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  • 2021-05-14 发布

全国高考理科数学试题及答案

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绝密★启用前 ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)‎ 理 科 数 学 注意事项:‎ ‎1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。‎ ‎2.回答第I卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。‎ ‎4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ (1) 已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(X-1)(x+2)<0},则A∩B=( )‎ ‎(A){--1,0} (B){0,1} (C){-1,0,1} (D){,0,,1,2}‎ ‎(2)若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( )‎ ‎ (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2‎ ‎(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结论不正确的是( )‎ (A) 逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (A) ‎2007年我国治理二氧化硫排放显现 (B) ‎2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (C) ‎2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎(4)等比数列{an}满足a1=3, =21,则 ( )‎ ‎(A)21 (B)42 (C)63 (D)84‎ ‎(5)设函数,( )‎ ‎(A)3 (B)6 (C)9 (D)12‎ ‎(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于y轴于M、N两点,则=‎ ‎(A)2 (B)8 ‎ ‎ (C)4 (D)10‎ ‎(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图,若输入a,b分别为14,18,则输出的a=‎ A.0 B.2 C.4 D.14‎ ‎(9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π ‎10.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f(x),则f(x)的图像大致为 ‎(11)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,∆ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为 ‎(A) (B)2 (C) (D)‎ ‎(12)设函数f’(x)是奇函数的导函数,f(-1)=0,当时,,则使得成立的x的取值范围是 A. B.‎ C. D.‎ 二、填空题 ‎(13)设向量,不平行,向量与平行,则实数_________.‎ ‎(14)若x,y满足约束条件,则的最大值为____________.‎ ‎(15)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则__________.‎ ‎(16)设是数列的前n项和,且,,则________.‎ 三.解答题 ‎(17)∆ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,∆ABD是∆ADC面积的2倍。‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ) 若=1,=求和的长.‎ ‎(18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:‎ A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76‎ ‎ 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89‎ B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82‎ ‎ 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79‎ ‎(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);‎ ‎(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级:‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率 ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图,长方体ABCD—A1B‎1C1D1中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E,F分别在A1B1,D‎1C1上,A1E = D‎1F = 4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。‎ ‎(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);‎ ‎(2)求直线AF与平面α所成的角的正弦值。‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆C:,直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M。‎ ‎(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;‎ ‎(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由。‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 设函数。‎ ‎(1)证明:在单调递减,在单调递增;‎ ‎(2)若对于任意,都有,求m的取值范围。‎ G A E F O N D B C M 请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 ‎22.(本小题满分10分)‎ 选修4 - 1:几何证明选讲 如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与ΔABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点。‎ ‎(1)证明:EF∥BC;‎ ‎(2)若AG等于⊙O的半径,且,求四边形EBCF的面积。‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 选修4 - 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t ≠ 0),其中0 ≤ α < π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:,C3:。‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标;‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求的最大值。‎ ‎24.(本小题满分10分)‎ 选修4 - 5:不等式选讲 设a,b,c,d均为正数,且a + b = c + d,证明:‎ ‎(1)若ab > cd;则;‎ ‎(2)是的充要条件。‎ 参考答案 一.选择题 ‎(1)A (2)B (3)D (4)B (5)C (6)D ‎(7)C (8)B (9)C (10)B (11)D (12)A 二.填空题 ‎(13) (14) (15)3 (16)‎ 三.解答题 ‎(17)解:‎ ‎(Ⅰ)‎ 因为,,所以 由正弦定理可得 ‎(Ⅱ)因为,所以 在和中,由余弦定理知 ‎,‎ 故 由(Ⅰ)知,所以 ‎(18)解:‎ ‎(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散。‎ ‎(Ⅱ)记表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;‎ 表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;‎ 表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;‎ 表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,‎ 则与独立,与独立,与互斥,,‎ 由所给数据得发生的频率分别为,故 ‎(19)解:‎ ‎(Ⅰ)交线围成的正方形如图:‎ ‎(Ⅱ)作,垂足为,则 因为为正方形,所以 于是,所以 以D为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所以的空间直角坐标系,则 设是平面的法向量,则 即 所以可取 又,故 所以AF与平面所成角的正弦值为 ‎(20)解:‎ ‎(Ⅰ)设直线 将代入得,故 于是直线的斜率,即 所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值 ‎(Ⅱ)四边形能为平行四边形 因为直线过点,所以不过原点且与有两个交点的充要条件是 由(Ⅰ)得的方程为 设点的横坐标为 由得,即 将点的坐标代入的方程得,因此 四变现为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分,即 于是,解得 因为,所以当的斜率为或时,四边形为平行四边形 ‎(21)解:‎ ‎(Ⅰ)‎ 若,则当时,;当时,,‎ 若,则当时,;当时,,‎ 所以,在单调递减,在单调递增 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故在处取得最小值,所以对于任意的充要条件是 即 ‎ ①‎ 设函数,则 当时,;当时,,故在单调递减,在单调递增。‎ 又,故当时,‎ 当时,,即①式成立;‎ 当时,由的单调性,,即;‎ 当时,,即 综上,的取值范围是[-1,1]‎ ‎(22)解:‎ ‎(Ⅰ)由于是等腰三角形,,所以是的平分线 又因为分别与AB,AC相切于点E,F,所以,故 从而 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,故是的垂直平分线.又为的弦,所以在上 连结,则 由等于的半径得,所以,因此和都是等边三角形 因为,所以 因为,所以,于是 所以四边形的面积为 ‎(23)解:‎ ‎(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为.‎ 联立 解得 或 所以与交点的直角坐标为和 ‎(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,其中 因此的极坐标为,的极坐标为 所以 当时,取得最大值,最大值为4‎ ‎(24)解:‎ ‎(Ⅰ)因为,‎ 由题设得 因此 ‎(Ⅱ)(ⅰ)若,则,即 因为,所以 由(Ⅰ)得 ‎(ⅱ)若,则,即 因为,所以,于是 因此 综上,是的充要条件