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  • 2021-05-14 发布

2018高考数学文科北京卷含答案

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绝密★启封并使用完毕前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)(北京卷)‎ 本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)已知集合,,则 ‎(A){0,1} (B){−1,0,1}‎ ‎(C){−2,0,1,2} (D){−1,0,1,2}‎ ‎(2)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于 ‎(A)第一象限 (B)第二象限 ‎(C)第三象限 (D)第四象限 ‎(3)执行如图所示的程序框图,输出的值为 ‎ ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(4)设,,,是非零实数,则“”是“,,,成等比数列”的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(5)“十二平均律” ‎ ‎ 是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率f,则第八个单音频率为 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 ‎(A)1 (B)2‎ ‎(C)3 (D)4‎ ‎(7)在平面坐标系中,是圆上的四段弧(如图),点在其中一段上,角以为始边,为终边,若,则所在的圆弧是 ‎ (A) (B)‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(8)设集合则 ‎(A)对任意实数, ‎ ‎(B)对任意实数,(2,1)‎ ‎(C)当且仅当时,(2,1)‎ ‎(D)当且仅当 时,(2,1)‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9)设向量,,若,则_________.‎ ‎(10)已知直线过点(1,0)且垂直于轴,若被抛物线截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为_________.‎ ‎(11)能说明“若,则”为假命题的一组,的值依次为_________.‎ ‎(12)若双曲线的离心率为,则_________.‎ ‎(13)若,满足,则的最小值是_________.‎ ‎(14)若的面积为,且为钝角,则_________;的取值范围是_________.‎ 三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。‎ ‎(15)(本小题13分)‎ 设是等差数列,且.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求.‎ ‎(16)(本小题13分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的最小正周期; ‎ ‎(Ⅱ)若在区间上的最大值为,求的最小值.‎ ‎(17)(本小题13分)‎ 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.‎ ‎(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;‎ ‎(Ⅱ)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;学科*网 ‎(Ⅲ)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)‎ ‎(18)(本小题14分)‎ 如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,,,,分别为,的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅲ)求证:平面.‎ ‎(19)(本小题13分)‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)若曲线在点处的切线斜率为0,求;‎ ‎(Ⅱ)若在处取得极小值,求的取值范围.‎ ‎(20)(本小题14分)‎ 已知椭圆的离心率为,焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点,.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)若,求 的最大值;‎ ‎(Ⅲ)设,直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点为.若,和点 共线,求.‎ 参考答案 ‎1.A 2.D 3.B 4.B 5.D 6.C 7.C 8.D ‎9. 10. ‎ ‎11.(答案不唯一) 12.4‎ ‎13.3 14. ‎ ‎15.(共13分)‎ 解:(I)设等差数列的公差为,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 又,∴.‎ ‎∴.‎ ‎(II)由(I)知,‎ ‎∵,‎ ‎∴是以2为首项,2为公比的等比数列.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴.‎ ‎16.(共13分)‎ ‎【解析】(Ⅰ),‎ 所以的最小正周期为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知.‎ 因为,所以.‎ 要使得在上的最大值为,即在上的最大值为1.‎ 所以,即.‎ 所以的最小值为.‎ ‎17.(共13分)‎ ‎(Ⅰ)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.‎ 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50,‎ 故所求概率为.‎ ‎(Ⅱ)方法一:由题意知,样本中获得好评的电影部数是 ‎140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1‎ ‎=56+10+45+50+160+51‎ ‎=372.‎ 故所求概率估计为.‎ 方法二:设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.‎ 没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.‎ 由古典概型概率公式得.‎ ‎(Ⅲ)增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.‎ ‎18.(共14分)‎ ‎【解析】(Ⅰ)∵,且为的中点,∴.‎ ‎∵底面为矩形,∴,‎ ‎∴.‎ ‎(Ⅱ)∵底面为矩形,∴.‎ ‎∵平面平面,∴平面.‎ ‎∴.又,学科.网 ‎∵平面,∴平面平面.‎ ‎(Ⅲ)如图,取中点,连接.‎ ‎∵分别为和的中点,∴,且.‎ ‎∵四边形为矩形,且为的中点,‎ ‎∴,‎ ‎∴,且,∴四边形为平行四边形,‎ ‎∴.‎ 又平面,平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎19. (13分)‎ 解:(Ⅰ)因为,‎ 所以.‎ ‎,‎ 由题设知,即,解得.‎ ‎(Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)得.‎ 若a>1,则当时,;‎ 当时,.‎ 所以在x=1处取得极小值.‎ 若,则当时,,‎ 所以.‎ 所以1不是的极小值点.‎ 综上可知,a的取值范围是.‎ 方法二:.‎ ‎(1)当a=0时,令得x=1.‎ 随x的变化情况如下表:‎ x ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴在x=1处取得极大值,不合题意.‎ ‎(2)当a>0时,令得.‎ ‎①当,即a=1时,,‎ ‎∴在上单调递增,‎ ‎∴无极值,不合题意.‎ ‎②当,即01时,随x的变化情况如下表:‎ x ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.‎ ‎(3)当a<0时,令得.‎ 随x的变化情况如下表:‎ x ‎−‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴在x=1处取得极大值,不合题意.‎ 综上所述,a的取值范围为.‎ ‎20.(共14分)‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意得,所以,‎ 又,所以,所以,‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎(Ⅱ)设直线的方程为,‎ 由消去可得,‎ 则,即,‎ 设,,则,,‎ 则,‎ 易得当时,,故的最大值为.‎ ‎(Ⅲ)设,,,,‎ 则 ①, ②,‎ 又,所以可设,直线的方程为,‎ 由消去可得,‎ 则,即,‎ 又,代入①式可得,所以,‎ 所以,同理可得.‎ 故,,‎ 因为三点共线,所以,‎ 将点的坐标代入化简可得,即.‎