高考数学资料——5年高考题3年模拟题分类汇编专题7导数部分 56页

第三章 导数及其应用 第一部分 五年高考荟萃 一、选择题 ‎1.(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是 ( )‎ A. B.(0,3) C.(1,4) D. ‎ ‎2.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( ) ‎ ‎3.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线 在点处的切线方程是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案 A 解析 由得几何，‎ 即，∴∴，∴切线方程，即选A ‎4.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ( ) ‎ A．或 B．或 C．或 D．或 答案 A 解析 设过的直线与相切于点，所以切线方程为 即，又在切线上，则或，‎ 当时，由与相切可得，‎ 当时，由与相切可得，所以选.‎ ‎5.（2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为 ‎，则曲线在点处切线的斜率为 ( )‎ A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ 答案 A 解析 由已知，而，所以故选A 力。‎ ‎6.（2009全国卷Ⅱ理）曲线在点处的切线方程为 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ 答案 B 解 ,‎ 故切线方程为,即 故选B.‎ ‎7.（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，‎ 则函数在区间上的图象可能是 ( )‎ y a b a b a o x o x y b a o x y o x y b A ． B． C． D．‎ ‎8.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝ ( )‎ A. B‎.3 C. D.4‎ 答案 C 解析 由题意 ①‎ ‎ ②‎ ‎ 所以,‎ ‎ 即2‎ ‎ 令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)‎ ‎ ∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2 于是2x1＝7－2x2‎ ‎9.（2009天津卷理）设函数则 ( )‎ A在区间内均有零点。 ‎ B在区间内均无零点。‎ C在区间内有零点，在区间内无零点。‎ D在区间内无零点，在区间内有零点。 ‎ ‎【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。‎ 解析 由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间 为增函数，在点处有极小值；又 ‎，故选择D。‎ 二、填空题 ‎10.（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则 ‎ 解析 f’(x)＝‎ ‎ f’(1)＝＝‎0 Þ a＝3‎ 答案 3‎ ‎11.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .‎ 解析 解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。‎ 解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当 如图2，此时正好有一个交点，故有应填 或是。‎ 解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得 ‎12.（2009江苏卷）函数的单调减区间为 . ‎ 解析 考查利用导数判断函数的单调性。 ‎ ‎，‎ 由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。‎ ‎13.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . ‎ 解析 考查导数的几何意义和计算能力。 ‎ ‎，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）‎ 答案 : ‎ ‎【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.‎ ‎14.（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.‎ 答案 ‎ ‎ 解析 由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，‎ 所以。‎ ‎15.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . ‎ 答案 -2‎ ‎16.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：‎ ‎①设是平面上的线性变换，，则 ‎ ‎②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； ‎ ‎③对，则是平面上的线性变换； ‎ ‎④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。‎ 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）‎ 答案 ①③④‎ 解析 ①：令，则故①是真命题 同理，④：令，则故④是真命题 ‎③：∵，则有 是线性变换，故③是真命题 ‎②：由，则有 ‎∵是单位向量，≠0，故②是假命题 ‎【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，‎ 突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。‎ ‎17.（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。‎ 答案 ‎ 解析 ，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即 三、解答题 ‎18.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）‎ 设函数在两个极值点，且 ‎（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；‎ ‎(II)证明：‎ 分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。‎ 大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根 则有 故有 ‎ 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。‎ ‎(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。‎ 解析 由题意有．．．．．．．．．．．．①‎ 又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②‎ 消去可得．‎ 又，且 ‎ ‎19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数 ．‎ ‎ （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；‎ ‎ （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．‎ 解析 （Ⅰ）由题意得 ‎ 又 ，解得，或 ‎ （Ⅱ）函数在区间不单调，等价于 ‎ 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 ‎ 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ‎ ， 即：‎ ‎ 整理得：，解得 ‎20.（2009北京文）（本小题共14分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.‎ 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．‎ ‎（Ⅰ）,‎ ‎∵曲线在点处与直线相切，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）∵,‎ 当时，，函数在上单调递增，‎ 此时函数没有极值点.‎ 当时，由，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎∴此时是的极大值点，是的极小值点.‎ ‎21.（2009北京理）（本小题共13分）‎ 设函数 ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.‎ ‎ 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查 综合分析和解决问题的能力．‎ ‎（Ⅰ）,‎ 曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ ‎ 若，则当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎ 若，则当时，，函数单调递增，‎ ‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，‎ 即时，函数内单调递增，‎ 若，则当且仅当，‎ 即时，函数内单调递增，‎ 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.‎ ‎22.(2009山东卷文)（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数,其中 ‎ ‎（1）当满足什么条件时,取得极值?‎ ‎（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.‎ 解: (1)由已知得,令,得,‎ 要取得极值,方程必须有解,‎ 所以△,即, 此时方程的根为 ‎,,‎ 所以 ‎ 当时,‎ x ‎(-∞,x1)‎ x 1‎ ‎(x1,x2)‎ x2‎ ‎(x2,+∞)‎ f’(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f (x)‎ 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.‎ 当时, ‎ x ‎(-∞,x2)‎ x 2‎ ‎(x2,x1)‎ x1‎ ‎(x1,+∞)‎ f’(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f (x)‎ 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.‎ 综上,当满足时, 取得极值. ‎ ‎(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.‎ 即恒成立, 所以 设,,‎ 令得或(舍去), ‎ 当时,,当时,单调增函数;‎ 当时,单调减函数,‎ 所以当时,取得最大,最大值为.‎ 所以 当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以 综上,当时, ; 当时, ‎ ‎【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.‎ ‎22.设函数，其中常数a>1‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。 ‎ 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。‎ 解析 （I） ‎ ‎ 由知，当时，，故在区间是增函数；‎ 当时，，故在区间是减函数；‎ ‎ 当时，，故在区间是增函数。‎ ‎ 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。‎ ‎ （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。‎ 由假设知 ‎ ‎ 即 解得 11时, ‎ 当x变化时，与的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ ‎－‎ ‎+‎ 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。‎ ‎②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R ‎③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 ‎ 综上：‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；‎ 当时，函数的单调增区间为R；‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为 ‎.‎ ‎(Ⅱ)由得令得 由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。‎ 观察的图象，有如下现象：‎ ‎①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。‎ ‎②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；‎ ‎③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；‎ 线段MP的斜率Kmp 当Kmp－=0时，解得 直线MP的方程为 ‎ 令 当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。‎ 当时，.‎ 所以存在使得 即当MP与曲线有异于M,P的公共点 ‎ 综上，t的最小值为2.‎ ‎（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为 解法二：‎ ‎（1）同解法一.‎ ‎（2）由得，令，得 由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()‎ ‎ (Ⅰ) 直线MP的方程为 由 得 线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 上有零点.‎ 因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.‎ 又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.‎ 等价于 即 又因为,所以m 的取值范围为(2,3)‎ 从而满足题设条件的r的最小值为2.‎ ‎36.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）‎ 设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。‎ ‎(2)求a的值，并讨论f（x）的单调性；‎ ‎(1)证明：当 ‎ 解析 （Ⅰ）.有条件知，‎ ‎，故. ………2分 于是.‎ 故当时，＜0； ‎ 当时，＞0.‎ 从而在，单调减少，在单调增加. ………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，‎ 最小值为. ‎ 从而对任意，，有. ………10分 ‎ 而当时，.‎ ‎ 从而 ………12分 ‎37.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。‎ ‎（1）讨论函数的单调性； ‎ ‎（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。‎ 解析 (1)的定义域为。‎ ‎2分 ‎（i）若即,则 故在单调增加。‎ ‎(ii)若,而,故,则当时，;‎ 当及时，‎ 故在单调减少，在单调增加。‎ ‎(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.‎ ‎(II)考虑函数 ‎ 则 由于11,证明对任意的c,都有M>2: ‎ ‎ (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。‎ 本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）‎ ‎（I）解析 ，由在处有极值 可得 解得或 若，则，此时没有极值；‎ 若，则 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ 极小值 极大值 当时，有极大值，故，即为所求。‎ ‎（Ⅱ）证法1：‎ 当时，函数的对称轴位于区间之外。‎ 在上的最值在两端点处取得 故应是和中较大的一个 即 证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，‎ 在上的最值在两端点处取得。‎ 故应是和中较大的一个 假设，则 ‎ ‎ 将上述两式相加得：‎ ‎，导致矛盾，‎ ‎（Ⅲ）解法1：‎ ‎（1）当时，由（Ⅱ）可知；‎ ‎（2）当时，函数）的对称轴位于区间内， ‎ 此时 由有 ‎①若则，‎ 于是 ‎②若，则 于是 综上，对任意的、都有 而当时，在区间上的最大值 故对任意的、恒成立的的最大值为。 ‎ 解法2：‎ ‎（1）当时，由（Ⅱ）可知； ‎ ‎（2）当时，函数的对称轴位于区间内，‎ 此时 ‎ ‎ ‎，即 下同解法1‎ ‎43.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ (1) 设，求函数的极值；‎ (2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 ‎ ‎（21）解析 ‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得 ‎ ‎ 令 ‎ 列表讨论的变化情况：‎ ‎（-1，3）‎ ‎3‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值6‎ 极小值-26‎ 所以，的极大值是，极小值是 ‎（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.‎ 若上是增函数，从而 ‎ 上的最小值是最大值是 由于是有 ‎ 由 所以 ‎ 若a>1,则不恒成立.‎ 所以使恒成立的a的取值范围是 ‎ ‎44.（2009天津卷理）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数其中 ‎(1)当时，求曲线处的切线的斜率； ‎ ‎(2)当时，求函数的单调区间与极值。 ‎ 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。‎ ‎（I）解析 ‎ ‎（II） ‎ 以下分两种情况讨论。‎ ‎（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ ‎（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ ‎45.（2009四川卷理）（本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎（I）求函数的定义域，并判断的单调性；‎ ‎（II）若 ‎（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。‎ 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。‎ 解析 （Ⅰ）由题意知 当 当 当….（4分）‎ ‎（Ⅱ）因为 由函数定义域知>0,因为n是正整数，故00,‎ ‎1036时，V′>0,‎ 所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960…………………………………………………10分 又V(0)=0,V(24)=0, ……………………………………………………………………11分 所以当x=10,V有最大值V(10)=1960 …………………………………………………12分 第二部分 三年联考汇编 ‎2009年联考题 一、选择题 ‎1.(2009威海二模)右图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象，则 函数的零点所在的区间是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 答案 C ‎2.（2009天津重点学校二模）已知函数是定义在R上的奇函数，且当 时不等式成立， 若， ‎ ‎，则的大小关系是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案 C ‎3.（2009嘉兴一中一模）下列图像中有一个是函数 的导数 的图像，则 （ ）‎ A. B. C. D.或 答案 B ‎－2‎ ‎4‎ ‎4.（2009年乐陵一中）图中,阴影部分的面积是 ( )‎ A.16 B.18 ‎ ‎ C.20 D.22‎ 答案 B 二、填空题 ‎－2‎ x y O ‎5.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知函数f(x)的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,为f(x)的导函数，函数的图象如右图所示，若两正数a，b满足，则的取值范围是　 　．‎ 答案 ‎ ‎6.(湖北省黄冈市2009年3月份高三年级质量检测文)设函数 ‎(c＜0)单调递增区间是 .‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎7.（2009厦门北师大海沧附属实验中学）已知函数，其中为实数.‎ ‎(Ⅰ) 若在处取得的极值为，求的值;‎ ‎（Ⅱ）若在区间上为减函数，且，求的取值范围.‎ 解 (Ⅰ)由题设可知:‎ 且， ……………… 2分 即，解得 ……………… 4分 ‎（Ⅱ）， ……………… 5分 又在上为减函数， ‎ 对恒成立， ……………… 6分 即对恒成立.‎ 且， ……………… 10分 即，‎ 的取值范围是 ……………… 12分 ‎8.（2009厦门大同中学）设函数 ‎（1）求函数的极大值；‎ ‎（2）若时，恒有成立（其中是函数的导函数），‎ 试确定实数a的取值范围．‎ 解 （1）∵，且，………………………………1分 当时，得；当时，得；‎ ‎∴的单调递增区间为；‎ 的单调递减区间为和．…………………………………3分 故当时，有极大值，其极大值为． …………………4分 ‎（2）∵，‎ 当时，，‎ ‎∴在区间内是单调递减．…………………………………………6分 ‎∴．‎ ‎∵，∴‎ 此时，．…………………………………………………………………………9分 当时，．‎ ‎∵，∴即 ……11分 此时，．……………………………………………………………13分 综上可知，实数的取值范围为．………………………………… 14分 ‎9月份更新 ‎1.（2009东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中联考）已知函数，若的单调减区间恰为（0，4）。‎ ‎ （I）求的值：‎ ‎ （Ⅱ）若对任意的，关于的方程总有实数解，求实数的取值范围。‎ 解：（1）‎ ‎ 又 ‎ （Ⅱ）时时 ‎ 且 8分 ‎ 解得 ‎2.（2009天津六校联考）已知函数 ‎（1）若 时，函数 在其定义域内是增函数，求b的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的结论下，设函数 ，求函数的最 ‎3.（2009汉沽一中第六次月考）已知，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：在上是减函数；‎ ‎（Ⅱ）如果对不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）当时， ‎ ‎∵ ‎ ‎ ‎ ‎∴在上是减函数 ‎ ‎（Ⅱ）∵不等式恒成立 即不等式恒成立 ‎∴不等式恒成立 ‎ 当时， 不恒成立 ‎ 当时，不等式恒成立 ‎ 即 ‎∴ ‎ 当时，不等式不恒成立 综上所述，的取值范围是 ‎ ‎4.（2009和平区一模）已知函数 ‎(Ⅰ)求的值域；‎ ‎(Ⅱ)设，函数．若对任意，总存在，使，求实数的取值范围．‎ 解：（Ⅰ），‎ ‎ 令，得或． ‎ ‎ 当时，在上单调递增；‎ ‎ 当时，在上单调递减，‎ ‎ 而，‎ ‎ 当时，的值域是． ‎ ‎(Ⅱ)设函数在上的值域是A，‎ 若对任意．总存在1,使，‎ ‎． ‎ ‎．‎ ‎①当时，，‎ ‎ 函数在上单调递减．‎ ‎ ，‎ · 当时，不满足； ‎ ‎②当时，，‎ 令，得或(舍去) ‎ ‎（i）时，的变化如下表：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎．‎ ‎，解得． ‎ ‎(ii)当时，‎ ‎ 函数在上单调递减．‎ ‎ ，当时，不满．‎ 综上可知，实数的取值范围是． ‎ ‎5.（2009河北区一模）已知函数 ‎（I）若是的极值点，求在上的最小值和最大值；‎ ‎（Ⅱ）若上是增函数，求实数的取值范围。‎ 解：（I）‎ ‎ 有极大值点，极小值点。‎ ‎ 此时在上是减函数，在上是增函数。‎ 在上的最小值是-18，最大值是-6‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ 当时，是增函数，其最小值为 ‎ ‎ ‎ 时也符合题意，‎ ‎ ‎ ‎6.（2009河东区一模）设函数 ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若对时恒成立，求实数的取值范围 解：（1）‎ 时，取得最小值，‎ 即 ‎（2）令 由，得或（舍去）‎ ‎（0,1）‎ ‎1‎ ‎（1,2）‎ ‎0‎ 增 极大值 减 在内有最大值，‎ 对时恒成立等价于恒成立。‎ 即 ‎7.（2009河西区一模）已知函数，其中实数，‎ ‎ （I）求函数的单调区间；‎ ‎ （Ⅱ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围。‎ 解：（I）‘ ‎ 又令，得 ‎①若，则当或时。当时，‎ 在和内是增函数，在内是减函数，‎ ‎②若则当或时，当时，‎ 在和内是增函数，在内是减函数 ‎（Ⅱ）当时，在和内是增函数，故 在内是增函数。‎ 由题意得 解得 当时，在和内是增函数，在内是增函数。‎ 由题意得 解得 综上知实数的取值范围为 ‎ 2007—2008年联考题 一、选择题 ‎1.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别 是 （ ）‎ A. 5,-15 B. 5,‎-4 ‎ C. -4,-15 D. 5,-16 ‎ 答案 A ‎2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)若存在，则不可 能为 （ ）‎ A．；　　　　　 Ｂ．；　　　　 Ｃ．；　　　　 　Ｄ．；‎ 答案 B ‎3.(江西省五校2008届高三开学联考)设函数 的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是 ( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 答案 C ‎4.(江西省五校2008届高三开学联考)已知 ( )‎ A．－4 B．‎8 ‎ C．0 D．不存在 答案 B x y x4‎ O oO ‎5.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数的导函数的图像如下，则 （ ）‎ ‎ A．函数有1个极大值点，1个极小值点 ‎ B．函数有2个极大值点，2个极小值点 C．函数有3个极大值点，1个极小值点 D．函数有1个极大值点，3个极小值点 答案 A 二、填空题 ‎6.（2008年高考数学各校月考）定积分的值是 .‎ 答案 3 ‎ ‎7.(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知函数在 x＝－1时有极值0，则m＝_________；n＝_________；‎ 本题主要考查函数、导数、极值等基本概念和性质0‎ 答案 m＝2，n＝9.‎ 解析 ＝3x2＋6mx＋n 由题意，＝3－‎6m＋n＝‎0 ‎f(－1)＝－1＋‎3m－n＋m2＝0 解得或 但m＝1，n＝3时，＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立 即x＝－1时不是f(x)的极值点，应舍去 ‎8.(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图为函数的图象，‎ 为函数的导函数，则不等式的解集为______ ______．‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎8.(2007年江苏省淮安市)已知函数F(x)=|2x－t|－x3+x+1（x∈R，t为常数，t∈R）‎ ‎（1）写出此函数F(x)在R上的单调区间；‎ ‎（2）若方程F(x)－m=0恰有两解，求实数m的值。‎ 解 （1）∴ ‎ 由－3x2+3=0 得x1=－1，x2=1，而－3x2－1<0恒成立 ‎∴ i) 当<－1时，F(x)在区间(－∞，－1)上是减函数 在区间(－1，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数 ii) 当1>≥－1时，F(x)在区间(－∞，)上是减函数 在区间(，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数 iii) 当≥1时，F(x)在(－∞，+∞)上是减函数 ‎ （2）由（1）可知 i) 当<－1时，F(x)在x=－1处取得极小值－1－t，‎ 在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，‎ 此时m=－1－t或m=3－t ii) 当－1≤<1，F(x)在x=处取值为，‎ 在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，‎ 此时m=或m=3－t ‎9.(2008年四川省成都市一诊)已知函数是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴 的上方，对任意的，都有，且，又当时，其导函数恒成立。‎ ‎（Ⅰ）求f(0)、f(-1)的值；‎ ‎（Ⅱ）解关于x的不等式：，其中 解 (1)由f(m·n)＝[f(m)]n得：f(0)＝f(0×0)＝[f(0)]0 ∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1 ……………………………3分 ∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]2＝4，又f(x)＞0∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2 …………………3分 (2)‎ 又当时，其导函数恒成立，∴在区间上为单调递增函数 ‎∴‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，，∴；‎ ‎③当时，，∴‎ 综上所述：当时，；当时，；‎ 当时，。‎