2020高考数学二轮复习 专题四 解析几何 规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系学案 3页

规范答题示例6　直线与圆锥曲线的位置关系 典例6　(15分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在椭圆C上．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.‎ ‎①求的值；②求△ABQ面积的最大值．‎ 审题路线图　(1)―→ ‎(2)①―→ ‎②―→‎ ―→ 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 解　(1)由题意知＋＝1.又＝，‎ 解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.3分 ‎(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎①设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．‎ 因为＋y＝1，又＋＝1，即＝1，‎ 所以λ＝2，即＝2.7分 ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋‎4m2‎－16＝0，‎ 由Δ>0，可得m2<4＋16k2，(*)‎ 第一步 求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程．‎ 第二步 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系得等式．‎ 第三步 3‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|x1－x2|＝.‎ 因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，‎ 所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝ ‎＝＝2.11分 设＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，‎ 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋‎4m2‎－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.(**)‎ 由(*)(**)可知0‎0”‎和“Δ≥‎0”‎者，每处扣2分；联立方程消元得出关于x的一元二次方程给2分；根与系数的关系写出后给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．‎ 跟踪演练6　(2018·全国Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．‎ ‎(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；‎ ‎(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.‎ ‎(1)解　由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.‎ 由已知可得，点A的坐标为或.‎ 又M(2,0)，‎ 所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.‎ 即x＋y－2＝0或x－y－2＝0.‎ ‎(2)证明　当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.‎ 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，‎ 3‎ 所以∠OMA＝∠OMB.‎ 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和 kMA＋kMB＝＋.‎ 由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得 kMA＋kMB＝.‎ 将y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得 ‎(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，由题意知Δ>0恒成立，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0，‎ 从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．‎ 所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.‎ 3‎