全国高考理科数学试题及答案广东卷 10页

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设i为虚数单位，则复数 A． B． C． D．‎ ‎2．设集合，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若向量，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下列函数中，在区间上为增函数的是 ‎ A． B C． D． ‎ 图1‎ 正视图 俯视图 侧视图 ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎5．已知变量满足约束条件，则的最大值为 A．12 B．11 C．3 D．-1‎ ‎6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A． B． C． D．‎ ‎7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 A． B． C． D．‎ ‎8．‎ 8. 对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量，满足，与的夹角，且和都在集合中，则（ ）‎ ‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎？‎ 是 图2‎ 输出 结束 否 输入 开始 二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． ‎ ‎（一）必做题（9～13题）‎ ‎9．不等式的解集为___________．‎ ‎10．的展开式中的系数为__________．（用数字作答）‎ ‎11．已知递增的等差数列满足，，则________．‎ ‎12．曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎13．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为____．‎ ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中中，曲线和曲线的 参数方程分别为（为参数）和（为参数），则曲线和曲线的交点坐标为 ．‎ A B C P O ‎15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，且满足，过点A做圆的切线与OC的延长线交与点P，则PA= ．‎ 图3‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数（其中）的最小正周期为．‎ （1） 求的值；‎ （2） 设，求的值．‎ ‎ ‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：‎ ‎[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100],‎ ‎(1)求图中x的值;‎ 图4‎ ‎0‎ ‎40 50　60 70 80 90 100 成绩 ‎(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 图5‎ 如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，，求二面角的正切值．‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设数列的前项和为，满足，，且成等差数列．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数，有．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:的离心率，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3．‎ （1） 求椭圆C的方程；‎ （2） 在椭圆C上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎）‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设，集合，．‎ （1） 求集合D（用区间表示）；‎ （2） 求函数在D内的极值点．‎ 参考答案 选择题答案：1-8： DCAAB CDC 填空题答案：‎ ‎9. ‎ ‎10. 20‎ ‎11. ‎ ‎12. ‎ ‎13. 8‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ 解答题答案 ‎16.‎ ‎（1）‎ ‎（2）代入得 ‎ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎17.‎ ‎（1）由得 ‎（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 ‎ 随机变量的可能取值有0,1,2‎ ‎∴ ‎ ‎18.‎ ‎（1）∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎（2）设AC与BD交点为O，连 ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ 又∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 为二面角的平面角 ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 在，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 二面角的平面角的正切值为3‎ ‎19.‎ ‎（1）在中 ‎ 令得：‎ ‎ 令得：‎ 解得：，‎ 又 解得 ‎（2）由 得 又也满足 所以成立 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎（3）‎ ‎（法一）∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎（法二）∵‎ ‎∴ ‎ 当时，‎ ‎………‎ 累乘得： ‎ ‎∴‎ ‎20.‎ ‎（1）由得，椭圆方程为 椭圆上的点到点Q的距离 当①即,得 当②即,得（舍）‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 椭圆方程为 ‎（2）‎ 当，取最大值，‎ 点O到直线距离 ‎∴‎ 又∵‎ 解得：‎ 所以点M的坐标为 的面积为 ‎21.‎ ‎（1）记 ‎ ‎ ① 当，即，‎ ② 当，‎ ③ 当，‎ ‎（2）由得 ‎① 当，‎ ② 当，∵‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴ ‎ ③ 当，则 又∵‎ ‎∴ ‎