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- 2021-05-14 发布
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绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)
理 科 数 学
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2.回答第I卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(X-1)(x+2)<0},则A∩B=( )
(A){--1,0} (B){0,1} (C){-1,0,1} (D){,0,,1,2}
(2)若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( )
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结论不正确的是( )
(A) 逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
(A) 2007年我国治理二氧化硫排放显现
(B) 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
(C) 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
(4)等比数列{an}满足a1=3, =21,则 ( )
(A)21 (B)42 (C)63 (D)84
(5)设函数,( )
(A)3 (B)6 (C)9 (D)12
(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
(A) (B) (C) (D)
(7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于y轴于M、N两点,则=
(A)2 (B)8
(C)4 (D)10
(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图,若输入a,b分别为14,18,则输出的a=
A.0 B.2 C.4 D.14
(9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为
A.36π B.64π C.144π D.256π
10.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f(x),则f(x)的图像大致为
(11)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,∆ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为
(A) (B)2 (C) (D)
(12)设函数f’(x)是奇函数的导函数,f(-1)=0,当时,,则使得成立的x的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题
(13)设向量,不平行,向量与平行,则实数_________.
(14)若x,y满足约束条件,则的最大值为____________.
(15)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则__________.
(16)设是数列的前n项和,且,,则________.
三.解答题
(17)∆ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,∆ABD是∆ADC面积的2倍。
(Ⅰ)求;
(Ⅱ) 若=1,=求和的长.
(18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);
(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记时间C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率
19.(本小题满分12分)
如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E = D1F = 4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求直线AF与平面α所成的角的正弦值。
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C:,直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M。
(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由。
21.(本小题满分12分)
设函数。
(1)证明:在单调递减,在单调递增;
(2)若对于任意,都有,求m的取值范围。
G
A
E
F
O
N
D
B
C
M
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写清题号
22.(本小题满分10分)
选修4 - 1:几何证明选讲
如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与ΔABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点。
(1)证明:EF∥BC;
(2)若AG等于⊙O的半径,且,求四边形EBCF的面积。
23.(本小题满分10分)
选修4 - 4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t ≠ 0),其中0 ≤ α < π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:,C3:。
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求的最大值。
24.(本小题满分10分)
选修4 - 5:不等式选讲
设a,b,c,d均为正数,且a + b = c + d,证明:
(1)若ab > cd;则;
(2)是的充要条件。
参考答案
一.选择题
(1)A (2)B (3)D (4)B (5)C (6)D
(7)C (8)B (9)C (10)B (11)D (12)A
二.填空题
(13) (14) (15)3 (16)
三.解答题
(17)解:
(Ⅰ)
因为,,所以
由正弦定理可得
(Ⅱ)因为,所以
在和中,由余弦定理知
,
故
由(Ⅰ)知,所以
(18)解:
(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散。
(Ⅱ)记表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;
表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;
表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;
表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,
则与独立,与独立,与互斥,,
由所给数据得发生的频率分别为,故
(19)解:
(Ⅰ)交线围成的正方形如图:
(Ⅱ)作,垂足为,则
因为为正方形,所以
于是,所以
以D为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所以的空间直角坐标系,则
设是平面的法向量,则
即
所以可取
又,故
所以AF与平面所成角的正弦值为
(20)解:
(Ⅰ)设直线
将代入得,故
于是直线的斜率,即
所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值
(Ⅱ)四边形能为平行四边形
因为直线过点,所以不过原点且与有两个交点的充要条件是
由(Ⅰ)得的方程为
设点的横坐标为
由得,即
将点的坐标代入的方程得,因此
四变现为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分,即
于是,解得
因为,所以当的斜率为或时,四边形为平行四边形
(21)解:
(Ⅰ)
若,则当时,;当时,,
若,则当时,;当时,,
所以,在单调递减,在单调递增
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故在处取得最小值,所以对于任意的充要条件是
即
①
设函数,则
当时,;当时,,故在单调递减,在单调递增。
又,故当时,
当时,,即①式成立;
当时,由的单调性,,即;
当时,,即
综上,的取值范围是[-1,1]
(22)解:
(Ⅰ)由于是等腰三角形,,所以是的平分线
又因为分别与AB,AC相切于点E,F,所以,故
从而
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,故是的垂直平分线.又为的弦,所以在上
连结,则
由等于的半径得,所以,因此和都是等边三角形
因为,所以
因为,所以,于是
所以四边形的面积为
(23)解:
(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为.
联立 解得 或
所以与交点的直角坐标为和
(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,其中
因此的极坐标为,的极坐标为
所以
当时,取得最大值,最大值为4
(24)解:
(Ⅰ)因为,
由题设得
因此
(Ⅱ)(ⅰ)若,则,即
因为,所以
由(Ⅰ)得
(ⅱ)若,则,即
因为,所以,于是
因此
综上,是的充要条件