )(xfy = )()(1 xfxg = )2,)](([)( 1 ≥∈= − nNnxgfxg nn 0)(2 —1; (Ⅱ)如果 ,且f(x)=x的两实根相差为2,求实数b 的取值范围. 9. 函数 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意 ,有 ; ②对任意、 ,有 ;③ 则 (1)求 的值; (4分) 2 1 ( )f x ]1,0[ )1,0(∈ ( )f x ],0[ *x ]1,[ *x ( )f x ]1,0[ ]1,0[ ( )f x 21, xx )1,0(∈ 21 xx < )()( 21 xfxf ≥ ),0( 2x )()( 21 xfxf ≤ )1,( 1x )5.00( << rr 21, xx )1,0(∈ rxx 212 ≥− r+5.0 022 2 =−− axx ( )βα < 1 4)( 2 + −= x axxf )(xf ( )βα , )(xf [ ]βα , 31( ) ( , )3f x x ax b a b R= + + ∈ 2x = 4 3 − ( )f x [ 4,3]x∈ − 2 10( ) 3f x m m≤ + + ),,0(1)( 2 Rbabxaxxf ∈>++= 42 21 <<< xx 20 1 << x )(xf Rx ∈ 0)( >xf Ry ∈ yxfxyf )]([)( = .1)3 1( >f )0(f (2)求证: 在R上是单调增函数; (5分) (3)若 ,求证: 10. 已知函数 在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减; (1)求a的值; (2)求证:x=1是该函数的一条对称轴; (3)是否存在实数b,使函数 的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点?若存在,求出b的值;若不存在,请说明理由. 11. 定义在区间(0,)上的函f(x)满足:(1)f(x)不恒为零;(2)对任何实数x、q,都有 . (1)求证:方程f(x)=0有且只有一个实根; (2)若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列,求证: ; (3)(本小题只理科做)若f(x) 单调递增,且m>n>0时,有 ,求证: 12. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R(x)=3700x + 45x2–10x3(单位:万元), 成本函数为C(x)= 460x+ 5000 (单位:万元). 又在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为: Mf(x)=f(x+1)– f(x). 求:(提示:利润 = 产值 – 成本) (1) 利润函数P(x)及边际利润函数MP(x); (2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大? (3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么? 13. 已知函数 ( 且 ). (1) 试就实数的不同取值,写出该函数的单调递增区间; (2) 已知当 时,函数在 上单调递减,在 上单调递增,求的值并写出函数的解析式; (3) (理)记(2)中的函数的图像为曲线,试问是否存在经过原点的直线,使得为曲线的对称轴?若存在,求出的方程; 若不存在,请说明理由. (文) 记(2)中的函数的图像为曲线,试问曲线是否为中心对称图形?若是,请求出对称中心的坐标并加以证明;若不是, 请说明理由. 14. 已知函数 和 的图象在 处的切线互相平行. )(xf acbcba =>>> 2,0 且 ).(2)()( bfcfaf >+ 14)( 234 −+−= axxxxf 1)( 2 −= bxxg )()( xqfxf q = )()()( 2 bfcfaf • )2(2)()( nmfnfmf +== 3 2 2m< < + 3 3( 1)( ) x af x a x −= + 0a ≠ 1a ≠ 0x > (0, 6) ( 6, )+∞ ( ) logaf x x= ( ) 2log (2 2),( 0, 1, )ag x x t a a t R= + − > ≠ ∈ 2x = (Ⅰ) 求的值; (Ⅱ)设 ,当 时, 恒成立,求的取值范围. 15. 设函数 定义在上,对任意的 ,恒有 ,且当 时, 。试解决以下问题: (1)求 的值,并判断 的单调性; (2)设集合 ,若 ,求实数的取值范围; (3)若 ,满足 ,求证: 16. (理科)二次函数f(x)= (I)若方程f(x)=0无实数根,求证:b>0; (II)若方程f(x)=0有两实数根,且两实根是相邻的两个整数,求证:f(-a)= ; (III)若方程f(x)=0有两个非整数实根,且这两实数根在相邻两整数之间,试证明存在整数k,使得 . (文科)已知函数f(x)= ,其中 (I)若b>2a,且 f(sinx)(x∈R)的最大值为2,最小值为-4,试求函数f(x)的最小值; (II)若对任意实数x,不等式 恒成立,且存在 成立,求c的值。 17. 定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意x、y (-1,1)都有 。 (I)求证:函数f(x)是奇函数; (II)如果当 时,有f(x)>0,判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并加以证明; (III)设-1 ( ) 0f x < (1)f ( )f x { } { }( , ) | ( ) ( ) 0 , ( , ) | ( 2) 0,A x y f x y f x y B x y f ax y a R= + + − > = − + = ∈ A B ≠ ∅ 0 a b< < | ( ) | | ( ) | 2 | ( ) |2 a bf a f b f += = 3 2 2b< < + )(2 Rbabaxx ∈++ 、 )1(4 1 2 −a 4 1)( ≤kf cbxax ++2 .,,* ZcNbNa ∈∈∈ )1(2)(4 2 +≤≤ xxfx )1(2)( 0 2 00 +< xxfx 使得 )(xf ]1,1[− )(xf ]1,1[− )( cxf − )( 2cxf − 21 ≤≤− c )( cxf − )( 2cxf − 19. 已知函数f(x)=ax2+bx+c,其中a∈N*,b∈N,c∈Z。 (1)若b>2a,且f(sinx)(x∈R)的最大值为2,最小值为-4,试求函数f(x)的最小值; (2)若对任意实数x,不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)恒成立,且存在x0,使得f(x0)<2(x02+1)成立,求c的值。 20. (理)已知 (1)讨论 的单调性; (2)证明: 其中无理数 . (文)设函数 ,其图象在点 处的切线的斜率分别为 . (1)求证: ; (2)若函数 的递增区间为 ,求 的取值范围. 21.设函数 (1)求函数f(x)的单调区间,并求函数f(x)的极大值和极小值; (2)当x∈[a+1, a+2]时,不等 ,求a的取值范围. 22. 已知函数 ,函数 . (1)当 时,求函数f(x)的最小值; (2)设函数h(x)=(1-x)f(x)+16,试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数. 23. 已知二次函数 为常数); .若直线l1、l2与函数f(x)的图象以及l1,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示. (Ⅰ)求a、b、c的值; (Ⅱ)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式; (Ⅲ)若 问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出m的值; 若不存在,说明理由. )0()1()( 2 ≤++= aaxxInxf )(xf 2),()11()3 11)(2 11( * 444 ≥∈<+++ nNnen )71828.2 =e )(3 1)( 23 cbacxbxaxxf <<++= ))(,()),1(,1( mfmBfA ao -, 10 <≤ a b )(xf ],[ ts ]-[ ts )10(323 1)( 223 <<+−+−= abxaaxxxf axf ≤′ |)(| 1x x716x)x(f − −+= mxln6)x(g += 1x > ttttylcbxaxxf .20(8:,)( 2 1 2 ≤≤+−=++= 其中直线 2:2 =xl ,ln6)( mxxg += 12 8 xO M(17,25) 24. 已知 ,点A(s,f(s)), B(t,f(t)) (I) 若 ,求函数 的单调递增区间; (II)若函数 的导函数 满足:当|x|≤1时,有| |≤ 恒成立,求函数 的解析表达式; (III)若0-1时,-m <1,定义域: 由 得x >1,由 得x <1. 故在(1,2),(2,+∞)上单增;在 上单减. ………………11分 综上所述,当m≤-2时,h(x)在(-m,+∞)上单增; 当 时, 上单增; 当m >-1时,在(1,2),(2,+∞)上单增;在(-m,1)单减.…12分 3.解:(1) ………………………………………………………………(6分) (2)由 解得 即 解得 …………………………………(12分) (1) 由 , 又 , 当 时, , , ∴对于 时, ,命题成立。………………(14分) 以下用数学归纳法证明 对 ,且 时,都有 成立 假设 时命题成立,即 , )(xf ),2(),1,( +∞−−∞ 023)( 2 =++=′∴ baxxxf 3 2 2 31 2 33 ( ) 6 22 261 2 3 a a f x x x xb b − + = −  = − ∴ ∴ ∴ = − − +    = −− × =  2'( ) 3 3 6 3( 1)( 2)f x x x x x= − − = + − )2)(ln()1(1)( ≠−>++−+=∴ xmxmxmxxh 且 mx x mx mxh + −=+ +−=′∴ 111)( ),( +∞−m 0)( >′ xh ),()( +∞−mxh 在 12 −≤<− m 12 ≥−> m ),2()2,( +∞− m 0)( >′ xh ),2(),2,()( +∞−mxh 在 ),2()2,( +∞− m 0)( >′ xh 0)( <′ xh )1,( m− 12 −≤<− m ),2(),2,()( +∞−mxh 在 255)( xxxf −= 0)(5)(5)( 2 112 <−= xgxgxg 1)(0)( 11 >< xgxg 或 155055 22 >−<− xxxx 或 10 55 10 5510 +<<−>< xxx 或或 { } }{ 100)( ><=< xxxxfx 或 { } Φ=><∩+− 10)10 55,10 55( xxx 或 )10 55,10 55( +−∈x 0)(2 >− agxgaa 时即 2 min )1()1()()1,()(2 3 2 11 −=−=−−∞≤≤− aagxgaxgaa 上为减函数在时即 0)2 1()4 3()1(2 10)2 3()4 5()1(2 3 2222 >−=−−−<>−=−−−> aaaaaaaa 时当时 2 1 2 1 ≠< aa 且 a− 4 3 2 3 2 1 ≤≤ a 2)1( −a 2 3>a 4 5−a 2 1−=a ( )f x ( )f x ],0[ *x ]1,[ *x )()( 21 xfxf ≥ ),0( 2x 21 xx < ),()()( 12 * xfxfxf >≥ )()( 21 xfxf ≥ ),0( 2x 为含峰区间. 当 时,假设 ,则 ,从而 这与 矛盾,所以 ,即 为含峰区间………………………….(7分) (2)证明:由(1)的结论可知: 当 时, 含峰区间的长度为 ; 当 时, 含峰区间的长度为 ; 对于上述两种情况,由题意得 ① 由①得 即 , 又因为 ,所以 ② 将②代入①得 ③ 由①和③解得 所以这时含峰区间的长度 , 即存在 使得所确定的含峰区间的长度不大于 6.解:(1)证明: , 由方程 的两根分别为、 知 时, ,所以此时 , 所以 在区间 上是增函数 (2)解:由(1)知在 上, 最小值为 ,最大值为 , , ,可求得 , ,  所以当 时, 在区间 上的最大值与最小值之差最小,最小值为4 ),0( 2x )()( 21 xfxf ≤ )1,( 1x 21 xx <≤ ),()()( 21 * xfxfxf >≥ )()( 21 xfxf ≤ )1,( 1x )1,( 1x )()( 21 xfxf ≥ 21 xl = )()( 21 xfxf ≤ 12 1 xl −=    +≤− +≤ rx rx 5.01 5.0 1 2 ,211 12 rxx +≤−+ rxx 212 ≤− rxx 212 ≥− rxx 212 =− ,,- rxrx +≥≤ 5.05.0 21 ,=,-= rxrx +5.05.0 21 rll +== 5.021 21, xx r+5.0 22 2 ' )1( )22(2)( + −−−= x axxxf 022 2 =−− axx ( )βα < ( )βα ,∈x 022 2 <−− axx 0)(' >xf )(xf ( )βα , ( )βα , )(xf )(αf )(βf 1]2)[( ]44)()[( 1 4 1 4)()( 222 22 +−++ −++−= + −−+ −=− αββαβα αββααβ α α β βαβ a aaff 2 a=+ βα 1−=αβ 44 2 +=− aαβ 16 1241 )442(44)()( 2 2 22 += +++ ++⋅+ =−∴ aa aa ff αβ 0=a )(xf [ ]βα , 7.解:(1) ,由题意 , 令 得 的单调递增区间为 和 . (2) ,当变化时, 与 的变化情况如下表: - 4 (-4,- 2) -2 (- 2,2) 2 (2,3 ) 3 0 0 单调 递增 单调 递减 单调 递增 1 所以 时, .于是 在 上恒成立等价于 ,求得 . 8.解:(Ⅰ)设 ∴由条件 ……(2分)即 (4分) ∴ ……(5分)对 ……(8分) (Ⅱ)由 ……(11分) 由 代入有 9.解:解法一:(1)令 ,得: ……………1分 …………………………4分 (2)任取、 ,且 . 设 则 …………………… 8分 在R上是单调增函数…… 9分 (3)由(1)(2)知 ………11分 2( )f x x a′ = + (2) 4 0 4 8 4 4(2) 23 3 f a a bf a b ′ = + = = − ⇒  == + + = −  2( ) 4 0f x x′ = − > ( )f x ( , 2)−∞ − (2, )∞ 31( ) 4 43f x x x= − + ( )f x′ ( )f x ( )f x′ ( )f x 4 3 − 28 3 4 3 − [ 4,3]x∈ − max 28( ) 3f x = 2 10( ) 3f x m m≤ + + [ 4,3]x∈ − 2 10 28 3 3m m+ + ≥ ( , 3] [2, )m∈ −∞ − ∪ +∞ ,0,1)1()()( 2 >+−+=−= axbaxxxfxg 且 0)4(0)2(,42 21 ><<<< ggxx 且得 .22 144 3 03416 0124 ababa ba −<<−⇒    >−+ <−+ .8 122 144 3 >−<− aaa 得 可得aba 22 144 3 −<<− .8 3224 11 aa b a −<−<− .1 8 14 114 1120 −= × −>−>−=∴ aa bx .0101)1()( 2121 2 同号与即可知 xxaxxxbaxxg >==+−+= ,2,42,20 12211 =−∴<<<<< xxxxx .1)1(1244)1(4)()( 2 2 2 12 2 12 2 12 +−=+⇒=−−=−+=−∴ baaa bxxxxxx 01240)2( <−+< bag 即 .4 1231)1(2 2 <⇒−<+− bbb 2,0 == yx 2)]0([)0( ff = 1)0(0)0( =∴>∴ ff ),(2 +∞−∞∈x 21 xx < ,3 1,3 1 2211 pxpx == 21 pp < 21 )]3 1([)]3 1([)3 1()3 1()()( 2121 pp ffpfpfxfxf −=−=− )()()(,1)3 1( 2121 xfxfxfppf ∴<∴<> 1)0()( => fbf 1)( >bf b a bfb cbfaf )]([)()( =⋅= b c bfb cbfcf )]([)()( =⋅= b ca b c b a bfbfbfcfaf + >+=+∴ )]([2)]([)]([)()( 而 ……15分 解法二:(1)∵对任意x、y∈R,有 ………1分 ∴当 时 ……2分 ∵任意x∈R, …………3分 ……………………4分 (2) …………………………6分 是R上单调增函数 即 是R上单调增函数;…… 9分 (3) ……………………11分 而 10.解:(1) ∵ ∴ ,∴ , (2)设点A(x ∵ 由 交点对应于方程 即 ∴b=4或b=0为所求. 11.解:(1)取x=1,q=2,有 若存在另一个实根 ,使得 (2) , ,则0, ∴ ,又a+c=2b, ∴ac-b= )(2)]([2)]([2222 2 2 bfbfbfbbacca b b b ca =>∴==>+ + )(2)()( bfcfaf >+∴ yxfxyf )]([)( = xfxfxf )]1([)1()( =⋅=∴ 0=x 0)]1([)0( ff = 0)( >xf 1)0( =∴ f 1)]3 1([)3 13()1(,1)3 1( 3 >=×=∴> ffff xfxf )]1([)( =∴ )(xf caca fffcfaf +>+=+ )]1([2)]1([)]1([)()( )(2)]1([2)]1([2222 22 bfffbbacca bca =>∴==>+ + )(2)()( bfcfaf >+∴ [ ] [ ] 取得极大值,时,当上单调递减,,上单调递增,在,在 )(12110)( xfxxf =∴ 0|)2124,0)( 1 23/ =+−= =xaxxxxf 即( 4=a )),(,21)())(, 0000 xfxBxxfxf −= (的对称点的坐标为上的任一点,它关于是 的图象的一条对称轴。是 )(1)()2( 00 xfyxxfxf ==∴=− 个不同的的图象恰有与 2144)(1)( 2342 −+−=−= xxxxfbxxg 个不同的实根,恰有21441 2342 −+−=− xxxbx 00400044 2234 =≠===∴=−+− bxbxxbxxxx 时方程有等根得,当时是一个根,当 的一个根,是即 0)(10)1()2()1( 2 =∴== xffff 10 ≠x ,0)()(),0(),0((0)( 0101111 ==≠=+∞∈≠ xqfxfqxxxxxf q 有成立,且对任意的 10)(,0)0)( 10 ==∴≡∴= xxfxfxf 有且只有一个实根与条件矛盾,(恒成立, 21 ,,1 qq bcbacba ==>>> 不妨设 2 0q > )()()()()( 2 21 21 bfqqbfbfcfaf qq •=•=• 2( ) 04 a c−− < 即ac 0, P(x)单调递增, 当 12 +∞∈<∈+∞= xfxxfxxff 时,当时单调递增,当在 ).()(,0),()(),()(,)()( nfmfnmnfmfnfmfnfmf −=∴>>−==∴=  ,1≠ 021 ≠q )21 q+ ,22)(,10.1 2      +=<<<=∴ nmfmfmnmn               +=∴+==>+> 2 2)(),2(2)(,12,1 nmfmfnmfmfmnnmm  2 2      +=∴ nmm ,22 2 nmnm ++ 22 24 nmm =−−∴ ,1240 2 <−−< mm 1>m 223 +<<∴ m 0a < ( )f x ( ( 1),0)a a− − (0, ( 1))a a − 0 1a< < ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 1a > ( )f x ( , ( 1))a a−∞ − − ( ( 1), )a a − +∞ ( 1) 6a a − = 1a > 3a = 3 2 3( ) 3 xf x x = + ( 0)x ≠ y kx= 0k ≠ ( , )P p q ( , )P p q′ ′ ′ ( , )P p q p p′≠ q q′≠ 2 2 q q p pk ′ ′+ += 1q q p p k ′− = −′− 且 , , (14分) 整理得 ,解得 或 , 所以存在直线 及 为曲线的对称轴. (16分) (文)该函数的定义域 ,曲线的对称中心为 , 因为对任意 , , 所以该函数为奇函数,曲线为中心对称图形. 14.解:(Ⅰ) ………………………3分 ∵函数 和 的图象在 处的切线互相平行 …………………………………………………5分 ………………………………………………………………6分 (Ⅱ) …………………………………………7分 令 ∴当 时, ,当 时, . ∴ 在 是单调减函数,在 是单调增函数.  …………………………9分 , ∴当 时,有 ,当 时,有 . ∵当 时, 恒成立, ∴ …………………………11分 ∴满足条件的的值满足下列不等式组 2 3 3 pq p = + 2 3 3 pq p ′′ = + ′ 1 2 3 k k − = 3k = 3 3k = − 3y x= 3 3y x= − ( ,0) (0, )D = −∞ +∞ (0,0) x D∈ 3 3( 1) 3 3( 1)( ) ( )x a x af x f xa x a x  − −− = − + = − + = − −   1 4( ) log , ( ) log2 2a af x e g x ex x t ′ ′= = + − ( )f x ( )g x 2x = (2) (2)f g′ ′∴ = 1 4log log2 2a ae et ∴ = + 6t∴ = 6t = ( ) ( ) ( )F x g x f x∴ = − 2log (2 4) loga ax x= + - [ ]2(2 4)log , 1,4a x xx += ∈ [ ]2(2 4) 16( ) 4 16, 1,4xh x x xx x += = + + ∈ [ ]2 2 16 4( 2)( 2)( ) 4 , 1,4x xh x xx x − +′ = − = ∈ 1 2x≤ < ( ) 0h x′ < 2 4x< ≤ ( ) 0h x′ > )(xh [ )1,2 ( ]2,4 min( ) (2) 32h x h∴ = = ( ) (1) (4) 36maxh x h h∴ = = = 10 << a min( ) log 36aF x = 1>a min( ) log 32aF x = [ ]1,4x∈ ( ) 2F x ≥ min( ) 2F x ≥ ①,或 ② 不等式组①的解集为空集,解不等式组②得 综上所述,满足条件的的取值范围是: .  15.解:(1)在 中令 ,得 ; …………………2分 设 ,则 ,从而有 所以, 所以, 在上单调递减 …………………5分 (2) ,由(1)知, 在上单调递减, , …………………7分 故集合中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分;而 ,所以, , …………8分故集合中的点所表示的区域为一直线,如图所示, 由图可知,要 ,只要 , ∴实数的取值范围是 …………………10分 (3)由(1)知 在上单调递减,∴当 时, ,当 时, , ,而 , ,故 , 由 得, ,所以, , …………………12分 又 ,所以 , 又 由 得, , , 又 ,所以 ,由 及 解得, 16.解:(理)(I) (3分) (II)设两整根为x1,x2,x1>x2 (5分) (III)设m  ≥ 1 4 2a< ≤ 1 4 2a< ≤ ( ) ( ) ( )f m n f m f n⋅ = + 1m n= = (1) 0f = 1 2 0x x> > 1 2 1x x > 1 2 ( ) 0xf x < 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x xf x f x f x f f xx x = ⋅ = + < ( )f x 2 2( ) ( ) ( ) 0 (1)f x y f x y f x y f+ + − = − > = ( )f x 2 2 0 0 1 x y x y x y  + >  − >  − < ( 2) 0 (1)f ax y f− + = = 1 0ax y− + = A B ≠ ∅ 1a < ( ,1)−∞ ( )f x 0 1x< < ( ) 0f x > 1x > ( ) 0f x < 0 a b< < | ( ) | | ( ) |f a f b= 1, 1a b∴ < > ( ) 0, ( ) 0f a f b> < | ( ) | | ( ) |f a f b= ( ) ( ) 0f a f b+ = 1ab = 12 a b ab + > = ( ) (1) 02 a bf f + < = 2 ( ) 2 ( )2 2 a b a bf b f f  + + = =       | ( ) | 2 | ( ) |2 a bf b f += 2 2 24 ( ) 2b a b a b= + = + + 2 24 2b b a− = + 0 1a< < 22 2 3a< + < 22 4 3b b< − < 1b > 3 2 2b< < + .0.,0,0,42 >∴≥∆≤−=∆ bbba 方程有实根与题设矛盾则若    =− = −=+ ,1 , , 21 21 21 xx bxx axx 4 1 14 2 2 −= =−∴ ab ba )1(4 1)( 2 −==−∴ abaf 1y ax= + 即 f(m)= f(m+1)= (6分) (文)f(sinx)= f(sinx)max=f(1)=2, 又b>2a>0, (7分) (2) 不存在 当a=1时,c=1, 此时存在x0,使 404 2 2 abba <⇒>− ]2 1,(2.1 +∈−° mma 021 <+≤− ma 4 1)2(4 2 2 22 ≤+=++<++ amaammbamm )1,2 1(2.2 ++∈−° mma 4 1)21(4)1()2()1()1( 2 2 22 ≤++=++++<++++ amamambmam .存在∴ cxbxa ++ sinsin 2 左边对称轴在 1,12 −=∴−<− xa b ,4)1()(sin min −=−=∴ fxf    =++ −=+−∴ ,2 ,4 cba cba    −−= = ,1 ,3 ac b .2,1 −==∴ ca .23)( 2 −+=∴ xxxf 4 17)( min −=xf )1.(4)1(,4)11(2)1(4),1(2)(4 2 分=∴=+≤≤∴+≤≤ ffxxfx )1).((4,4 分即 cabcba +−=−=++∴ .0)4(,4)( 2 恒成立即又 ≥+−+≥ cxbaxxxf ,04)(,04)4( 2 ≤−−−≤−−=∆∴ accaacb 即 )1.(21.,2,024 )2.(,0)( * 2 分或又 分 ==∴∈≤≥−=∴ =∴≤−∴ aaNaaab caca .22)(,0,2,2 2 +=∴=∴== xxfbca 时当 .22)( 2 000 +< xxfx 使 .12)(,2 2 ++=∴=∴ xxxfb )2.(1).1(2)( 2 00 分故 =+< cxxf 17.解:(I)证:令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),   故f(0)=0令y=-x,则f(x)+f(-x)= ∴f(-x)=-f(x)∴函数f(x)的奇函数    4’ (II)设-12     9’    当a=0时, ,原不等式的解集为{x|x>2}    10’    当-12中原不等式的解;    若x<0,则a(x-1)>1,x<1+    故原不等式的解集为 12’    当02,则a(x-1)<1,x<1+ ∴    故原不等式的解集为{x| }   18.解:(1)∵奇函数 的图像上任意两点连线的斜率均为负 ∴对于任意 且 有 ……………………………………………………3分 从而 与 异号 ∴ 在 上是减函数…………………………………………5分 (2) 的定义域为 的定义域为 ………………………………7分 ∵ 上述两个定义域的交集为空集 则有: 或 …………………………9分 解得: 或 )(xf ]11[21 ,、 −∈xx 21 xx ≠ 0xx )x(f)x(f 21 21 <− − 21 xx − )()( 21 xfxf − )(xf ]11[ ,− )( cxf − ]11[ +− cc , )( 2cxf − ]11[ 22 +− cc , 112 +>− cc 112 −<+ cc 2>c 1−2a,故a=1,c=-2。∴f(x)=x2+3x-2,最 小值为-17/4。 (2)令x=1,代入不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)得f(1)=4,即a+b+c=4,从而b=4-a-c。又4x≤f(x)恒 成立,得ax2+(b-4)x+c≥0恒成立,故△=(b-4)2-4ac≤0,∴a=c。又b≥0,a+c≤4,∴c=1或c=2。当c =2时,f(x)=2x2+2,此时不存在满足题意的x0。当c=1时满足条件,故c=1。 20.解:(理)(1) ①若 时, ∴ 在 单调递增,在 单调递减,…………………………………… ②若 时, 对 恒成立. 2>c 1−+ cc 2c1 ≤≤− 112 +≤− cc 2c1 ≤≤ 0c1 ≤≤− 112 +≥+ cc 112 −≥− cc ]1,1[( 2 +− cc 10 << c 112 +<+ cc 112 −<− cc ]1,1[ 2 +− cc 2c1 ≤≤− 0c1 ≤≤− 2c1 ≤≤ ]1,1[( 2 +− cc 10 << c ]1,1[ 2 +− cc .x1 ax2axax1 x2)x(f 2 2 2 ' + ++=++= 0=a ,00)(,001 2)( ' 2 ' <⇒<>⇒>+= xxfxx xxf )x(f +∞,0 0,∞− -1a0. 0 ≤⇒    ≤∆ 0得:a3a, 则函数f(x)的单调递增区间为(a, 3a),单调递减区间为(-∞,a)和(3a,+∞) 列表如下: x (-∞,a) a (a, 3a) 3a (3a,+∞) f′(x) — 0 + 0 — f(x) - a3+b b ∴函数f(x)的极大值为b,极小值为- a3+b…………………………7分 (2) 上单调递 减,因此 ∵不等式|f′(x)|≤a恒成立, ∴ 即a的取值范围是 )x(f 0a1 <<− a 211xa a11x0ax2ax0)x(f 22 2' −−−<<−+−<⇒<>++⇒> 0)x('f > a a11x 2−−−> a a11 2−+− )x(f a a11,a a11 22 −+−−−− a a11, 2−−−∞− a a11 2−+− ∞− 1a −≤ )x(f +∞∞− , 0a1 <<− )x(f a a11,a a11 22 −+−−−− a a11, 2−−−∞− +∞−+− ,a a11 2 0a = )x(f +∞,0 0,∞− 3 4 3 4 ]2,1[)(,)2(34)( 2222 ++′∴+−−=−+−=′ aaxfaaxaaxxxf 在 44)2()(,12)1()( minmax −=+′=′−=+′=′ aafxfaafxf 15 4:,44 12 <≤    −≥− ≤− aaa aa 解得 15 4 <≤ a 22.解:(1) 方法一: ∵ x>1 , , 当且仅当x=4时,取等号,故函数f(x)的最小值为0; 方法二:∵ x>1, 当且仅当 即x=4时,取等号,故函数f(x)的最小值为0. 方法三:求导(略)……………………………………4分 (2)由于h(x)=(1-x)f(x)+16= 设 F(x)=g(x)-h(x)= ( 且 ),则 ,……………………………6分 令 得x=3或x=1(舍)又∵ , , ,F(3)=6ln3-15+m 根据导数的符号及函数的单调情况、取极值的情况作出的草图如 下:………………11分 由此可得: 当 或 时,h(x)的图象与g(x)的图象恰有1个交点; 当 时,h(x)的图象与g(x)的图象恰有2个交点; 当 时,h(x)的图象与g(x(的图象恰有3个交点. 23.解:(I)由图形 知: , ∴函数f(x)的解析式为 …………………………4分 (Ⅱ)由 得 ∵0≤t≤2 ∴直线l1与f(x)的图象的交点坐标为( …………………………6分 由定积分的几何意义知: 01x )4x( 1x 16x8x)x(f 22 ≥− −=− +−= 061x 9)1x(261x 91x)x(f =−−⋅−≥−−+−= 1x 91x −=− 2xx8 − mx8xxln6 2 +−+ 0x > 1x ≠ x )3x)(1x(28x2x 6)x('F −−=−+= 0)x('F = −∞= → )x(Flim 0x +∞= +∞→ )x(Flim x 7m)x(Flim 1x −= → 7m ≤ 3ln615m −> 3ln615m −= 3ln615m7 −<<    = = −=        =− =+⋅+⋅ = 0 8 1 ,164 4 088 0 2 2 c b a a bac cba c 解之得: xxxf 8)( 2 +−=    +−= +−= xxy tty 8 8 2 2 ,8,,0)8(8 21 2 txtxttxx −==∴=−−− )8, 2 ttt +− ∫ ∫ +−−+−++−−+−= 1 0 2 222 )]8()8[()]8()8[()( t dxttxxdxxxtttS ………………………………9分 (Ⅲ)令 因为x>0,要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有2个不同的交点,则函数 的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点 当x∈(0,1)时, 是增函数; 当x∈(1,3)时, 是减函数 当x∈(3,+∞)时, 是增函数 当x=1或x=3时, ∴ ………………………………12分 又因为当x→0时, 当 所以要使 有且仅有两个不同的正根,必须且只须 即 ∴m=7或 ∴当m=7或 时,函数f(x)与g(x)的图象有且只有两个不同交点. 24.解:(I) f(x)=x3-2x2+x, (x)=3x2-4x+1, 因为f(x)单调递增, 所以(x)≥0, 即 3x2-4x+1≥0, 解得,x≥1, 或x≤ ,……………………………2分 2 2 23 1 0 22 2 )8()2 8 3[()]20 8 3()8[( t xttxxxxxtt ⋅+−−+−++−−+−= 3 4016103 4 23 +−+−= ttt .ln68)()()( 2 mxxxxfxgx ++−=−=ϕ mxxxx ++−= ln68)( 2ϕ )0()3)(1(2682682)( 2 ' >−−=+−=+−=∴ xx xx x xx xxxϕ )(,0)(' xx ϕϕ > )(,0)(' xx ϕϕ < )(,0)(' xx ϕϕ > 0)(' =xϕ ;7)1()( −= mx ϕϕ 极大值为 153ln6)3()( −+= mx ϕϕ 极小值为 −∞→)(xϕ +∞→+∞→ )(xx ϕ时, 0)( =xϕ    > =    < = 0)1( 0)3( 0)3( 0)1( ϕ ϕ ϕ ϕ 或    >− =−+    <−+ =− 07 0153ln6 0153ln6 07 m m m m 或 .3ln615 −=m .3ln615 −=m 3 1 故f(x)的增区间是(-∞, )和[1,+ ∞]. …………………………3分 (II) (x)=3x2-2(a+b)x+ab. 当x∈[-1,1]时,恒有|(x)|≤ .………………………4分 故有 ≤(1)≤ , ≤(-1)≤ , ≤(0)≤ ,………………………5 即 ………6 ①+②,得 ≤ab≤ ,……………………………8分 又由③,得 ab= , 将上式代回①和②,得 a+b=0, 故f(x)=x3 x. ……………………9分 (III) 假设⊥ , 即 = = st+f(s)f(t)=0, ……………10分 (s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1, [st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1, ……………………………………11分 由s,t为(x)=0的两根可得, s+t= (a+b), st= , (0