高考数学复习资料分专题整理含答案 45页

高三一轮复习讲座一 ---- 集合与简易逻辑 一、复习要求 ‎ 1、 理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；‎ 2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；‎ 3、 理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；‎ 4、 理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；‎ ‎ 5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。‎ 二、学习指导 ‎ 1、集合的概念：‎ （1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；‎ （2） 集合的分类：‎ ① 按元素个数分：有限集，无限集；‎ ‎ ②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；‎ （3） 集合的表示法：‎ ‎ ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。‎ ‎2、两类关系：‎ （1） 元素与集合的关系，用或表示；‎ ‎ （2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。‎ ‎3、集合运算 ‎ （1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集；‎ （2） 运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），‎ CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。‎ ‎ 4、命题：‎ （1） 命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；‎ （2） 复合命题的形式：p且q，p或q，非p；‎ ‎ （3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。‎ ‎ （3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。‎ 5、 充分条件与必要条件 ‎ （1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；‎ ‎ （2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则当AB时，p是q的充分条件。BA时，p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件；‎ （3） 当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。‎ 6、 反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。‎ ‎ 7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。‎ 三、典型例题 ‎ 例1、已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。‎ 解题思路分析：‎ 在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}‎ ‎∴ M∩N=M={y|y≥1}‎ 说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x，y）|y=x2+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。‎ 例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B+{x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。‎ 解题思路分析：‎ 化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA 根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}‎ 当B=φ时，△=m2-8<0‎ ‎∴ ‎ 当B={1}或{2}时，，m无解 当B={1，2}时，‎ ‎∴ m=3‎ 综上所述，m=3或 说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。‎ 例3、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 证x、y中至少有一个大于1。‎ 解题思路分析：‎ 假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾 ‎∴ 假设不成立 ‎∴ x、y中至少有一个大于1‎ 说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。‎ 例4、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。‎ 解题思路分析：‎ 利用“”、“”符号分析各命题之间的关系 ‎ DCBA ‎∴ DA，D是A的充分不必要条件 说明：符号“”、“”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。‎ 例5、求直线l：ax-y+b=0经过两直线l1：2x-2y-3=0和l2：3x-5y+1=0交点的充要条件。‎ 解题思路分析：‎ 从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。‎ 由 得l1，l2交点P（）‎ ‎∵ l过点P ‎∴ ‎ ‎∴ 17a+4b=11‎ 充分性：设a，b满足17a+4b=11‎ ‎∴ ‎ 代入l方程：‎ 整理得：‎ 此方程表明，直线l恒过两直线的交点（）‎ 而此点为l1与l2的交点 ‎∴ 充分性得证 ‎∴ 综上所述，命题为真 说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。‎ 四、同步练习 （一） 选择题 1、 设M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是 A、{a}=M B、M{a} C、{a}M D、M{a}‎ 2、 已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，则a的取值范围是 A、 ‎[0，2] B、（-2，2） C、（0，2] D、（0，2）‎ 3、 已知集合M={x|x=a2-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b2-b，b∈R}，则M，N的关系是 A、 MN B、MN C、M=N D、不确定 ‎ 4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是 A、11 B、‎10 C、16 D、15‎ ‎5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是 A、15 B、‎16 C、31 D、32‎ ‎6、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是 ‎ A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真 C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真 ‎7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎ 8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3l+1，l∈Z}，S={y|y=‎6m+1，m∈Z}之间的关系是 A、SBA B、S=BA C、SB=A D、SB=A ‎9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 A、00时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，‎ （1） 求证：f(0)=1；‎ （2） 求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；‎ （3） 证明：f(x)是R上的增函数；‎ （4） 若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。‎ 分析：‎ （1） 令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2‎ ‎ ∵ f(0)≠0‎ ‎ ∴ f(0)=1‎ （2） 令a=x，b=-x ‎ 则 f(0)=f(x)f(-x)‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 由已知x>0时，f(x)>1>0‎ ‎ 当x<0时，-x>0，f(-x)>0‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 又x=0时，f(0)=1>0‎ ‎ ∴ 对任意x∈R，f(x)>0‎ （3） 任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ f(x2)>f(x1)‎ ‎ ∴ f(x)在R上是增函数 （4） f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)‎ ‎ 又1=f(0)，f(x)在R上递增 ‎ ∴ 由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0‎ ‎ ∴ 0b>c B、a>c>b C、b>c>a D、c>b>a ‎2、方程（a>0且a≠1）的实数解的个数是 A、0 B、‎1 C、2 D、3‎ ‎3、的单调减区间是 A、（-∞，1） B、（1，+∞） C、（-∞，-1）∪（1，+∞） D、（-∞，+∞）‎ 1、 函数的值域为 A、 ‎（-∞，3] B、（-∞，-3] C、（-3，+∞） D、（3，+∞）‎ 2、 函数y=log2|ax-1|（a≠b）的图象的对称轴是直线x=2，则a等于 A、 ‎ B、 C、2 D、-2‎ ‎ 6、有长度为24的材料用一矩形场地，中间加两隔墙，要使矩形的面积最大，则隔壁的长度为 A、 ‎ 3 B、‎4 C、6 D、12‎ （二） 填空题 ‎ 7、已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)=x，则=__________。‎ 8、 已知y=loga(2-x)是x的增函数，则a的取值范围是__________。‎ 9、 函数f(x)定义域为[1，3]，则f(x2+1)的定义域是__________。‎ ‎ 10、函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是__________。‎ ‎ 11、已知f(x)=log3x+3，x∈[1，9]，则y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是__________。‎ ‎12、已知A={y|y=x2-4x+6，y∈N}，B={y|y=-x2-2x+18，y∈N}，则A∩B中所有元素的和是__________。‎ ‎13、若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=mφ(x)+ng(x)+2在（0，+∞）上有最大值，则f(x)在（-∞，0）上最小值为__________。‎ ‎14、函数y=log2(x2+1)（x>0）的反函数是__________。‎ ‎15、求值：=__________。‎ （一） 解答题 ‎16、若函数 的值域为[-1，5]，求a，c。‎ ‎17、设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)3；‎ （2） 求a的取值范围。‎ 高三一轮复习讲座三 ----数 列 一、复习要求 1、 等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n项和公式及性质；‎ ‎2、一般数列的通项及前n项和计算。‎ 二、学习指导 ‎ 1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。‎ 研究数列，首先研究对应法则——通项公式：an=f(n)，n∈N+，要能合理地由数列前n项写出通项公式，其次研究前n项和公式Sn：Sn=a1+a2+…an，由Sn定义，得到数列中的重要公式：。‎ 一般数列的an及Sn,，除化归为等差数列及等比数列外，求Sn还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。‎ ‎2、等差数列 ‎ （1）定义，{an}为等差数列an+1-an=d（常数），n∈N+2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N+）；‎ ‎ （2）通项公式：an=an+(n-1)d，an=am+(n-m)d；‎ ‎ 前n项和公式：；‎ ‎ （3）性质：an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；‎ ‎ Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数；‎ 若{an}，{bn}均为等差数列，则{an±nn},{},{kan+c}（k，c为常数）均为等差数列；‎ 当m+n=p+q时，am+an=ap+aq，特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…；‎ 当2n=p+q时，2an=ap+aq；‎ 当n为奇数时，S2n-1=(2n-1)an；S奇=a中，S偶=a中。‎ ‎ 3、等比数列 （1） 定义：=q（q为常数，an≠0）；an2=an-1an+1（n≥2，n∈N+）；‎ （2） 通项公式：an=a1qn-1，an=amqn-m;‎ ‎ 前n项和公式：；‎ （3） 性质 当m+n=p+q时，aman=apaq，特例：a1an=a2an-1=a3an-2=…，‎ 当2n=p+q时，an2=apaq，数列{kan}，{}成等比数列。‎ ‎4、等差、等比数列的应用 ‎ （1）基本量的思想：常设首项、公差及首项、公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；‎ ‎ （2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；‎ ‎ （3）若{an}为等差数列，则{}为等比数列（a>0且a≠1）；‎ 若{an}为正数等比数列，则{logaan}为等差数列（a>0且a≠1）。‎ 三、典型例题 ‎ 例1、已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中，，…， 恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+kn。‎ 解题思路分析：‎ 从寻找新、旧数列的关系着手 设{an}首项为a1，公差为d ‎∵ a1，a5，a17成等比数列 ‎∴ a52=a1a17‎ ‎∴（a1+4d）2=a1(a1+16d)‎ ‎∴ a1=2d 设等比数列公比为q，则 对项来说，‎ 在等差数列中：‎ 在等比数列中：‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ 注：本题把k1+k2+…+kn看成是数列{kn}的求和问题，着重分析{kn}的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。‎ 例2、设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列{}的前n项和，求Tn。‎ 解题思路分析：‎ 法一：利用基本元素分析法 设{an}首项为a1，公差为d，则 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 此式为n的一次函数 ‎∴ {}为等差数列 ‎∴ ‎ 法二：{an}为等差数列，设Sn=An2+Bn ‎∴ ‎ 解之得：‎ ‎∴ ，下略 注：法二利用了等差数列前n项和的性质 例3、正数数列{an}的前n项和为Sn，且，求：‎ （1） 数列{an}的通项公式；‎ （2） 设，数列{bn}的前n项的和为Bn，求证：Bn.‎ 解题思路分析：‎ （I） 涉及到an及Sn的递推关系，一般都用an=Sn-Sn-1（n≥2）消元化归。‎ ‎∵ ‎ ‎∴ 4Sn=(an+1)2‎ ‎∴ 4Sn-1=(an-1+1)2（n≥2）‎ ‎∴ 4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2‎ ‎∴ 4an=an2-an-12+2an-2an-1‎ 整理得：(an-1+an)(an-an-1-2)=0‎ ‎∵ an>0‎ ‎∴ an-an-1=2‎ ‎∴ {an}为公差为2的等差数列 在中，令n=1，a1=1‎ ‎∴ an=2n-1‎ ‎ （II）‎ ‎∴ ‎ 注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4Sn=(an+1)2推出4Sn-1=(an-1+1)2，它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n-1，n+1等去代替n，实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式，代换就是对n赋值。‎ 例4、等差数列{an}中，前m项的和为77（m为奇数），其中偶数项的和为33，且a1-am=18，求这个数列的通项公式。‎ 分析：‎ 利用前奇数项和和与中项的关系 令m=2n-1，n∈N+‎ 则 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ n=4‎ ‎∴ m=7‎ ‎∴ an=11‎ ‎∴ a1+am=2an=22‎ 又a1-am=18‎ ‎∴ a1=20，am=2‎ ‎∴ d=-3‎ ‎∴ an=-3n+23‎ 例5、设{an}是等差数列，，已知b1+b2+b3=，b1b2b3=，求等差数列的通项an。‎ 解题思路分析：‎ ‎∵ {an}为等差数列 ‎∴ {bn}为等比数列 从求解{bn}着手 ‎∵ b1b3=b22‎ ‎∴ b23=‎ ‎∴ b2=‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 或 ‎ ‎∴ 或 ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ an=2n-3 或 an=-2n+5‎ 注：本题化归为{bn}求解，比较简单。若用{an}求解，则运算量较大。‎ 例6、已知{an}是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和，‎ （1） 用Sn表示Sn+1；‎ （2） 是否存在自然数c和k，使得成立。‎ ‎ 解题思路分析：‎ ‎ （1）∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎ （2）（*）‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 式（*） ①‎ ‎∵ Sk+1>Sk ‎∴ ‎ 又Sk<4‎ ‎∴ 由①得：c=2或c=3‎ 当c=2时 ‎∵ S1=2‎ ‎∴ k=1时，c0，d=‎ ‎∴ {an}是递减数列，且Sn必为最大值 设 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ k=14‎ ‎∴ (Sn)max=S14=14.35‎ 四、同步练习 （一） 选择题 ‎ 1、已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且01 B、18 D、08‎ ‎2、设a>0，b>0，a，x1，x2，b成等差数列，a，y1，y2，b成等比数列，则x1+x2与y1+y2的大小关系是 A、x1+x2≤y1+y2 B、x1+x2≥y1+y2‎ C、x1+x2y1+y2‎ 1、 已知Sn是{an}的前n项和，Sn=Pn（P∈R，n∈N+），那么数列{an}‎ A、 是等比数列 B、当P≠0时是等比数列 C、 当P≠0，P≠1时是等比数列 D、不是等比数列 2、 ‎{an}是等比数列，且an>0，a‎2a4+‎2a3a5+a‎4a6=25，则a3+a5等于 A、5 B、‎10 C、15 D、20‎ 3、 已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴交点个数是 A、 ‎0 B、‎1 C、2 D、1或2‎ 4、 设m∈N+，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是 A、 ‎8204 B、‎8192 C、9218 D、8021‎ ‎ 7、若x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0（a≠b）的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值为 A、 ‎ B、 C、 D、‎ 8、 在100以内所有能被3整除但不能被7整除的正整数和是 A、1557 B、‎1473 C、1470 D、1368‎ ‎ 9、从材料工地运送电线杆到‎500m以外的公路，沿公路一侧每隔‎50m埋栽一根电线杆，已知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输车运行 A、 ‎11700m‎ B、‎14700m C、‎14500m D、‎‎14000m ‎ 10、已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取最大值的正整数n是 A、4或5 B、5或‎6 C、6或7 D、8或9‎ （二） 填空题 ‎11、已知数列{an}满足a1+‎2a2+‎3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)，则它的前n项和Sn=______。‎ ‎12、设等差数列{an}共有3n项，它的前2n项之和为100，后2n项之和为200，则该等差数列的中间n项的和等于________。‎ ‎13、设数列{an}，{bn}（bn>0），n∈N+满足（n∈N+），则{an}为等差数列是{bn}为等比数列的________条件。‎ ‎14、长方体的三条棱成等比数列，若体积为‎216cm3，则全面积的最小值是______cm2。‎ ‎15、若不等于1的三个正数a，b，c成等比数列，则(2-logba)(1+logca)=________。‎ （三） 解答题 ‎16、已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。‎ ‎17、已知等比数列{an}的首项为a1>0，公比q>-1（q≠1），设数列{bn}的通项bn=an+1+an+2（n∈N+），数列{an},{bn}的前n项和分别记为An，Bn，试比较An与Bn大小。‎ ‎18、数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1-an（n∈N+）‎ （1） 求数列{an}通项公式；‎ （2） 设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn；‎ （3） 设（n∈N+）Tn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整数m，使得对于任意的n∈N+，均有成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。‎ ‎ 高三一轮复习讲座四 ----三角函数 一、复习要求 1、 三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；‎ ‎ 2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；‎ ‎3、三角函数的图象及性质。‎ 二、学习指导 ‎ 1、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成k·3600+α的形式，特例，终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800，k∈Z}，终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800+900，k∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900，k∈Z}。‎ 在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。‎ 弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式l=|α|R，扇形面积公式，其中α为弧所对圆心角的弧度数。‎ ‎ 2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。‎ 设P(x，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记，则，，，。‎ 利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即与α之间函数值关系（k∈Z），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。‎ ‎3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式：cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，变形后得，可以作为降幂公式使用。‎ 三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。‎ ‎4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义：设T为非零常数，若对f(x)定义域中的每一个x，均有f(x+T)=f(x)，则称T为f(x)的周期。当T为f(x)周期时，kT（k∈Z，k≠0）也为f(x)周期。‎ 三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。‎ ‎5、本章思想方法 （1） 等价变换。熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；‎ （2） 数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；‎ （3） 分类讨论。‎ 三、典型例题 例1、 已知函数f(x)=‎ （1） 求它的定义域和值域；‎ （2） 求它的单调区间；‎ （3） 判断它的奇偶性；‎ （4） 判断它的周期性。‎ 分析：‎ ‎ （1）x必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及，k∈Z ‎∴ 函数定义域为，k∈Z ‎∵ ‎ ‎∴ 当x∈时，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 函数值域为[）‎ ‎ （3）∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 ‎∴ f(x)不具备奇偶性 ‎ （4）∵ f(x+2π)=f(x)‎ ‎∴ 函数f(x)最小正周期为2π 注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；‎ 以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。‎ 例1、 化简，α∈（π，2π）‎ 分析：‎ 凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式 ‎∵ ‎ ‎ ‎ ‎∴ 原式=‎ ‎∵ α∈（π，2π）‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 当时，‎ ‎∴ 原式=‎ 当时，‎ ‎∴ 原式=‎ ‎∴ 原式=‎ 注：‎ ‎ 1、本题利用了“‎1”‎的逆代技巧，即化1为，是欲擒故纵原则。一般地有，，。‎ ‎ 2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为（取）是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌握变形结论。‎ 例2、 求。‎ 分析：‎ 原式=‎ ‎ ‎ 注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。‎ 例4、已知00<α<β<900，且sinα，sinβ是方程=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。‎ 分析：‎ 由韦达定理得sinα+sinβ=cos400，sinαsinβ=cos2400-‎ ‎∴ sinβ-sinα=‎ ‎ ‎ 又sinα+sinβ=cos400‎ ‎∴ ‎ ‎∵ 00<α<β< 900‎ ‎∴ ‎ ‎∴ sin(β-5α)=sin600=‎ 注：利用韦达定理变形寻找与sinα，sinβ相关的方程组，在求出sinα，sinβ后再利用单调性求α，β的值。‎ 例5、（1）已知cos(2α+β)+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值；‎ ‎ （2）已知，求的值。‎ 分析：‎ （1） 从变换角的差异着手。‎ ‎∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α ‎∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0‎ 展开得：‎ ‎13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0‎ 同除以cos(α+β)cosα得：tan(α+β)tanα=‎ （2） 以三角函数结构特点出发 ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ tanθ=2‎ ‎∴ ‎ 注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。‎ 例6、已知函数（a∈(0，1)），求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。‎ 分析：‎ 对三角函数式降幂 ‎ ‎ ‎∴ f(x)=‎ 令 ‎ 则 y=au ‎∴ 00，φ>0），在一个周期内，当x=时，ymax=2；当x=时，ymin=-2，则此函数解析式为 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎4、已知=1998，则的值为 A、1997 B、‎1998 C、1999 D、2000‎ ‎5、已知tanα，tanβ是方程两根，且α，β，则α+β等于 A、 B、或 C、或 D、‎ ‎6、若，则sinx·siny的最小值为 A、-1 B、- C、 D、‎ ‎7、函数f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是 A、5.5 B、‎6.5 C、7 D、8‎ ‎8、若θ∈（0，2π]，则使sinθβ，则sinα>sinβ B、 函数y=sinx·cotx的单调区间是，k∈Z C、 函数的最小正周期是2π D、 函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x的图象关于y轴对称，则，k∈Z 10、 函数的单调减区间是 A、 ‎ B、‎ B、 ‎ D、 k∈Z （二） 填空题 11、 函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的图象关于y轴对称，则θ=________。‎ 12、 已知α+β=，且(tanαtanβ+c)+tanα=0（c为常数），那么tanβ=______。‎ 13、 函数y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为________。‎ 14、 已知(x-1)2+(y-1)2=1，则x+y的最大值为________。‎ 15、 函数f(x)=sin3x图象的对称中心是________。‎ （三） 解答题 16、 已知tan(α-β)=，tanβ=，α，β∈（-π，0），求2α-β的值。‎ 17、 是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，求出对应的a值。‎ ‎ 18、已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（x∈R）‎ （1） 求f(x)的最小正周期；‎ （2） 求f(x)单调区间；‎ （3） 求f(x)图象的对称轴，对称中心。‎ ‎ ‎ ‎ 高三一轮复习讲座五 ----平面向量 一、复习要求 1、 向量的概念；‎ ‎ 2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；‎ ‎3、向量运算的运用 二、学习指导 ‎ 1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。‎ 向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。‎ 2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。‎ 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。‎ 主要内容列表如下：‎ 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 ‎+=‎ ‎-=‎ 记=(x1,y1)，=(x1,y2)‎ 则+=(x1+x2,y1+y2)‎ ‎ -=（x2-x1,y2-y1）‎ ‎+=‎ 实数与向量 的乘积 ‎=λ λ∈R 记=(x,y)‎ 则λ=(λx,λy)‎ 两个向量 的数量积 ‎·=||||‎ cos<,>‎ 记=(x1,y1), =(x2,y2)‎ 则·=x1x2+y1y2‎ 3、 运算律 加法：+=+，(+)+=+(+)‎ 实数与向量的乘积：λ(+)=λ+λ；(λ+μ)=λ+μ，λ(μ)=(λμ) ‎ 两个向量的数量积：·=·；(λ)·=·(λ)=λ(·)，(+)·=·+·‎ 说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)2=‎ 4、 重要定理、公式 ‎ （1）平面向量基本定理；如果+是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对数数λ1，λ2，满足=λ1+λ2，称λ1λ+λ2为，的线性组合。‎ 根据平面向量基本定理，任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应，称(λ1,λ2)为在基底{，}下的坐标，当取{，}为单位正交基底{，}时定义(λ1，λ2)为向量的平面直角坐标。‎ 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)‎ ‎ （2）两个向量平行的充要条件 符号语言：若∥，≠，则=λ 坐标语言为：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0‎ 在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>0；当与异向时，λ<0。‎ ‎|λ|=，λ的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。‎ ‎ （3）两个向量垂直的充要条件 符号语言：⊥·=0‎ 坐标语言：设=(x1,y1), =(x2,y2)，则⊥x1x2+y1y2=0‎ ‎ （4）线段定比分点公式 如图，设 ‎ 则定比分点向量式：‎ 定比分点坐标式：设P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）‎ 则 特例：当λ=1时，就得到中点公式：‎ ‎ ，‎ 实际上，对于起点相同，终点共线三个向量，，（O与P1P2不共线），总有=u+v，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。‎ ‎ （5）平移公式：‎ ① 点平移公式，如果点P（x，y）按=（h，k）平移至P’（x’，y’），则 分别称（x，y），（x’，y’）为旧、新坐标，为平移法则 在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标 ‎②图形平移：设曲线C：y=f(x)按=（h，k）平移，则平移后曲线C’对应的解析式为y-k=f(x-h)‎ 当h，k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移 利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质 ‎ （6）正弦定理，余弦定理 正弦定理：‎ 余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosA ‎ b2=c2+a2-2cacosB ‎ c2=a2+b2-2abcosc 定理变形：cosA=，cosB=，cosC=‎ 正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本，理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。‎ ‎5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。‎ 三、典型例题 ‎ 例1、如图，，为单位向量，与夹角为1200， 与的夹角为450，||=5，用，表示。‎ 分析：‎ 以，为邻边，为对角线构造平行四边形 把向量在，方向上进行分解，如图，设=λ，=μ，λ>0，μ>0‎ 则=λ+μ ‎∵ ||=||=1‎ ‎∴ λ=||，μ=||‎ △ OEC中，∠E=600，∠OCE=750，由得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理 例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。‎ 分析：‎ 用解方程组思想 设D（x，y），则=（x-2，y+1）‎ ‎∵=（-6，-3），·=0‎ ‎∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0 ①‎ ‎∵=(x-3，y-2)，∥‎ ‎∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 ②‎ 由①②得：‎ ‎∴ D（1，1），=（-1，2）‎ 例3、求与向量=，-1）和=（1，）夹角相等，且模为的向量的坐标。 ‎ 分析：‎ 用解方程组思想 法一：设=（x，y），则·=x-y，·=x+y ‎∵ <，>=<，>‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 即 ①‎ 又||=‎ ‎∴ x2+y2=2 ②‎ 由①②得 或（舍）‎ ‎∴=‎ 法二：从分析形的特征着手 ‎∵ ||=||=2‎ ‎ ·=0‎ ‎∴ △AOB为等腰直角三角形，如图 ‎∵ ||=，∠AOC=∠BOC ‎∴ C为AB中点 ‎∴ C（）‎ 说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。‎ 例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量。‎ 分析：‎ ‎∵ B、P、M共线 ‎∴ 记=s ‎∴ ①‎ 同理，记 ‎∴ = ②‎ ‎∵ ,不共线 ‎∴ 由①②得解之得：‎ ‎∴ ‎ 说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。‎ 例5、已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点 （1） 利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=450；‎ （2） 若∠PED=450，求证：P、D、C、E四点共圆。‎ 分析：‎ 利用坐标系可以确定点P位置 如图，建立平面直角坐标系 则C（2，0），D（2，3），E（1，0）‎ 设P（0，y）‎ ‎∴ =（1，3），=（-1，y）‎ ‎∴ ‎ ‎ ·=3y-1‎ 代入cos450=‎ 解之得（舍），或y=2‎ ‎∴ 点P为靠近点A的AB三等分处 （3） 当∠PED=450时，由（1）知P（0，2）‎ ‎ ∴ =（2，1），=（-1，2）‎ ‎ ∴·=0‎ ‎∴ ∠DPE=900‎ 又∠DCE=900‎ ‎∴ D、P、E、C四点共圆 说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。‎ 四、同步练习 （一） 选择题 1、 平面内三点A（0，-3），B（3，3），C（x，-1），若∥，则x的值为：‎ A、 ‎-5 B、‎-1 C、1 D、5‎ ‎ 2、平面上A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），C点满足，连DC并延长至E，使||=||，则点E坐标为：‎ A、（-8，） B、（） C、（0，1） D、（0，1）或（2，）‎ 2、 点（2，-1）沿向量平移到（-2，1），则点（-2，1）沿平移到：‎ 3、 A、（2，-1） B、（-2，1） C、（6，-3） D、（-6，3）‎ 4、 ‎△ABC中，2cosB·sinC=sinA，则此三角形是：‎ A、 直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、以上均有可能 5、 设，， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：‎ ‎①(·)-(·)=0‎ ‎②||-||<|-|‎ ‎③(·)-(·)不与垂直 ‎④(3+2)·(3-2)=9||2-4|2中，‎ 真命题是：‎ A、①② B、②③ C、③④ D、②④‎ ‎6、△ABC中，若a4+b4+c4=‎2c2(a2+b2)，则∠C度数是：‎ A、600 B、450或‎1350 C、1200 D、300‎ ‎7、△OAB中，=，=，=，若=，t∈R，则点P在 A、∠AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上 C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上 ‎8、正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=（0，3），=（4，0），则=‎ A、（） B、（） C、（7，4） D、（）‎ （一） 填空题 ‎ 9、已知{，|是平面上一个基底，若=+λ，=-2λ-，若，共线，则λ=__________。‎ ‎10、已知||=，||=1，·=-9，则与的夹角是________。‎ ‎11、设，是两个单位向量，它们夹角为600，‎ 则(2-)·(-3+2)=____________。‎ ‎12、把函数y=cosx图象沿平移，得到函数___________的图象。‎ （二） 解答题 ‎13、设=（3，1），=（-1，2），⊥，∥，试求满足+=的的坐标，其中O为坐标原点。‎ ‎14、若+=（2，-8），-=（-8，16），求、及与夹角θ的余弦值。‎ ‎15、已知||=，||=3，和夹角为450，求当向量+λ与λ+夹角为锐角时，λ的取值范围。‎ ‎ ‎ ‎ 高三一轮复习讲座六 ----不等式 一、复习要求 1、 不等式的概念及性质；‎ ‎ 2、不等式的证明；‎ ‎ 3、不等式的解法；‎ ‎4、不等式的应用。‎ 二、学习指导 1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有：‎ （1） 对称性或反身性：a>bbb，b>c，则a>c；‎ （3） 可加性：a>ba+c>b+c，此法则又称为移项法则；‎ （4） 可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，acb，c>d，则a+c>b+d；‎ （2） 正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。‎ ‎ 特例：（3）乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则；‎ ‎（4）开方法则：若a>b>0，n∈N+，则；‎ （1） 倒数法则：若ab>0，a>b，则。‎ 掌握不等式的性质，应注意：‎ （1） 条件与结论间的对应关系，如是“”符号还是“”符号；‎ （2） 不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。‎ ‎ 2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得a2+b2≥2ab（a，b∈R），该不等式可推广为a2+b2≥2|ab|；或变形为|ab|≤；‎ 当a，b≥0时，a+b≥或ab≤.‎ 在具体条件下选择适当的形式。‎ ‎3、不等式的证明：‎ （1） 不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；‎ （2） 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；‎ （3） 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。‎ 4、 不等式的解法：‎ 解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。‎ 一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。利用序轴标根法可以解分式及高次不等式。‎ 含参数的不等式应适当分类讨论。‎ ‎5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。‎ 用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。‎ 研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。‎ 三、典型例题 例1、 已知f(x)=ax2-c，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围。‎ 分析：‎ 从条件和结论相互化归的角度看，用f(1)，f(2)的线性组合来表示f(3)，再利用不等式的性质求解。‎ 设f(3)=mf(1)+nf(2)‎ ‎∴ 9a-c=m(a-c)+n(4a-c)‎ ‎∴ 9a-c=(m+4n)a-(m+n)c ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ f(3)=‎ ‎∵ -4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5‎ ‎∴ ≤≤,≤≤‎ ‎∴ -1≤f(3)≤20‎ 说明：‎ ‎1、本题也可以先用f(1)，f(2)表示a，c，即a=[f(2)-f(1)]，c=[f(2)‎-4f(1)]，然后代入f(3)，达到用f(1)，f(2)表示f(3)的目的。‎ ‎ 2、本题典型错误是从-4≤a-c≤-1，-1≤‎4a-c≤5中解出a，c的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=‎9a-c的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。‎ 1、 本题还可用线性规划知识求解。‎ 例2、 设a>0，b>0，求证：≥。‎ 分析：‎ 法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。‎ 左-右=‎ ‎ ≥0‎ ‎∴ 左≥右 法二：基本不等式 根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。‎ ‎∵ ≥‎ ‎ ≥‎ ‎∴ 两式相加得：≥‎ 例1、 设实数x，y满足y+x2=0，00，y>0，a>0‎ ‎∴ 由>0得y-b>0‎ ‎∴ x+y≥‎ 当且仅当，即时，等号成立 途径二：令，，∈（0，）‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ x+y=≥‎ 当且仅当时，等号成立 说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。‎ 例5、已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b （1） 解关于a的不等式f(1)>0；‎ （2） 当不等式f(x)>0的解集为（-1，3）时，求实数a，b的值。‎ 分析：‎ （1） f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+‎6a+b-3‎ ‎ ∵ f(1)>0‎ ‎ ∴ a2‎-6a+3-b<0‎ △ ‎=24+4b 当b≤-6时，△≤0‎ ‎∴ f(1)>0的解集为φ；‎ 当b>-6时，‎ ‎∴ f(1)>0的解集为 ‎ （2）∵ 不等式-3x2+a(6-a)x+b>0的解集为（-1，3）‎ ‎∴ f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解 ‎∵ 3x2-a(6-a)x-b<0解集为（-1，3）‎ ‎∴ ‎ 解之得 例6、设a，b∈R，关于x方程x2+ax+b=0的实根为α，β，若|a|+|b|<1，求证：‎ ‎|α|<1，|β|<1。‎ 解题思路分析：‎ 在不等式、方程、函数的综合题中，通常以函数为中心。‎ 法一：令f(x)=x2+ax+b 则 f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0‎ ‎ f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0‎ 又∵ 0<|a|≤|a|+|b|<1‎ ‎∴ -10‎ ‎∴ |α|<1‎ 同理：|β|<1‎ 说明：对绝对值不等式的处理技巧是适度放缩，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的选择等。‎ 例7、某人乘坐出租车从A地到乙地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每km价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每km价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合？‎ 分析：‎ 设A地到B地距离为mkm，起步价内行驶的路为akm 显然，当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较合适 当m>a时，设m=a+x（x>0），乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x ‎∵ P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x)‎ ‎∴ 当x>0时，P(x)Q(x)，此时选起步价为8元的出租车比较合适 当x=10时，此时两种出租车任选 四、同步练习 （一） 选择题 ‎1、“a>0且b>‎0”‎是“≥”的 A、充分而非必要条件 B、必要而非充要条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件 ‎2、设a<0，则关于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集为 A、（） B、（） C、（） D、φ 1、 若00，f(x)=，则 A、f(x)≤2 B、f(x)≥‎10 C、f(x)≥6 D、f(x)≤3‎ 3、 已知，（a>2），则 A、 p>q B、p2h C、|a-b|h 5、 关于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是 A、 ‎（-∞，-8]∪[0，+∞） B、（-∞，-4）‎ A、 ‎[-8，4） D、（-∞，-8]‎ 1、 若a>0，b>0，且2a+b=1，则S=2-4a2-b2的最大值是 A、 ‎ B、 C、 D、‎ （一） 填空题 2、 设a>0，b>0，a，b是常数，则当x>0时，函数f(x)=的最小值是______。‎ ‎ 10、周长为的直角三角形面积的最大值为__________。‎ ‎ 11、记S=，则S与1的大小关系是__________。‎ ‎12、不等式|x2-2x+3|<|3x-1|的解集为__________。‎ （二） 解答题 ‎13、要使不等式≤对所有正数x，y都成立，试问k的最小值是多少？‎ ‎14、解关于x的不等式 ‎15、已知a≠0，求证：≥‎ ‎16、已知不等式对n∈N+都成立，试求实数a的取值范围。‎ ‎17、若a是正实数，‎2a2+3b2=10，求的最值。‎ ‎18、商店经销某商品，年销售量为D件，每件商品库存费用为I元，每批进货量为Q件，每次进货所需费用为S元，现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量平均为件，问每批进货量Q为多大时，整个费用最省？‎ ‎ ‎ 高三一轮复习讲座七 ----直线和圆的方程 一、复习要求 3、 直线方程的五种表现形式，如何求直线方程；二元一次不等式的几何意义及运用。‎ ‎ 2、圆的方程三种形式，如何求圆的方程。‎ ‎3、直线和圆位置关系的研究。‎ 二、学习指导 1、 曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象。借助于平面直角坐标系，形和数可以得到高度的统一，它们最基本的对应关系是点和有序数对的一一对应。当点运动形成轨迹时，对应坐标便会满足一个方程。当曲线C和方程F(x，y)=0满足如下关系时：①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；②以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程F(x，y)=0表示的曲线；方程F(x，y)=0是曲线C表示的方程。从集合角度看，点集（曲线）与方程解集相等。解析几何研究的内容就是给定曲线C，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形。坐标法是几何问题代数化的重要方法。‎ ‎2、直线的倾斜角α和斜率k是描述直线位置的重要参数，它们之间关系是正切函数关系：k=tanα，α∈[0，，当α=时，直线斜率不存在，否则由α求出唯一的k与之对应。‎ 当已知k，求倾斜角α时：k≥0时，α=arctank；k<0时，α=π+arctank。或：k=0时，α=0；k≠0时，cotα=,α=arccot。‎ 由正切函数可知，当α∈（0，），α递增时，斜率k→+∞。当α∈（，π），α 递减时，斜率k→-∞。‎ 当涉及到斜率参数时，通常对k是否存在分类讨论。‎ ‎3、直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）一一对应。‎ 从几何条件看，已知直线上一点及直线方向与已知直线上两点均可确定直线；从对应方程看，直线方程两种典型形式：点斜式（斜截式），两点式（截距式），因此求直线方程，常用待定系数法。即根据题意，选择方程的适当形式；由已知条件，列关于参数的方程（组）。‎ 当点P(x0，y0)在直线Ax+By+C=0上时，其坐标满足方程Ax0+By0+C=0；当P不在直线Ax+By+C=0上时，Ax0+By0+C≠0，即Ax0+By0+C>0或Ax0+By0+C<0。这就是二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）表示直线Ax+By+C=0上方或下方区域，其具体位置的确定常用原点（0，0）代入检验。利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。‎ 因直线与二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）一一对应，即由有序数组（A，B，C）确定，因此研究直线与直线之间的位置关系就是考察直线对应的数组间关系。‎ 设直线l1：A1x+B1y+C1=0（A12+B12≠0），直线l2：A2x+B2y+C2=0（A22+B22≠0）‎ 则：l1∥l2‎ l1与l2相交A1B2≠A2B1‎ 其夹角公式为，其中k1，k2分别表示l1及l2斜率，当l1或l2斜率不存在时，画图通过三角形求解，l1与l2夹角为θ∈（0，]‎ 特例：l1⊥l2A1A2+B1B2=0（此时不能用夹角公式求解）‎ 利用点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离公式d=可以求出两平行直线：Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0（C1≠C2）间的距离d=。‎ ‎4、当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数。含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，即旋转直线系和平行直线系。‎ 在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中，当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的旋转直线系，当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系。‎ 这些直线系还有其它表示形式：‎ （1） 已知直线l：Ax+By+C=0，则 方程Ax+By+m=0（m为参数）表示与l平行的直线系；方程-Bx+Ay+n=0（n为参数）表示与l垂直的直线系。‎ ‎ （2）已知直线l1：A1x+B1y+C=1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过l1与l2交点的直线系（不含l2）‎ 掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，不仅可以加深数形结合的思想，还可以优化解题思想。‎ ‎5、圆与二元二次方程一一对应，这些二元二次方程方程特征为：（1）二次项中无xy交叉项；（2）x2，y2项前面系数相等；（3）x，y的一次项系数D，E及常数项F满足D2+E2‎-4F>0。‎ 圆方程常见形式：（1）标准式：(x-a)2+(y-b)2=R2（R>0），其中（a，b）为圆心，R为半径；（2）一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0；（3）参数式：(x-a)2+(y-b)2=R2（R>0）的参数式为：x=a+Rcosθ，y=b+Rsinθ，其中θ为参数，表示旋转角，参数式常用来表示圆周上的点。‎ 求圆方程的原理与求直线方程完全类似。‎ 直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而不采用方程组理论（△法）。‎ ‎6、对称是平面几何的基本变换。在掌握点关于点及直线对称的基础上，理解曲线与曲线之间的中心对称及轴对称。善于利用对称的知识解题。‎ ‎7、本章主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数与方程，等价变换等。‎ 三、典型例题 例1、已知定点P（6，4）与定直线l1：y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线l方程。‎ 分析：直线l是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键。‎ 通过比较可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。‎ 设Q（x0，4x0），M（m，0）‎ ‎∵ Q，P，M共线 ‎∴ kPQ=kPM ‎∴ ‎ 解之得：‎ ‎∵ x0>0，m>0‎ ‎∴ x0-1>0‎ ‎∴ ‎ 令x0-1=t，则t>0‎ ‎ ≥40‎ 当且仅当t=1，x0=11时，等号成立 此时Q（11，44），直线l：x+y-10=0‎ 评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S△OQM的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。‎ 例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求：‎ ‎ （1）BC边上的高所在直线方程；（2）AB边中垂线方程；（3）∠A平分线所在直线方程。‎ 分析： （1）∵ kBC=5‎ ‎∴ BC边上的高AD所在直线斜率k=‎ ‎∴ AD所在直线方程y+1=(x-2) ‎ 即x+5y+3=0‎ ‎ （2）∵ AB中点为（3，1），kAB=2‎ ‎∴ AB中垂线方程为x+2y-5=0‎ ‎ （3）设∠A平分线为AE，斜率为k，则直线AC到AE的角等于AE到AB的角。‎ ‎∵ kAC=-1，kAB=2‎ ‎∴ ‎ ‎∴ k2+6k-1=0‎ ‎∴ k=-3-（舍），k=-3+‎ ‎∴ AE所在直线方程为(-3)x-y-2+5=0‎ 评注：在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程，设P(x，y)为直线AE上任一点，则P到AB、AC距离相等，得，化简即可。还可注意到，AB与AC关于AE对称。‎ 例3、（1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；‎ ‎ （2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆方程。‎ 分析：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。‎ （1） 法一：从数的角度 若选用标准式：设圆心P（x，y），则由|PA|=|PB|得：(x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2‎ 又2x0-y0-3=0‎ 两方程联立得：，|PA|=‎ ‎∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10‎ 若选用一般式：设圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心（）‎ ‎∴ ‎ 解之得：‎ 法二：从形的角度 AB为圆的弦，由平几知识知，圆心P应在AB中垂线x=4上，则由得圆心P（4，5）‎ ‎∴ 半径r=|PA|=‎ 显然，充分利用平几知识明显降低了计算量 （1） 设A关于直线x+2y=0的对称点为A’‎ 由已知AA’为圆的弦 ‎∴ AA’对称轴x+2y=0过圆心 设圆心P（-2a，a），半径为R 则R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2‎ 又弦长，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 4(a+1)2+(a-3)2=2+‎ ‎∴ a=-7或a=-3‎ 当a=-7时，R=；当a=-3时，R=‎ ‎∴ 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244‎ 例4、已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，（1）求实数m取值范围；（2）求圆半径r取值范围；（3）求圆心轨迹方程。‎ 分析：（1）m满足[-2(m+3)]2+[2(1‎-4m2‎)]2-4(‎16m4+9)>0，即‎7m2-6m-1<0‎ ‎∴ ‎ （2） 半径r=‎ ‎ ∵ ‎ ‎ ∴ 时，‎ ‎ ∴ 02，b>2，（1）求证：(a-2)(b-2)=2；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）求△AOB面积的最小值。‎ 17、 已知两圆x2+y2=4和x2+(y-8)2=4，（1）若两圆分别在直线y=x+b两侧，求b取值范围；（2）求过点A（0，5）且和两圆都没有公共点的直线的斜率k的范围。‎ ‎18、当01时，点P轨迹是双曲线；当e=1时，点P轨迹是抛物线。‎ ‎ （2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF1|+|PF2|=‎2a，‎2a>|F‎1F2|>0，F1、F2为定点}，双曲线{P|||PF1|-|PF2||=‎2a，|F‎1F2|>‎2a>0，F1，F2为定点}。‎ ‎ （3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。‎ ① 定性：焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。‎ ② 定量：‎ 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 焦 距 ‎2c 长轴长 ‎2a ‎——‎ 实轴长 ‎——‎ ‎2a 短轴长 ‎2b 焦点到对应 准线距离 P=2‎ p 通径长 ‎2·‎ ‎2p 离心率 ‎1‎ 基本量关系 a2=b2+c2‎ C2=a2+b2‎ ‎ （4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在x轴上的方程如下：‎ 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 ‎（a>b>0）‎ ‎（a>0，b>0）‎ y2=2px（p>0）‎ 顶 点 ‎（±a，0） ‎ ‎（0，±b）‎ ‎（±a，0）‎ ‎（0，0）‎ 焦 点 ‎（±c，0）‎ ‎（，0）‎ 准 线 X=±‎ x=‎ 中 心 ‎（0，0）‎ 有界性 ‎|x|≤a ‎|y|≤b ‎|x|≥a x≥0‎ 焦半径 P(x0，y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点 ‎ |PF1|=a+ex0‎ ‎ |PF2|=a-ex0‎ P在右支时：‎ ‎ |PF1|=a+ex0‎ ‎ |PF2|=-a+ex0‎ P在左支时：‎ ‎ |PF1|=-a-ex0‎ ‎ |PF2|=a-ex0‎ ‎|PF|=x0+‎ 总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。‎ 2、 直线和圆锥曲线位置关系 （1） 位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。‎ 其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。‎ 直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。‎ （2） 直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。‎ ‎ 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。‎ ‎ 4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。‎ 三、典型例题 例1、 根据下列条件，求双曲线方程。‎ （1） 与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；‎ （2） 与双曲线有公共焦点，且过点（，2）。‎ 分析：法一：（1）双曲线的渐近线为 令x=-3，y=±4，因，故点（-3，）在射线（x≤0）及x轴负半轴之间，‎ ‎∴ 双曲线焦点在x轴上 设双曲线方程为，（a>0，b>0）‎ ‎ ‎ 解之得：‎ ‎∴ 双曲线方程为 ‎ （2）设双曲线方程为（a>0，b>0）‎ 则 ‎ 解之得：‎ ‎∴ 双曲线方程为 法二：（1）设双曲线方程为（λ≠0）‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 双曲线方程为 （3） 设双曲线方程为 ‎ ∴ ‎ 解之得：k=4‎ ‎∴ 双曲线方程为 评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为（λ≠0），当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上。与双曲线共焦点的双曲线为（a2+k>0，b2-k>0）。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。‎ 例2、设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求的值。‎ 解题思路分析：‎ 当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。‎ 法一：当∠PF‎2F1=900时，由得：‎ ‎ ，‎ ‎∴ ‎ 当∠F1PF2=900时，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2‎ ‎∴ ‎ 法二：当∠PF‎2F1=900，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ P（）‎ 又F2（，0）‎ ‎∴ |PF2|=‎ ‎∴ |PF1|=‎2a-|PF2|=‎ 当∠F1PF2=900，由得：‎ ‎ P（）。下略。‎ 评注：由|PF1|>|PF2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。‎ 例3、设点P到M（-1，0），N（1，0）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2，求m取值范围。‎ 分析：根据题意，从点P的轨迹着手 ‎∵ ||PM|-|PN||=2m ‎∴ 点P轨迹为双曲线，方程为（|m|<1） ①‎ 又y=±2x（x≠0） ②‎ ‎①②联立得：‎ 将此式看成是关于x的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到m 的取值范围。‎ 根据双曲线有界性：|x|>m，x2>m2‎ ‎∴ ‎ 又00‎ ‎∴ 且m≠0‎ ‎∴ ‎ 评注：利用双曲线的定义找到点P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建立函数关系式。‎ 例4、已知x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线l同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线l方程。‎ 分析：选择适当的直线方程形式，把条件“l是圆的切线”“切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。‎ 法一：当l斜率不存在时，x=-1满足；‎ 当l斜率存在时，设l：y=kx+b l与⊙O相切，设切点为M，则|OM|=1‎ ‎∴ ‎ ‎∴ b2=k2+1 ①‎ 由得：(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0‎ 当k≠±1且△>0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点M（x0，y0），‎ ‎∴ y0=kx0+b=‎ ‎∵ M在⊙O上 ‎∴ x02+y02=1‎ ‎∴ (1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2 ②‎ 由①②得： 或 ‎ ‎∴ l：或 法二：设M（x0，y0），则切线AB方程x0x+y0y=1‎ 当y0=0时，x0=±1，显然只有x=-1满足；‎ 当y0≠0时，‎ 代入(x-1)2-y2=1得：(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0‎ ‎∵ y02+x02=1‎ ‎∴ 可进一步化简方程为：(1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0‎ 由中点坐标公式及韦达定理得：∴‎ 即2x03-x02-2x0+1=0‎ 解之得：x0=±1(舍)，x0=‎ ‎∴ y0=。下略 评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。‎ 例5、A、B是抛物线y2=2px（p>0）上的两点，且OA⊥OB，‎ （1） 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；‎ （2） 求证：直线AB过定点；‎ （3） 求弦AB中点P的轨迹方程；‎ （4） 求△AOB面积的最小值；‎ （5） O在AB上的射影M轨迹方程。‎ 分析： 设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0）‎ ‎（1）‎ ‎ ∵ OA⊥OB ‎ ∴ kOAkOB=-1‎ ‎ ∴ x1x2+y1y2=0‎ ‎ ∵ y12=2px1，y22=2px2‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∵ y1≠0，y2≠0‎ ‎ ∴ y1y2=-4p2‎ ‎ ∴ x1x2=4p2‎ ‎ （2）∵ y12=2px1，y22=2px2‎ ‎∴ （y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2)‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 直线AB：‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ AB过定点（2p，0），设M（2p，0）‎ ‎ （3）设OA∶y=kx，代入y2=2px得：x=0，x=‎ ‎∴ A（）‎ 同理，以代k得B（2pk2，-2pk）‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ 即y02=px0-2p2‎ ‎∴ 中点M轨迹方程y2=px-2p2‎ ‎ （4）‎ ‎ ≥ ‎ 当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立 ‎ 评注：充分利用（1）的结论。‎ ‎ （5）法一：设H（x3,y3），则 ‎∴ ‎ ‎∴ AB：‎ 即代入y2=2p得 由（1）知，y1y2=-4p2‎ ‎∴ ‎ 整理得：x32+y32-2px3=0‎ ‎∴ 点H轨迹方程为x2+y2-4x=0（去掉（0，0））‎ 法二：∵ ∠OHM=900，又由（2）知OM为定线段 ‎∴ H在以OM为直径的圆上 ‎∴ 点H轨迹方程为(x-p)2+y2=p2，去掉（0，0）‎ 例6、设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）‎ （1） 求直线AB方程；‎ ‎ （2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？‎ 分析：法一：显然AB斜率存在 ‎ 设AB：y-2=k(x-1)‎ ‎ 由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0‎ ‎ 当△>0时，设A（x1,y1），B（x2,y2）‎ ‎ 则 ‎ ∴ k=1，满足△>0‎ ‎ ∴ 直线AB：y=x+1‎ ‎ 法二：设A（x1,y1），B（x2,y2）‎ ‎ 则 ‎ 两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)‎ ‎ ∵ x1≠x2‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ AB：y=x+1‎ ‎ 代入得：△>0‎ ‎ 评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。‎ ‎ （2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。‎ 本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心 设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|‎ 由得：A（-1，0），B（3，4）‎ 又CD方程：y=-x+3‎ 由得：x2+6x-11=0‎ 设C（x3,y3），D（x4,y4），CD中点M（x0,y0）‎ 则 ‎∴ M（-3，6）‎ ‎∴ |MC|=|MD|=|CD|=‎ 又|MA|=|MB|=‎ ‎∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD|‎ ‎∴ A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，为半径的圆上 评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。‎ 四、同步练习 （一） 选择题 1、 方程表示的曲线是 A、 椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、不能确定 ‎2、把椭圆绕它的左焦点顺时针方向旋转，则所得新椭圆的准线方程是 A、 B、 ‎ C、 D、‎ ‎3、方程的曲线形状是 A、圆 B、直线 C、圆或直线 D、圆或两射线 ‎ 4、F1、F2是椭圆（a>b>0）的两焦点，过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形ABF2，其中∠BAF2=900，则椭圆的离心率是 A、 ‎ B、 C、 D、‎ ‎ 5、若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距C的取值范围是 A、（0，1） B、（1，2） C、（1，+∞） D、与m有关 ‎6、以抛物线y2=2px（p>0）的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系是 A、相交 B、相切 C、相离 D、以上三种均有可能 ‎ ‎7、直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点横坐标为2，则|AB|为 A、 B、 C、 D、‎ ‎8、已知圆x2+y2=1，点A（1，0），△ABC内接于圆，∠BAC=600，当BC在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是 A、x2+y2= B、x2+y2= ‎ C、x2+y2= D、x2+y2=‎ ‎（二）填空题 ‎9、已知A（4，0），B（2，2）是椭圆内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|+|MB|的最大值是____________。‎ ‎10、椭圆的离心率为，则a=__________。‎ ‎11、高‎5米和‎3m的旗竿在水平地面上，如果把两旗竿底部的坐标分别定为A（-5，0），B（5，0），则地面上杆顶仰角相等的点的轨迹是__________。‎ ‎12、若x，y∈R,且3x2+2y2=6，则x2+y2最大值是________，最小值是________。‎ ‎13、抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为__________。‎ ‎（三）解答题 ‎14、求以达原点与圆x2+y2-4x+3=0相切的两直线为渐近线且过椭圆4x2+y2=4两焦点的双曲线方程。‎ ‎15、已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴距离比到点（1，0）距离小1‎ （1） 求点P轨迹C的方程；‎ ‎ （2）设过M（m，0）的直线交双曲线C于A、B两点，问是否存在这样的m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点。‎ ‎16、设抛物线y2=4ax（a>0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|BA|为半径，在x轴上方画圆，设抛物线与半圆交于不同两点M、N，点P是MN中点 （1） 求|AM|+|AN|的值；‎ （2） 是否存在这样的实数a，恰使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列？若存在，求出a；若不存在，说明理由。‎ 17、 设椭圆中心为0，一个焦点F（0，1），长轴和短轴长度之比为t （1） 求椭圆方程；‎ ‎ （2）设过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P轨迹。‎ ‎ 18、已知抛物线y2=2px（p>0），过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同两点A、B，|AB|≤2p，‎ （1） 求a取值范围；‎ （2） 若线段AB垂直平分线交x同于点N，求△NAB面积的最大值。‎ 高三一轮复习讲座九 ----立体几何 一、复习要求 空间几何图形的证明及计算。‎ 二、学习指导 1、 空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结。如下图：‎ ‎ 条件 ‎ 结论 线线平行 线面平行 面面平行 垂直关系 线线平行 如果a∥b，b∥c，那么a∥c 如果a∥α，aβ，β∩α=b，那么a∥b 如果α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，那么a∥b 如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b 线面平行 如果a∥b，aα，bα，那么a∥α ‎——‎ 如果α∥β，aα，那么α∥β ‎——‎ 面面平行 如果aα，bα，cβ，dβ，a∥c，b∥d，a∩b=P，那么α∥β 如果aα，bα,a∩b=P,a∥β,b∥β，那么α∥β 如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ 如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β ‎ 条件 ‎ 结论 线线垂直 线面垂直 面面垂直 平行关系 线线垂直 二垂线定理及逆定理 如果a⊥α，bα，那么a⊥b 如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直 如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c 线面垂直 如果a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α ‎——‎ 如果α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，那么a⊥β 如果a⊥α，b∥a，那么b⊥α 面面垂直 定义（二面角等于900）‎ 如果a⊥α，aβ，那么β⊥α ‎——‎ ‎——‎ 2、 空间元素位置关系的度量 ‎ （1）角：异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。‎ 异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。‎ 直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。‎ 二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。‎ ‎ （2）距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。‎ 异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离 和面面距离。‎ 线面距离，面面距离常化归为点面距离。‎ 1、 两个重要计算公式 （1） cosθ=cosθ1·cosθ2‎ 其中θ1为斜线PA与平面α所成角，即为∠PAO，θ2为PA射 影AO与α内直线AB所成的角，θ为∠PAB。‎ 显然，θ>θ1，θ>θ2‎ （2） 异面直线上两点间距离公式 ‎ 设异面直线a，b所成角为θ ‎ 则EF2=m2+n2+d2±2mncosθ ‎4、棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂 直的性质解题，在正棱锥中，要熟记由高PO，斜高PM，侧棱PA，底 面外接圆半径OA，底面内切圆半径OM，底面正多边形半边长OM，构 成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。‎ ‎ 5、球是由曲面围成的旋转体。研究球，主要抓球心和半径。‎ ‎6、立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形。‎ 三、典型例题 例1、在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA‎1C。‎ 解析：‎ ‎ （1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是。‎ ‎ （2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF。‎ （3） 为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线。‎ 猜想A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF。‎ ‎ （4）∵ CC1⊥平面AC ‎∴ CC1⊥BD 又BD⊥AC ‎∴ BD⊥平面AA1C 又BD平面BDF ‎∴ 平面BDF⊥平面AA1C 例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是 A、 B、 C、 D、‎ 解析：‎ 取P点的特殊点A1，连OA1，在底面上过O作OE⊥AD于E，连A1E ‎∵ OE⊥平面ADD1A1，AM⊥A1E 根据三垂线定理，得：AM⊥OA1‎ ‎∴ 选D 评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路 例3、如图，三棱锥D—ABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，∠ABC=‎ ‎∠BAD=900，其腰BC=a，且二面角D—AB—C=600。‎ （1） 求异面直线DA与BC所成的角；‎ （2） 求异面直线BD与AC所成的角；‎ （3） 求D到BC的距离；‎ （4） 求异面直线BD与AC的距离。‎ 解析：‎ （1） 在平面ABC内作AE∥BC，从而得∠DAE=600‎ ‎ ∴ DA与BC成600角 （2） 过B作BF∥AC，交EA延长线于F，则∠DBF为BD与AC所成的角 ‎ 由△DAF易得AF=a，DA=a，∠DAF=1200‎ ‎ ∴ DF2=a2+a2‎-2a2·()=‎3a2‎ ‎ ∴ DF=a △ DBF中，BF=AC=a ‎∴ cos∠DBF=‎ ‎∴ 异面直线BD与AC成角arccos ‎ （3）∵ BA⊥平面ADE ‎∴ 平面DAE⊥平面ABC 故取AE中点M，则有DM⊥平面ABC；取BC中点N，由MN⊥BC，根据三垂线定理，DN⊥BC ‎∴ DN是D到BC的距离 在△DMN中，DM=a，MN=a ‎∴ DN=a ‎ （4）∵ BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF ‎∴ AC∥平面BDF 又BD平面BDF ‎∴ AC与BD的距离即AC到平面BDF的距离 ‎∵ ，‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ 由，即异面直线BD与AC的距离为 评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法。‎ 例4、如图，在600的二面角α—CD—β中，ACα，BDβ，且ACD=450，tg∠BDC=2，CD=a，AC=x，BD=x，当x为何值时，A、B的距离最小？并求此距离。‎ 解析：‎ 作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，则EF为异面直线AE、BF的公垂段，AE与BF成600角，可求得|AB|=，当x=时，|AB|有最小值。‎ 评注：转化为求异面直线上两点间距离的最小值。‎ 例5、如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求此三棱柱的侧面积和体积。‎ 解析：‎ 在侧面AB’内作BD⊥AA’于D 连结CD ‎∵ AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=450‎ ‎∴ △DAB≌△DAC ‎∴ ∠CDA=∠BDA=900，BD=CD ‎∴ BD⊥AA’，CD⊥AA’‎ ‎∴ △DBC是斜三棱柱的直截面 在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=‎ ‎∴ △DBC的周长=BD+CD+BC=(+1)a，△DBC的面积=‎ ‎∴ S侧=b(BD+DC+BC)=(+1)ab ‎∴ V=·AA’=‎ 评注：求斜棱柱的侧面积有两种方法，一是判断各侧面的形状，求各侧面的面积之和，二是求直截面的周长与侧棱的乘积，求体积时同样可以利用直截面，即V=直截面面积×侧棱长。‎ 例6、在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积VP-ABC。‎ 解析：‎ 取PC和AB的中点M和N ‎∴ ‎ 在△AMB中，AM2=BM2=172-82=25×9‎ ‎∴ AM=BM=15cm，MN2=152-92=24×6‎ ‎∴ S△AMB=×AB×MN=×18×12=108(cm2)‎ ‎∴ VP-ABC=×16×108=576(cm3)‎ 评注：把一个几何体分割成若干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法，这样分割的结果，一方面便于求体积，另一方面便于利用体积的相关性质，如等底等高的锥体的体积相等，等底的两个锥体的体积的比等于相应高的比，等等。‎ 同步练习 （一） 选择题 ‎ 1、l1∥l2，a，b与l1，l2都垂直，则a，b的关系是 ‎ A、平行 B、相交 C、异面 D、平行、相交、异面都有可能 ‎ 2、异面直线a，b，a⊥b，c与a成300，则c与b成角范围是 ‎ A、[600，900] B、[300，900] C、[600，1200] D、[300，1200]‎ ‎ 3、正方体AC1中，E、F分别是AB、BB1的中点，则A1E与C‎1F所成的角的余弦值是 ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ 4、在正△ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC=AB，这时二面角B—AD—C大小为 A、600 B、‎900 C、450 D、1200‎ ‎5、一个山坡面与水平面成600的二面角，坡脚的水平线（即二面角的棱）为AB，甲沿山坡自P朝垂直于AB的方向走‎30m，同时乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走‎30m，P、Q都是AB上的点，若PQ=‎10m，这时甲、乙2个人之间的距离为 A、 ‎ B、 C、 D、‎ ‎6、E、F分别是正方形ABCD的边AB和CD的中点，EF交BD于O，以EF为棱将正方形折成直二面角如图，则∠BOD=‎ A、1350 B、‎1200 C、1500 D、900‎ ‎7、三棱锥V—ABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，侧面与底面ABC所成的二面角分别为α，β，γ（都是锐角），则cosα+cosβ+cosγ等于 A、1 B、‎2 C、 D、‎ ‎8、正n棱锥侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，tanα∶tanβ等于 A、 B、 C、 D、‎ ‎9、一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，则这个简单多面体的面数是 A、4 B、‎6 C、8 D、10‎ ‎10、三棱锥P—ABC中，3条侧棱两两垂直，PA=a，PB=b，PC=c，△ABC的面积为S，则P到平面ABC的距离为 A、 B、 C、 D、‎ ‎11、三棱柱ABC—A1B‎1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是 A、 B、 C、 D、‎ ‎12、多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为 A、 B、‎5 C、6 D、‎ （一） 填空题 ‎13、已知异面直线a与b所成的角是500，空间有一定点P，则过点P与a，b所成的角都是300的直线有________条。‎ ‎14、线段AB的端点到平面α的距离分别为‎6cm和‎2cm，AB在α上的射影A’B’的长为‎3cm，则线段AB的长为__________。‎ ‎15、正n棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范围是____________。‎ ‎16、如果一个简单多面体的每个面都是奇数的多边形，那么它的面数是__________。‎ （二） 解答题 ‎17、如图，在斜边为AB的直角三角形ABC中，过A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，CG⊥AB于G，CD⊥PB于D。‎ ‎ （1）求证∠AEF=∠CDG；（2）求△AEF面积的最大值。‎ ‎18、等边三角形ABC的边长为a，沿平行BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d （1） x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少？‎ （2） 若∠BAC=θ，求cosθ的最小值。‎ ‎19、如图，ABCD是矩形，其4个顶点在平面α的同一侧，且它们在平面α内的射影分别为A’，B’，C’，D’，直线A’B与C’D’不重合，‎ （1） 求证：A’B’C’D’是平行四边形；‎ （2） 在怎样的条件下，A’B’C’D’是矩形？并证明你的结论。‎ ‎20、正三棱锥V—ABC的底面边长为a，侧棱与底面所成的角等于θ（θ>），过底面一边作此棱锥的截面，当截面与底面所成二面角为何值时，截面面积最小？并求出最小值。‎ 高三一轮复习讲座十 ----排列、组合、二项式定理和概率 一、复习要求 ‎1、排列数、组合数的计算、化简、证明等；会解排列、组合应用题，掌握常见应用题的处理思路。‎ ‎2、掌握二项式定理，会用展开式通项求有关展开式的问题。‎ ‎3、理解随机事件的概率，会求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件和相互独立事件同时发生的概率。‎ 二、复习指导 ‎ 1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。比较复杂的问题，常先分类再分步。‎ ‎2、排列数与组合数都是计算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列（既取又排）个数的公式，组合数是研究组合（只取不排）个数的公式，是否有序是它们之间的本质区别。‎ 排列数公式：，当m=n时，，其中m，n∈N+，m≤n，规定0!=1‎ 组合数公式：‎ 组合数性质：，规定，其中m，n∈N+，m≤n ‎3、处理排列组合应用题的规律 （1） 两种思路：直接法，间接法 （2） 两种途径：元素分析法，位置分析法 ‎ （3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要完成什么样的事件是前提 ‎ （4）基本题型及方法：捆绑法，插空法，错位法，分组分配法，均匀分组法，逆向思考法等 ‎4、二项式定理 通项公式，r=0，1，2，…，n 二项式系数的性质：‎ ‎ （1）对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，；‎ ‎ （2）增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n是偶数时，中间一项最大；当n是奇数时，中间两项，相等，且为最大值；‎ ‎ （3）‎ ‎5、概率 （1） 概率是频率的近似值，两者是不同概念 （2） 等可能事件中概率，P(A)∈[0，1]‎ （3） 互斥事件A，B中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)‎ 特例：时，，即对立事件的概率和为1‎ ‎ （4）相互独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)=P(A)P(B)‎ ‎ （5）事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k，其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项 三、典型例题 例1、用n种不同颜色为下列两块广告牌着色（如图），要求在①，②，③，④个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色。‎ （1） 若n=6，为甲着色时共有多少种不同方法？‎ （2） 若为乙着色时共有120种不同方法，求n。‎ 解：完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，再由乘法原理确定决的着色方法数。因此 ‎ （1）为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也只有4种方法。‎ ‎∴ 共有着色方法6×5×4×4=480种 ‎ （2）与①的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3)‎ 由n(n-1)(n-2)(n-3)=120‎ ‎∴ （n2-3n）(n2-3n+2)-120=0‎ 即(n2-3n)2+2(n2-3n)-12×10=0‎ ‎∴ n2-3n-10=0‎ ‎∴ n=5‎ 例2、计算下列各题：‎ ‎ （1） （2） （3）‎ 解：（1）原式=‎ ‎ （2）原式=‎ ‎ （3）原式=‎ ‎ =‎ 例3、按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法？‎ （1） 平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；‎ （2） 平均分成三份，每份2本；‎ （3） 甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本；‎ （4） 分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；‎ （5） 甲、乙、丙三人中，一人得4本，另二人每人得1本；‎ （6） 分成三份，一份4本，另两份每份1本；‎ （7） 甲得1本，乙得1本，丙得4本（均只要求列式）‎ 解：（1）； （2） （3）‎ ‎ （4） （5） （6）‎ ‎ （7）‎ 评注：有关排列组合混合题常常是先组合再排列。‎ 例4、四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ） A、150种 B、147种 C、144种 D、141种 解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三种情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有（种）‎ 例5、求(4+2x+x2)(2-x)7的展开式中x5的系数。 ‎ 解：(4+2x+x2)(2-x)7=(8-x3)(x-2)6‎ ‎ =(8-x3)[(x6‎-2C61x5+(-2)‎2C62x4+(-2)‎3C63x3+(-2)‎4C64x2+…]‎ ‎∴ 含x5的项为-2×8×C61·x5-(-2)4C64x5=-336x5‎ ‎∴ x5的系数为-336‎ 例6、已知的展开式前三项中的x的系数成等差数列。‎ （1） 求展开式里所有的x的有理项；‎ （2） 求展开式里系数最大的项。‎ 解：（1）∵ ‎ 由题设可知 解得n=8或n=1（舍去）‎ 当n=8时，通项 据题意，必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8‎ ‎∴ r=0，4，8，故x的有理项为，，‎ （1） 设第r+1项的系数tr+1最大，显然tr+1>0，故有≥1且≤1‎ ‎∵ ‎ 由≥1得r≤3‎ 又∵ ‎ 由≤1得：r≥2‎ ‎∴ r=2或r=3所求项为和 例7、设a>1，n∈N，且n≥2，求证：‎ 证明：设，则(x+1)n=a 欲证原不等式，即证nx<(x+1)n-1，其中x>0‎ ‎∵ ‎ 即(x+1)n>nx+1，原不等式成立。‎ 评注：由于(a+b)n的展开式共有n+1项，故可通过对某些项的取舍来达到近似计算或证明不等式的目的。‎ 例8、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：‎ （1） 取到的2只都是次品；‎ （2） 取到的2只中正品、次品各一只；‎ （3） 取到的2只中至少有一只正品。‎ 解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62=36种不同取法 ‎ （1）取到的2只都是次品情况为22=4种，因而所求概率为 ‎ （2）由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率为 ‎ （3）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为 例9、甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出的密码的概率分别为和，求：‎ （1） 恰有1人译出的密码的概率；‎ （2） 至多1人译出的密码的概率；‎ （3） 若达到译出的密码的概率为，至少需要多少个乙这样的人。‎ 解：记“甲译出密码”为事件A，“甲译不出密码”这事件；记“乙译出密码”为事件B，“乙译不出密码”为事件；“两人都译出密码”为事件C，“两人都译不出密码”为事件D；“恰有1人译出密码”为事件E；“至多1人译出密码”为事件F。‎ ‎ （1）“恰有1人译出密码”是包括2种情况：一种是，另一种是。这两种情况不能同时发生，是互斥的。‎ ‎∴ ‎ ‎ （2）“至多1人译出密码”包括两种情况：“2人都译不出密码”或“恰有1人译出密码”，即事件D+E，且事件D、E是互斥的 ‎∴ ‎ ‎ （3）n个乙这样的人都译不出密码的概率为，根据题意得： ‎ ‎ 解得：n=16‎ 例10、某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根，求他发现用完一盒时另一盒还有r根（1≤r≤n）的概率。‎ 解析：由题意知：数学家共用了2n-r根火柴，其中n根取自一盒火柴，n-r根取自另一盒火柴。‎ 由于数学家取火柴时，每次他在两盒中任取一盒并从中抽取一根，故他用完的那一盒取出火柴的概率是，他不从此盒中取出一根火柴的概率也是。‎ 由于所取的2n-r根火柴，有n根取自用完的那一盒的概率为：‎ 四、同步练习 （一） 选择题 ‎ 1、某一排共12个座位，现甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右两旁都有空座位，且三人的顺序是甲必须在另两人之间，则不同的座法共有 A、60种 B、112种 C、242种 D、672种 ‎2、某同学从6门课中选学2门，其中有2门课上课时间有冲突，另有2门不允许同时选学，则该同学可选学的方法总数有 A、8种 B、13种 C、12种 D、9种 ‎3、如图，在某城市中，M、N两地间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中的矩形的边前进，则从M到N不同的走法共有 A、13种 B、15种 C、25种 D、10种 ‎4、将n个不同的小球放入n个不同的盒子里，恰好有一个空盒的放法种数是 A、 B、 C、 D、‎ ‎5、若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a8x8+a9x9，则a1+a2+…+a8的值为 A、-1 B、‎-2 C、-512 D、510‎ ‎6、 展开式中，x4的系数为 A、-40 B、‎10 C、40 D、45‎ ‎7、的展开式中无理项的个数是 A、84 B、‎85 C、86 D、87‎ ‎8、的展开式中系数最大的项是 A、第3项 B、第4项 C、第2或第3项 D、第3或第4项 ‎9、掷三颗骰子（各面上分别标以数字1到6的均匀正方体玩具），恰有一颗骰子出1点或6点的概率是 A、 B、 C、 D、‎ ‎10、一工人看管三台机床，在一小时内甲、乙、丙三台机床需要工人照看的概率分别是0.9，0.8和0.85，那么在一小时中至少有一台机床不需要照看的概率是 A、0.003 B、‎0.612 C、0.388 D、0.027‎ ‎11、在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是 A、[0.4，1] B、（0，0.4] C、（0，0.6] D、[0.6，1）‎ ‎12、一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，若第一次取得合格品的概率是P1，第二次取得合格品的概率是P2，则 A、P1>P2 B、P1=P‎2 C、P10） 15、1‎ （三） 解答题 16、 ‎ 17.[-1，]‎ ‎ 18、（1）（t≥1）‎ ‎ （2）在[1，+∞）上是减函数 ‎ （3）t=1时，‎ ‎19、（1）a=1；‎ ‎ （2）当02时，-1Bn；当，q≠1时，An且λ≠1‎ 高三一轮复习讲座六 ----不等式参考答案 （一） 选择题 ‎ 1、A 2、A 3、B 4、C 5、A 6、A 7、D 8、A （二） 填空题 ‎ 9、 10、 11、S<1 12、（1，4）‎ （三） 解答题 ‎ 13、‎ ‎ 14、当a≤-1时，x∈(-∞，a)∪(-1，2)‎ ‎ 当-12时，x∈(-∞，-1)∪(2，a)‎ ‎ 15、当|a|≤|b|时，不等式显然成立 ‎ 当|a|>|b|时，‎ ‎ 左=≥≥‎ ‎ =‎ ‎16、或 ‎17、，此时 18、‎ 高三一轮复习讲座七 ----直线和圆的方程参考答案 ‎ （一）1、D 2、C 3、C 4、C 5、A 6、A 7、B 8、D ‎ （二）9、3x-2y+C=0 10、2 11、6，-5 12、x+y=3或x-2y=0‎ ‎ 13、（x≠0）‎ ‎ （三）14、C（2，4），∠C=900‎ ‎ 15、（1） （2） （3）n3‎ ‎ 16、（1）利用圆心到直线距离等于半径 ‎ （2）(x-1)(y-1)=(x>1，y>1)‎ ‎ （3）‎ ‎ 17、（1）画图 3≤b≤5‎ ‎ （2）k∈（）‎ ‎ 18、‎ 高三一轮复习讲座八 ----圆锥曲线方程参考答案 ‎ （一）选择题 ‎1、A 2、A 3、D 4、B 5、C 6、B 7、D 8、D （一） 填空题 ‎ 9、 10、或 11、圆， 12、3，2‎ ‎ 13、，1）‎ （二） 解答题 ‎ 14、‎ ‎ 15、（1）y2=4x （2）0，4‎ ‎ 16、（1）8 （2）不存在 ‎ 17、（1）‎ ‎ （2）抛物线的部分弧，，‎ ‎ 18、（1） （2）‎ 高三一轮复习讲座九 ----立体几何参考答案 （一） 选择题 ‎ 1、D 2、A 3、C 4、A 5、B 6、B 7、A 8、B 9、C 10、B ‎ 11、B 12、D （二） 填空题 ‎ 13、2 14、5或 15、（） 16、偶数 （三） 解答题 ‎ 17、（2）‎ ‎ 18、（1） （2）‎ ‎ 19、（2）一边与α平行或在α内 ‎ 20、 ‎ 高三一轮复习讲座十 ----排列、组合、二项式定理和概率参考答案 （一） 选择题 ‎ 1、B 2、B 3、B 4、A 5、D 6、D 7、A 8、C 9、C 10、C ‎ 11、A 12、B 13、B 14、C （二） 填空题 ‎ 15、211 16、-336 17、 18、（1）1/3 （2）2/3 19、0.3671875‎ （三） 解答题 ‎ 20、504 21、（1）90 （2）30 （3）90 22、4，-3‎ ‎ 23、（1）0.41 （2）0.74‎ ‎ 24、（1） （2） （3） （4）‎ ‎ 25、（1）0.56 （2）0.94 （3）0.38‎ ‎ 26、（1）rn(2-rn) （2）rn(2-r)n （2）比（1）可靠