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- 2021-05-14 发布
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第七章 不等式、推理与证明
学案33 不等式的概念与性质
导学目标: 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.理解不等式的性质,会应用不等式的性质解决与范围有关的问题.
自主梳理
1.不等关系
不等关系与等量关系一样,也是自然界中存在的基本数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在.不等关系可分为常量与________间的不等关系(如3>0),变量与________间的不等关系(如x>5),函数与________之间的不等关系(如x2+1≥2x)等.
2.不等式
用________(如“<”“>”“≤”“≥”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式,其中用“<”或“>”连接的不等式叫做严格不等式;用“≤”“≥”连接的不等式叫做非严格不等式.不等式可分为绝对不等式(不论用什么实数代替不等式中的字母,不等式都能成立)、条件不等式(只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母,不等式才能够成立)、矛盾不等式(不论用什么样的实数代替不等式中的字母,不等式都不能成立).
3.两个实数大小的比较
(1)作差法:设a,b∈R,则a>b⇔a-b>0,a0,b>0,则a>b⇔__________,
ab⇔________;
(2)传递性:a>b,b>c⇒________;
(3)加法性质:a>b⇔________;
推论:a>b,c>d⇒________;
(4)乘法性质:a>b,c>0⇒________;
推论:a>b>0,c>d>0⇒________;
(5)乘方性质:a>b>0⇒________________________;
(6)开方性质:a>b>0⇒________________________;
(7)倒数性质:a>b,ab>0⇒________________.
自我检测
1.(2011·大纲全国)下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
A.a>b+1 B.a>b-1
C.a2>b2 D.a3>b3
2.若a,b是任意实数,且a>b,则( )
A.a2>b2 B.<1
C.lg(a-b)>0 D.a0,b>0,则以下不等式中不一定成立的是( )
A.+≥2
B.ln(ab+1)>0
C.a2+b2+2≥2a+2b
D.a3+b3≥2ab2
4.(2011·上海)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )
A.a2+b2>2ab B.a+b≥2
C.+> D.+≥2
5.(2010·安徽)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号).
①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤+≥2.
探究点一 数与式的大小比较
例1 (1)设x2时,比较cn与an+bn的大小.
变式迁移1 已知a>2,b>2,试比较a+b与ab的大小.
探究点二 不等式性质的简单应用
例2 下面的推理过程
⇒ac>bd⇒>,其中错误之处的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
变式迁移2 (2011·许昌月考)若a B.>
C.|a|>|b| D.a2>b2
探究点三 求字母或代数式范围问题
例3 (1)已知12ac B.c(b-a)<0
C.cb20
2.若a>b>0,则下列不等式中恒成立的是( )
A.> B.a+>b+
C.a+>b+ D.>
3.(2011·金华模拟)已知a>b,则下列不等式一定成立的是( )
A.lg a>lg b B.a2>b2
C.< D.2a>2b
4.(2011·舟山七校联考)若a和>均不能成立
B.>和>均不能成立
C.不等式>和2>2均不能成立
D.不等式>和2<2均不能成立
5.已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,->0(其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.若x>y>1,且0logay;③x-a>y-a;④logxa0>b,cb+d2;③b-c>d-c.其中正确命题的序号是________.
8.已知-≤α<β≤,则的取值范围是________;的取值范围是______________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)(2011·阳江月考)已知a+b>0,试比较+与+.
10.(12分)比较aabb与abba(a,b为不相等的正数)的大小.
11.(14分)已知a>0,a2-2ab+c2=0,bc>a2.试比较a,b,c的大小.
学案33 不等式的概念与性质
自主梳理
1.常量 常量 函数 2.不等号 3.(2)>1 4.(1)bc (3)a+c>b+c a+c>b+d (4)ac>bc ac>bd (5)an>bn (n∈N且n≥2) (6)> (n∈N且n≥2)
(7)<
自我检测
1.A 2.D 3.D 4.D
5.①③⑤
课堂活动区
例1 解题导引 比较大小有两种基本方法:
(1)作差法步骤:作差——变形——判断差的符号.作商法的步骤:作商——变形——判断商与1的大小.(2)两种方法的关键是变形.常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等,也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的.
解 (1)方法一 (x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[x2+y2-(x+y)2]=-2xy(x-y),
∵x0,x-y<0.
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
方法二 ∵xy2,x+y<0.
∴(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0.
∴0<=<1.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
(2)∵a,b,c∈{正实数},∴an,bn,cn>0.
而=n+n.
∵a2+b2=c2,则2+2=1,
∴0<<1,0<<1.
∵n∈N,n>2,
∴n<2,n<2.
∴=n+n<=1.
∴an+bn2,b>2,∴a-1>1,b-1>1.
∴(a-1)(b-1)-1>0.
∴ab-(a+b)>0.
∴ab>a+b.
方法二 (作商法)∵=+,
且a>2,b>2,∴<,<.
∴+<+=1.
∴<1.又∵ab>4>0,∴a+bb⇒ac>bc,c>d⇒bc>bd都是对不等式两边同乘一实数,只有当该实数为正数时,不等号才不改变方向,故这两步都错误;由于不等式具有传递性,所以得出ac>bd是正确的,由ac>bd⇒>是对不等式ac>bd两边同除cd,由于不知cd的正、负,故这一步也是错误的.]
变式迁移2 B [∵a0.
取倒数,则有>,选项A正确.
∵a|b|和a2>b2两个不等式均成立,选项C、D正确.
对于B,-=,
又∵a0,c<0,但b的符号不确定,b可能为0,故C错误.
由b>c⇒ab>ac,b可能为0,故A正确.
⇒c(b-a)>0,故B错误.
⇒ac(a-c)<0,故D错误.]
2.C [∵a>b>0,∴ab>0,∴>.
∴a+>b+.故选C.]
3.D [只有指数函数y=2x在R上为增函数,所以D正确.而A、C显然不是对于一切实数都成立的,B的等价条件是|a|>|b|,显然也错误.]
4.D [∵a有可能成立;又∵a|b|>0,则有<,即>不成立.]
5.D [①由ab>0,bc-ad>0,即bc>ad,
得>,即->0;
②由ab>0,->0,即>,
得bc>ad,即bc-ad>0;
③由bc-ad>0,->0,
即>0,得ab>0;
故可组成3个正确的命题.]
6.3
解析 ∵x>y>1,0ya>0,∴x-a.
即logxa>logya,∴④也不成立.
7.①②
解析 ∵ad<0,bc>0,∴add2>0.
由已知a>b,同向不等式相加得a+c2>b+d2,故②正确;
对于结论③,d-c>0,b-c的正、负不确定,故③不正确.
8.
解析 ∵-≤α<,-<β≤,
∴-π<α+β<π,∴-<<.
∵-≤-β<,
∴-π≤α-β<π,∴-≤<.
又∵α-β<0,∴-≤<0.
9.解 +-=+
=(a-b)=.(6分)
∵a+b>0,(a-b)2≥0,∴≥0.
∴+≥+.(12分)
10.解 =aa-bbb-a=a-b,(4分)
当a>b>0时,>1,a-b>0,
∴a-b>1;(8分)
当01.(11分)
综上所述,当a,b为不相等的正数时,总有aabb>abba.
(12分)
11.解 ∵bc>a2>0,∴b,c同号.(2分)
又a2+c2>0,a>0,∴b=>0.
∴c>0.(4分)
由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0,
∴b-c≥0.(6分)
当b-c>0,即b>c时,
由⇒·c>a2⇒(a-c)(2a2+ac+c2)<0.
∵a>0,b>0,c>0,∴2a2+ac+c2>0.
∴a-c<0,即aa2,∴b2>a2,即b≠a.
又∵a2-2ab+c2=(a-b)2=0⇒a=b与a≠b矛盾,
∴b-c≠0.综上,可知a