高中高考数学解析几何单元易错题练习及答案解析 24页

高中高考数学解析几何单元易错题练习及答案解析 一．考试内容：‎ ‎　　椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.‎ ‎　　双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.‎ ‎　　抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.‎ 二．考试要求：‎ ‎(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.‎ ‎(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.‎ ‎(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.‎ ‎(4)了解圆锥曲线的初步应用.‎ ‎【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.‎ 三．基础知识:‎ ‎(一)椭圆及其标准方程 1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.‎ ‎2.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.‎ ‎3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.‎ ‎4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.‎ ‎(二)椭圆的简单几何性质 1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.‎ ‎⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.‎ ‎⑶ 顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.‎ ‎ 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于‎2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.‎ ‎⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.‎ ‎ 2.椭圆的第二定义 ‎⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.‎ ‎⑵ 准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞‎ ‎＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.‎ ‎3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.‎ ‎ 设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.‎ 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.‎ 椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.‎ ‎4.椭圆的参数方程 ‎ 椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.‎ ‎ 说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；‎ ‎⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆的参数方程是.‎ ‎5.椭圆的的内外部 ‎（1）点在椭圆的内部.‎ ‎（2）点在椭圆的外部.‎ ‎6. 椭圆的切线方程 ‎ ‎(1)椭圆上一点处的切线方程是.‎ ‎ （2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.‎ ‎（3）椭圆与直线相切的条件是 ‎(三)双曲线及其标准方程 1. 双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数‎2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件‎2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若‎2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若‎2a＞||，则无轨迹.‎ ‎ 若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞‎ 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.‎ 1. 双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=‎2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.‎ ‎3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.‎ ‎ 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.‎ ‎(四)双曲线的简单几何性质 ‎1.双曲线的实轴长为‎2a，虚轴长为2b，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.‎ ‎2. 双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.‎ ‎3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.双曲线的焦半径公式 ‎，.‎ ‎4.双曲线的内外部 ‎(1)点在双曲线的内部.‎ ‎(2)点在双曲线的外部.‎ ‎5.双曲线的方程与渐近线方程的关系 ‎(1）若双曲线方程为渐近线方程：.‎ ‎(2)若渐近线方程为双曲线可设为.‎ ‎(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.‎ ‎6. 双曲线的切线方程 ‎(1)双曲线上一点处的切线方程是.‎ ‎（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.‎ ‎（3）双曲线与直线相切的条件是.‎ ‎(五)抛物线的标准方程和几何性质 ‎1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。‎ 需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。‎ ‎2．抛物线的方程有四种类型：‎ ‎、、、.‎ 对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。‎ ‎3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例 ‎（1）范围：x≥0；‎ ‎（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；‎ ‎（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；‎ ‎（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；‎ ‎（5）准线方程；‎ ‎（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：‎ ‎ ‎ ‎（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x+x+p 以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。‎ ‎（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。‎ ‎4.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .‎ ‎5.二次函数的图象是抛物线：‎ ‎（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.‎ ‎6.抛物线的内外部 ‎(1)点在抛物线的内部.‎ 点在抛物线的外部.‎ ‎(2)点在抛物线的内部.‎ 点在抛物线的外部.‎ ‎(3)点在抛物线的内部.‎ 点在抛物线的外部.‎ ‎(4) 点在抛物线的内部.‎ 点在抛物线的外部.‎ ‎7. 抛物线的切线方程 ‎(1)抛物线上一点处的切线方程是.‎ ‎（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）抛物线与直线相切的条件是.‎ ‎(六).两个常见的曲线系方程 ‎(1)过曲线,的交点的曲线系方程是 ‎(为参数).‎ ‎(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.‎ ‎(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 ‎（弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）. ‎ ‎(八).圆锥曲线的两类对称问题 ‎（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.‎ ‎（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是 ‎.‎ 四．基本方法和数学思想 ‎1.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆（a>b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则（e为离心率）；‎ ‎2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线 ‎（a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:‎ ‎（1）当P点在右支上时，；‎ ‎（2）当P点在左支上时，；（e为离心率）；‎ 另：双曲线（a>0,b>0）的渐进线方程为；‎ ‎3.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px(p＜0)上任意一点，F为焦点，；‎ ‎4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；‎ ‎5.共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；‎ ‎6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，‎ 一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长 ‎ ‎,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；‎ ‎7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p; 双曲线（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;‎ ‎8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx2＝1；‎ ‎9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=;‎ ‎10.过椭圆（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦；‎ ‎11.对于y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为（，y0）,以简化计算;‎ ‎12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆（a>b>0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KABKOM=；对于双曲线（a>0，b>0），类似可得：KAB.KOM=；对于y2=2px(p≠0)抛物线有KAB＝‎ ‎13.求轨迹的常用方法：‎ ‎（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；‎ ‎（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；‎ ‎（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；‎ ‎（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；‎ ‎（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。‎ 例题1　求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。‎ 错解：设所求直线方程为。‎ ‎∵（2，1）在直线上，∴， ①‎ 又，即ab = 8 ， ②‎ 由①、②得a = 4，b = 2。故所求直线方程为x + 2 y = 4 。‎ 剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。‎ 事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，而不是ab。‎ 故所求直线方程应为：‎ x + 2 y = 4，或（+1）x - 2（-1）y – 4 = 0，或（- 1）x - 2（+1）y +4 = 0。‎ 例题2　已知三角形的三个顶点为A（6，3），B（9，3），C（3，6），求A。‎ 错解：∵ kAB = 0 ，k AC = = -1，∴ tanA===1.‎ 又0＜A＜1800，∴ A=450。‎ 剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。‎ 事实上，所求角应是直线AB到AC（注意：不是AC到AB）的角。‎ 因此，∴ tanA== - 1，A=1350。‎ 例题3　求过点A（-4，2）且与x轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。‎ 错解：设直线斜率为k，其方程为y – 2 = k（x + 4），则与x轴的交点为（-4-，0），‎ ‎∴，解得k = -。故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。‎ 剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”。其实x = - 4也符合题意。‎ 例题4　求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。‎ 错解：设所求方程为，将（1，1）代入得a = 2，‎ 从而得所求直线方程为x + y – 2 = 0。‎ 剖析：上述错解所设方程为，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（1，1）的直线y = x 也符合条件。‎ 例题5　已知圆的方程为x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围。‎ 错解：将圆的方程配方得： ( x + )2 + ( y + 1 )2 = 。‎ ‎∵其圆心坐标为C（－，－1），半径r ＝。‎ 当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则 ＞ r 。‎ 即 ＞。即a2 + a + 9 ＞ 0，解得a∈R。‎ 剖析：本题的“陷阱”是方程x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出 ＞ r ，即a2 + a + 9 ＞ 0，却忽视了a的另一制约条件4 – ‎3 a2 ＞ 0。‎ 事实上，由a2 + a + 9 ＞ 0及4 – ‎3 a2 ＞ 0可得a的取值范围是（）。‎ 例题6　已知直线L：y = x + b与曲线C：y =有两个公共点，求实线b的取值范围。‎ 错解：由消去x得：2y2 - 2by + b2 – 1 = 0。 （ * ）‎ ‎∵ L与曲线C有两个公共点， ∴ = 4b2 – 8 ( b2 －1 ) > 0，解得－＜b＜‎ 剖析：上述解法忽视了方程y =中y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1这一限制条件，得出了错误的结论。‎ 事实上，曲线C和直线L有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。‎ ‎　　解得1≤ b ≤。‎ 例题7　等腰三角形顶点是A（4，2），底边的一个端点是B（3，5），求另一个端点C的轨迹方程。‎ 错解：设另一个端点的坐标为（ x ，y ），依题意有：‎ ‎=，即：=‎ ‎∴ （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10即为C点的轨迹方程。‎ 这是以A（4，2）为圆心、以为半径的圆。‎ 剖析：因为A、B、C三点为三角形三个顶点，所以A、B、C三点不共线，即B、C不能重合，且不能为圆A一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。‎ 事实上，C点的坐标须满足，且，‎ 故端点C的轨迹方程应为（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x3,y5；x5,y－1)。‎ 它表示以（4，2）为圆心，以为半径的圆，除去（3，5）（5，-1）两点。‎ 例题8　求z = 3 x + 5 y的最大值和最小值，使式中的x ，y满足约束条件： ‎ 错解：作出可行域如图1所示，过原点作直线L0：3 x + 5 y = 0 。‎ 由于经过B点且与L0平行的直线与原点的距离最近，‎ 故z = 3 x + 5 y在B点取得最小值。解方程组，得B点坐标为（3，0），∴ z最小＝33＋50=9。‎ 由于经过A点且与L0平行的直线与原点的距离最大，‎ 故z = 3x + 5y在A点取得最大值。 ‎ 解方程组，得A点坐标为（，）。‎ ‎∴ z最大＝3＋5= 17 。‎ ‎ 剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线L0的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z取得最大值的点。反之，即为Z取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失误。‎ 事实上，过原点作直线L0：3x + 5y = 0，由于使z = 3x + 5y ＞ 0的区域为直线L0的 右上方，而使z = 3x + 5y ＜ 0的区域为L0的 左下方。由图知：z = 3x + 5y应在A点取得最大值，在C点取得最小值。‎ 解方程组，得C（－2，－1）。‎ ‎∴ z最小＝3（－2）＋5（－1）= －11。‎ 例题9　已知正方形ABCD 对角线AC所在直线方程为 .抛物线过B，D两点 ‎ ‎（1）若正方形中心M为（2，2）时，求点N(b,c)的轨迹方程。‎ ‎（2）求证方程的两实根，满足 解答：（1）设 ‎ 因为 B,D在抛物线上 所以两式相减得 ‎ 则代入（1）‎ ‎ 得 ‎ ‎ 故点的方程是一条射线。‎ ‎ （2）设 ‎ 同上 ‎ （1）-（2）得 ‎ （1）+（2）得 ‎ （3）代入（4）消去得 ‎ 得 又即的两根满足 ‎ ‎ ‎ ‎ 故。‎ 易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。‎ 例题10　已知双曲线两焦点，其中为的焦点，两点A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上，（1）求点的坐标；（2）求点的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线与的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t的取值范围。‎ ‎ 解答：（1）由得：，故 ‎（2）设点，则又双曲线的定义得 ‎ 又 ‎ 或 ‎ 点的轨迹是以为焦点的椭圆 ‎ 除去点或除去点 ‎ 图略。‎ ‎（3）联列：消去得 ‎ 整理得：‎ ‎ 当时 得 从图可知：，‎ ‎ 又因为轨迹除去点 所以当直线过点时也只有一个交点，即或5‎ ‎ ‎ 易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。‎ 例题11　已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。‎ ‎ 错解：圆O2：，即为 ‎ 所以圆O2的圆心为,半径,‎ ‎ 而圆的圆心为,半径,‎ ‎ 设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r ‎ 则且，所以 ‎ 即，化简得 即为所求动圆圆心的轨迹方程。‎ 剖析：上述解法将=3看成,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。‎ ‎ 事实上，|表示动点M到定点及的距离差为一常数3。‎ ‎ 且,点M的轨迹为双曲线右支，方程为 例题12　点P与定点F（2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P与定点距离的最值。‎ ‎ 错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d，则 ‎ 即 ‎ 两边平方、整理得=1 （1）‎ ‎ 由此式可得：‎ ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ 所以 剖析 由上述解题过程知,动点P(x,y)‎ 在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了这一取值范围，由以上解题过程知，的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决 ‎ 即：当时，‎ 例题13　已知双曲线的离心率e=, 过点A（）和B(a,0)的直线与原点的距离为,直线y=kx+m与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。‎ 错解 由已知，有　解之得：‎ ‎ 所以双曲线方程为 ‎ 把直线 y=kx+m代入双曲线方程，并整理得：‎ ‎ 所以(1)‎ ‎ 设CD中点为，则APCD，且易知：‎ ‎ 所以 (2)‎ ‎ 将(2)式代入(1)式得 解得m>4或 ‎ 故所求m的范围是 剖析 上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，‎ 将代入(1) 式时，m受k的制约。‎ ‎ 因为 所以故所求m的范围应为m>4或 例题14　椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率,已知点P（‎ ‎）到椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程。‎ ‎ 错解 设所求椭圆方程为 ‎ 因为，所以a=2b ‎ 于是椭圆方程为 ‎ 设椭圆上点M（x,y）到点P 的距离为d,‎ ‎ 则：‎ ‎ 所以当时，有 ‎ 所以所求椭圆方程为 ‎ 剖析 由椭圆方程得 ‎ 由(1)式知是y的二次函数，其对称轴为 ‎ 上述错解在于没有就对称轴在区间内或外进行分类，‎ ‎ 其正解应对f(y)=的最值情况进行讨论：‎ ‎ （1）当，即时 ‎ =7,方程为 ‎ （2）当, 即时，‎ ‎ ，与矛盾。‎ ‎ 综上所述，所求椭圆方程为 例题15　已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q 两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。‎ ‎ 错解 设符合题意的直线存在，并设、‎ ‎ 则 ‎ （1）得 ‎ 因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以 ‎ 将(4)、(5)代入（3）得 ‎ 若，则直线的斜率 ‎ 所以符合题设条件的直线存在。其方程为 ‎ 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。‎ ‎ 应在上述解题的基础上，再由 得 ‎ 根据,说明所求直线不存在。‎ 例题16　已知椭圆，F为它的右焦点，直线过原点交椭圆C于A、B两点。求是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。‎ ‎ 错解 设A、B两点坐标分别为、‎ ‎ 因为， 所以，‎ ‎ 又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5， 所以 ‎ 即，同理 ‎ 所以 ‎ 设直线的方程为y=kx，代入椭圆方程得 ‎ 所以 ‎ 代入(1)式得 ‎ 所以，所以|有最小值3,无最大值。‎ ‎ 剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当的斜率不存在时，‎ 有 ‎ 所以有最小值为 3，最大值为25/4‎ 课后练习题 ‎1、圆x2 + 2x + y2 + 4y –3 = 0上到直线x + y + 1 = 0的距离等于的点共有（ ）‎ A、1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个 分析：这里直线和圆相交，很多同学受思维定势的影响，错误地认为圆在此直线的两侧各有两点到直线的距离为，导致错选（ D ）。‎ ‎ ‎ 事实上，已知圆的方程为：‎ ‎（x +1）2 + (y+2) 2 = 8，这是一个 以（-1，-2）为圆心，以2为 半径的圆，圆的圆心到直线 x + y + 1 = 0的距离 为d==，‎ 这样只需画出（x +1）2 + (y+2) 2 = 8‎ 和直线x + y + 1 = 0以及和x + y + 1 = 0的距离为的平行直线即可。‎ 如图2所示，图中三个点A、B、C为所求，故应选（C）。‎ ‎2、过定点（1，2）作两直线与圆相切，则k的取值范围是 A k>2 B -32 D 以上皆不对 解 答：D 易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑 ‎3、设双曲线的半焦距为C，直线L过两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为 A 2 B 2或 C D ‎ 解 答：D 易错原因：忽略条件对离心率范围的限制。‎ ‎4、已知二面角的平面角为，PA，PB，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱的距离为别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的 ‎ ‎ ‎ A B C D 解 答： D ‎ 易错原因：只注意寻找的关系式，而未考虑实际问题中的范围。‎ ‎5、若曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是 A B C D 解 答：C ‎ 易错原因：将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系。‎ ‎6、已知圆+y=4 和 直线y=mx的交点分别为P、Q两点，O为坐标原点， ‎ 则︱OP︱·︱OQ︱=( )‎ A 1+m B C 5 D 10‎ 正确答案： C 错因：学生不能结合初中学过的切割线定︱OP︱·︱OQ︱等于切线长的平方来解题。‎ ‎7、双曲线－＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（ ）‎ A 8x-9y=7 B 8x+9y=‎25 ‎‎ C 4x-9y=16 D 不存在 正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。‎ ‎8、已知是三角形的一个内角，且sin+cos=则方程xsin－ycos=1表示（ ）‎ A 焦点在x轴上的双曲线 B 焦点在y轴上的双曲线 C 焦点在x轴上的椭圆 D 焦点在y轴上的椭圆 正确答案：D 错因：学生不能由sin+cos=判断角为钝角。‎ ‎9、过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线交抛物线于M﹑N两点,则M﹑N﹑F三点 A 共圆 B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规律 正确答案：B 错因：学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。‎ ‎10、已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是( )‎ ‎ A、 B、‎4 C、5 D、2‎ ‎ 正确答案：B ‎ 错误原因：忽视了条件中x的取值范围而导致出错。‎ ‎11、过点(0,1)作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（　）‎ A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条 正确答案：C 错解：设直线的方程为，联立，得，‎ 即：，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.‎ 剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。‎ ‎12、已知动点P（x,y）满足，则P点的轨迹是 （ ）‎ A、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆 正确答案：A 错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上。‎ ‎13、在直角坐标系中，方程所表示的曲线为（　）‎ A．一条直线和一个圆 　B．一条线段和一个圆 ‎ C．一条直线和半个圆 　　D．一条线段和半个圆 正确答案：D　　　　　　错因：忽视定义取值。‎ ‎14、设和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则 的面积是（ ）。‎ A.1　　　　B.　　　　C.　2　　　　D.‎ 正解：A　　 ‎ ‎ ①‎ 又 ②‎ 联立①②解得　　　　　‎ 误解：未将两边平方，再与②联立，直接求出。‎ ‎15、已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为，若双曲线上有一点M（），使，那双曲线的交点（ ）。‎ A.在轴上　B.在轴上　C.当时在轴上　D.当时在轴上 正解：B。 由得，可设，此时的斜率大于渐近线的斜率，由图像的性质，可知焦点在轴上。所以选B。‎ 误解：设双曲线方程为，化简得：，‎ 代入，，，焦点在轴上。这个方法没错，但确定有误，应，焦点在轴上。‎ 误解：选B，没有分组。‎ ‎16、与圆相切，且纵截距和横截距相等的直线共有（ ）‎ ‎ A、2条 B、3条 C、4条 D、6条 ‎ 答案：C 错解：A 错因：忽略过原点的圆C的两条切线 ‎17、若双曲线的右支上一点P（a,b）直线y=x的距离为，则a+b 的值是（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ 答案：B ‎ 错解：C ‎ 错因：没有挖掘出隐含条件 ‎18、双曲线中，被点P（2，1）平分的弦所在的直线方程为（ ）‎ ‎　　 A、 B、 C、 D、不存在 ‎ 答案：D ‎ 错解：A ‎ 错因：没有检验出与双曲线无交点。‎ ‎19、过函数y=-的图象的对称中心，且和抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线的条数共有（ ）‎ A、1条 B、2条 C、3条 D、不存在 正确答案：（B）‎ 错误原因 ：解本题时极易忽视中心（2，4）在抛物线上，切线只有1条，又易忽视平行于抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。‎ ‎20、双曲线上的点P到点(5,0)的距离为8.5，则点P到点()的距离_______。‎ ‎ 错解 设双曲线的两个焦点分别为,,‎ ‎ 由双曲线定义知 ‎ 所以或 ‎ 剖析 由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,‎ 所以不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P的存在情况，然后再求解。如本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故点P只能在右支上，所求 ‎21、一双曲线与椭圆有共同焦点，并且与其中一个交点的纵坐标为4，则这个双曲线的方程为_____。‎ 正解：-，设双曲线的方程为 （27）‎ 又由题意知 ‎ 故所求双曲线方程为 误解：不注意焦点在轴上，出现错误。‎ ‎22、过双曲线x2－的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有___________条。‎ 错解：2‎ 错因：设代入椭圆的方程算出有两条，当不存在，即直线AB轴时，‎ ‎｜AB｜＝4，忽视此种情况。正解：3‎ ‎23、一动点到定直线x=3的距离是它到定点F（4，0）的距离的比是，则动点轨道方程为 。‎ ‎ 答案：‎ ‎ 错解：由题意有动点的轨迹是双曲线，又F（4，0），所以c=4，又准线x=3,‎ 所以，故双曲线方程为 ‎ 错因：没有明确曲线的中心位置，而套用标准方程。‎ ‎24、经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为的弦AB，则的周长为 。‎ ‎ 答案：设其中 ‎，‎ 所以，将弦AB的方程代入双曲线方程，‎ 整理得，‎ 可求得，故答案为 ‎ 错解：10‎ ‎ 错因：作图错误，没有考虑倾斜角为的直线与渐近线的关系，而误将直线作成与右支有两交点。‎ ‎25、如果不论实数b 取何值，直线与双曲线总有公共点，那么k的取值范围为 。‎ ‎ 答案：‎ ‎ 错解：‎ ‎ 错因：没考虑b=0时，直线不能与渐近线平行。‎ ‎26、双曲线上有一点P到左准线的距离为,则P到右焦点的距离为 。‎ 错解：设F1、F2分别为由双曲线的左、右焦点，则由双曲线的方程为，易求得a=3,c=5,从而离心率e＝,再由第二定义，易求|PF1|=ed1＝，于是又由第一定义，得|PF2|=。‎ 剖析：以上出现两解的原因是考虑到P可能在不同的两支上。‎ 而事实上P若在右支上，则其到F1的最短距离应为右顶点A2到F1的距离| A‎2 F1|＝a+c＝8，而，故点P只能在左支，于是|PF2|=。‎ 小结：一般地，若|PF1| ≥ a+c,则P可能在两支上，‎ 若|PF1| < a+c,则P只能在一支上。‎ ‎27、已知双曲线的一条准线方程为x=2,其相应的焦点为(8,0)，离心率为，求双曲线的方程。‎ 错解：由,于是可求得双曲线的方程为 ‎。‎ 点评：看起来问题已经解决，然而离心率这个条件似乎多余，而根据求得的方程又得不到离心率为。错误是显然的，那么问题在哪里呢？其实问题就在于此方程并不是标准方程，而我们把它当作了标准方程。正确的做法是利用双曲线的第二定义来求出方程（下略）。由此看来，判断准方程的类型是个关键。‎ ‎28、过点(0,1)作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有 A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条 错解：设直线的方程为，联立，得，‎ 即：，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.‎ 剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。‎ 小结：直线与抛物线只有一解时，并不一定相切，当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一解。‎ ‎29、已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围。‎ 错解：曲线C：可化为（1），联立，得：‎ ‎，由Δ＝0,得。‎ 分析：方程（1）与原方程并不等价，应加上。‎ 故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分。（如图），结合图形易求得m的范围为。‎ 解题回顾：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错。‎ ‎30、设双曲线的渐近线为：，求其离心率。‎ 错解：由双曲线的渐近线为：，可得：，从而 剖析：由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在x轴上的，当焦点的位置在y轴上时，，故本题应有两解，即：或。‎ ‎31、已知双曲线，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点。‎ 错解：（1）过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求。‎ ‎（2）设过P的直线方程为，代入并整理得：‎ ‎∴，又∵ ∴‎ 解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的。‎ 剖析：本题的问题在于没有考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在。‎ 解题反思：使用一元二次方程的根与系数的关系必需要注意检验根的判别式是否成立。‎ ‎32、直线L：与圆O：相交于A、B两点，当k变动时，弦AB的中点M的轨迹方程。‎ 错解：易知直线恒过定点P（5,0），再由，得：‎ ‎∴，整理得：‎ 剖析：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点M应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，此时。‎ ‎33、设点P(x,y)在椭圆上，求的最大、最小值。‎ 错解：因 ∴，得：，同理得：，‎ 故 ∴最大、最小值分别为3,-3.‎ 剖析：本题中x、y除了分别满足以上条件外，还受制约条件的约束。当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3。其实本题只需令，则，故其最大值为，最小值为。‎