高考数学专题19圆锥曲线综合1 12页

培优点十九 圆锥曲线综合 ‎1．直线过定点 例1：已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线是圆上的点处的切线，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，设切线的斜率都存在．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析，．‎ ‎【解析】（1）由已知，设椭圆的方程为，‎ 因为，不妨设点，代入椭圆方程得，‎ 又因为，所以，，所以，，‎ 所以的方程为．‎ ‎（2）依题设，得直线的方程为，即，‎ 设，，，‎ 由切线的斜率存在，设其方程为，‎ 联立得，，‎ 由相切得，‎ 化简得，即，‎ 因为方程只有一解，所以，所以切线的方程为，‎ 即，同理，切线的方程为，‎ 又因为两切线都经过点，所以，所以直线的方程为，‎ 又，所以直线的方程可化为，‎ 即，令，得，‎ 所以直线恒过定点．‎ ‎2．面积问题 例2：已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为4，直线与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点在椭圆上．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求四边形面积的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由椭圆焦距为4，设，，连结，设，‎ 则，又，得，，‎ ‎，‎ 解得，，所以椭圆方程为．‎ ‎（2）设直线方程：，、，‎ 由，得，所以，‎ 由（1）知直线：，代入椭圆得，，得，由直线与线段相交于点，得，‎ ‎，‎ 而与，知，，‎ 由，得，所以，‎ 四边形面积的取值范围．‎ ‎3．参数的值与范围 例3：已知抛物线的焦点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于，两点．‎ ‎（1）求抛物线的方程以及的值；‎ ‎（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）抛物线的焦点，‎ ‎，则，抛物线方程为；‎ 点在抛物线上，．‎ ‎（2）依题意，，设，设、，‎ 联立方程，消去，得．‎ 所以 ①，且，‎ 又，则，即，‎ 代入①得，消去得，‎ ‎，则，，‎ 则 ‎，‎ 当，解得，故．‎ ‎4．弦长类问题 例4：已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与相交于，两点，与相交于，两点，且，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意可知：，又椭圆的上顶点为，‎ 双曲线的渐近线为：，‎ 由点到直线的距离公式有：，∴椭圆方程．‎ ‎（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，消去并整理得：‎ ‎，‎ 要与相交于两点，则应有：，‎ 设，，‎ 则有：，．‎ 又．‎ 又：，所以有：，‎ ‎，②‎ 将，代入，消去并整理得：，‎ 要有两交点，则．③‎ 由①②③有．‎ 设、．有，，‎ ‎．‎ 将代入有．‎ ‎，令，，‎ 令，．‎ 所以在内恒成立，故函数在内单调递增，‎ 故．‎ ‎5．存在性问题 例5：已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在，见解析．‎ ‎【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，‎ ‎∵在椭圆上，∴，‎ ‎∴，，故椭圆的方程为．‎ ‎（2）假设这样的直线存在，设直线的方程为，‎ 设，，，，的中点为，‎ 由，消去，得，‎ ‎∴，且，故且，‎ 由，知四边形为平行四边形，‎ 而为线段的中点，因此为线段的中点，‎ ‎∴，得，‎ 又，可得，∴点不在椭圆上，‎ 故不存在满足题意的直线．‎ 对点增分集训 一、解答题 ‎1．已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为．‎ ‎（1）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，设点，直线交于，求证：直线经过定点．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）由已知，，‎ 轨迹为双曲线的右支，，，，‎ 曲线标准方程．‎ ‎（2）由对称性可知，直线必过轴的定点，‎ 当直线的斜率不存在时，，，，知直线经过点，‎ 当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，‎ 直线，当时，，，‎ 得，，，‎ 下面证明直线经过点，即证，即，‎ 即，由，，‎ 整理得，，即 即证经过点，直线过定点．‎ ‎2．已知点在椭圆上，设，分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点到直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为椭圆在第一象限内一点，直线，分别交轴、轴于，两点，求四边形的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为椭圆经过点，有，‎ 由等面积法，可得原点到直线的距离为，‎ 联立两方程解得，，所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）设点，则，即．‎ 直线，令，得．‎ 从而有，同理，可得．‎ 所以四边形的面积为 ‎．‎ 所以四边形的面积为．‎ ‎3．已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，．‎ ‎（1）当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点，，且（其中是坐标原点），求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意是线段的垂直平分线，‎ 所以，‎ 所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，‎ ‎∴，，，‎ 故点的轨迹方程是．‎ ‎（2）设直线：，，，‎ 直线与圆相切，得，即，‎ 联立，消去得：，‎ ‎，得，‎ ‎，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 所以，得，‎ ‎∴，解得或，‎ 故所求范围为．‎ ‎4．已知椭圆的焦距为，离心率为，圆，，是椭圆的左右顶点，是圆的任意一条直径，面积的最大值为2．‎ ‎（1）求椭圆及圆的方程；‎ ‎（2）若为圆的任意一条切线，与椭圆交于两点，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）设点到轴距离为，则，易知当线段在轴时，，，‎ ‎，，，，，‎ 所以椭圆方程为，圆的方程为．‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时；‎ 设直线方程为：，直线为圆的切线，，，‎ 直线与椭圆联立，，得，‎ 判别式，由韦达定理得：，‎ 所以弦长，令，‎ 所以；‎ 综上，，‎ ‎5．如图，己知、是椭圆的左、右焦点，直线经过左焦点，且与椭圆交，两点，的周长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在直线，使得为等腰直角三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在，见解析．‎ ‎【解析】（1）设椭圆的半焦距为，因为直线与轴的交点为，故．‎ 又的周长为，即，故，所以，．‎ 因此，椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）不存在．理由如下：‎ 先用反证法证明不可能为底边，即．‎ 由题意知，设，，假设，则，‎ 又，，代入上式，消去，得：．‎ 因为直线斜率存在，所以直线不垂直于轴，所以，故．‎ ‎(与，，矛盾）‎ 联立方程，得：，所以矛盾．‎ 故．‎ 再证明不可能为等腰直角三角形的直角腰．‎ 假设为等腰直角三角形，不妨设为直角顶点．‎ 设，则，在中，由勾股定理得：，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．‎