2013高考理科数学解题方法攻略—数列通项 18页

专题复习：递推数列通项公式的求法 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。‎ 数列是近几年高考中的重点，难点，也是热点。所占分值约为12％--16％，并在解答题中必有一道且往往是以压轴题的形式出现，可见其重要性非同一般。从近几年高考数列题中不难发现，大部分试题都与通项公式有关，也进一步说明数列通项公式求法的重要性。当前我认为掌握了数列通项公式应是研究数列其它性质的重要前提，也会使我们解决数列相关问题变得更简单化。‎ ‎ 高考大纲中也明确提出：要了解数列通项公式的意义，能根据数列递推公式求出通项公式并能解决简单的实际问题。据发现，很多学生学完了数列这章后总会感到数列很难，尤其是对数列通项公式求法感到很棘手。‎ 一．求递推数列的常用方法和技巧 特殊方法：‎ ‎1.公式法 ‎2.累差法 ‎3.累乘法 ‎4.迭代法 ‎5.倒数代换法 ‎6.对数代换法 ‎7.待定系数法 ‎8待定函数法 ‎8.特征方程法（含不动点法）‎ ‎9.解方程组法 ‎10.数学归纳法 ‎11.换元法(含三角代换)‎ ‎12．分解因式法 通用方法：(大神级方法)‎ ‎13.母函数法（也叫级数法）（适合实验班数学高手，或者大学生，高中教师学习掌握。这种方法十分强大，比如像著名数列卡特兰数列递推公式都直接被母函数秒杀）‎ ‎14.病灶分析法（自己发明的思维方法，名字起得不好听，呵呵。这种面向对象的思维方式非常好能激发学生的分析问题的能力！）‎ ‎15.函数迭代法（详见附录一）（里面有 “算子代数”模型研究结果，难度较大，适合老师学习。这种方法威力极其强大，能算出极其难算的数列通项，适用范围这种一阶问题）‎ 二．高考数学递推数列的常见类型 类型1.型的 类型2.递推公式为 类型3.递推公式为 类型4.递推公式为（其中p，q均为常数，）。‎ 类型5. 递推公式为 类型6递推公式为 类型7.递推公式为 类型8. 递推公式为（其中p，q均为常数）。‎ 类型9.递推公式为 型（特别的情形是：）‎ 类型10.型 类型11. 双数列型 递推公式为确定,.‎ 类型12. 递推公式为 类型13.其他类型 类型14..循环数列 类型1.型的 这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。‎ 例题1． 已知数列的前n项和Sn满足 ‎ (Ⅰ)写出数列的前3项 ‎(Ⅱ)求数列的通项公式;‎ 分析：---------------①‎ 由得----------------②‎ 由得，，得--------------③‎ 由得，，得---------④‎ 用代得 -----------⑤‎ ‎①—⑤：‎ 即----------------------------⑥‎ ‎ ‎ ‎---------------------------⑦‎ 解法二：‎ 母函数法（这个通法用在这个题目上比较麻烦，这里仅仅是显示下母函数法的解题过程），母函数的优势在本题中体现不出来，但是作为通法，它有巨大价值！‎ ‎-------------------------------- ‎--------------------------- 设，待定系数，用赋值法建立方程组解得：‎ 解法三：（病灶分析法）仅仅阐述我的一种思维方式，并没有固定格式：‎ ‎-------------------------------- 我们来看一看这个递推公式，如果没有中的2，那我们都会做了，直接用累加法做即可，现在这个中的2，就是所谓的“病灶”，下面我们来消灭它！‎ ‎（注明：书写方便起见，我直接采用“横式累加法”）‎ 解法四：（病灶分析法）‎ ‎-------------------------------- 我们来看一看这个递推公式，如果没有，那我们都会做了，直接就是等比数列了，直接秒杀，现在这个，就是所谓的“病灶”，下面看我消灭它！‎ 我们用“函数撕裂”的思想把这个撕开，分别配到左边和右边：‎ ‎，比较系数得到 ‎，就是等比数列了，而且公比是2，轻易算得：‎ 解法五：（病灶分析法） ‎ ‎-------------------------------- 和面一样，还是选取为病灶，不同的是，前面对病灶的处理，相当于对“病灶改良”把病灶规范化，相当于一个得了癌症的人，治疗以后带瘤生活。现在我换一种处理方法，就是直接把这个病灶，“肿瘤”给它割掉！‎ ‎---------------------------------- ‎----------------------------- 从式中解出带入中得到：‎ ‎，然后用特征方程法或者待定系数法求解求解 你可能会笑，干嘛还做麻烦了呢？嘿嘿，这个解法五发出来仅仅是展示一下肿瘤是怎么被切掉的。就题论题而言我们完全没必要采用这个方法，但是这种方法，在处理更复杂的递推公式的时候也不失为一种极好的“手术刀”！‎ 类型2.递推公式为 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 ‎ 例题2:已知数列满足，，求。‎ 解：由条件知：‎ 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ‎，‎ 类型3.递推公式为 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。‎ 例题3:已知数列满足，，求。‎ 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又，‎ 类型4.递推公式为（其中p，q均为常数，）。‎ 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。‎ 例题4:已知数列中，，，求.‎ 解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.‎ 解法二：母函数法（再来熟练下母函数方法，这些通法一旦学会极其好用哦）‎ 解法三：（病灶分析法）‎ ‎，‎ 分析一下这个递推公式，如果没有“3”那么这个通项公式就OK了。因此这里的“3”就是“病灶”，下面看我们怎么来消灭它。（函数撕裂法把3撕开分散在左右两边形成规范型）‎ ‎，比较系数得 ‎，也就是上面的待定系数法，这里只是说明待定系数法是怎么分析来的，只是来解释一下，前人为什么会想到待定系数法。‎ 解法四：（病灶分析法）‎ ‎，‎ 分析一下这个递推公式，如果没有“3”那么这个通项公式就OK了。因此这里的“3”就是“病灶”，下面看我们怎么来消灭它。（直接肿瘤切除）‎ ‎-------------- ‎--------------- -消去这个肿瘤“‎3”‎：‎ ‎，对于这个问题后面的步骤就不解释了，可能你又会说这个题，用这个解法四来垃圾了，的确对这个题目而言是很垃圾，但是这个方法解决起复杂问题就非常好了，再此只是再次熟悉，手术刀是如何切除肿瘤的！‎ 解法五：（病灶分析法）‎ ‎，‎ 分析一下这个递推公式，如果没有“2”那么这个通项公式就很OK了，直接就是个等差数列，哈哈。因此这里的“2”就是“病灶”，下面看我们怎么来消灭它。‎ ‎（为了书写方便我就直接用“横式累加法”了）‎ 解法六：（函数迭代法）算子代数方法 ‎，‎ ‎，这里的函数就是可爱的迭代函数啦，嘎嘎。‎ 因为，因此函数迭代的关键问题是对于一个具体的函数而言，如何去求它的N次复合函数的函数表达式了。‎ 而对于这个问题总共有四种方法（直接计算法，数学归纳法，共轭函数法，不动点方法）求见附录，其中还列举了一些典型函数的N次复合结果。在这我就直接用不动点（fixed-point）秒了此题。‎ 令，解得：就是不动点了。取桥函数 容易得到：‎ ‎,正是由于是一个简单函数，从而它的N次复合很好计算，从而和这个函数搭上关系了，从而N次复合也得到解决。‎ 就是一个很简单的函数序列了。‎ 而对这个题目：，‎ 令，解得：就是不动点了。取桥函数 ‎，‎ 就是等比数列了。‎ 看到这里你可能又笑了，费了九牛二虎之力才搞出来，这叫什么垃圾方法啊，别的一个待定系数就秒杀此题了。哈哈，对于此题用这个方法完全是杀鸡用牛刀了，小题大做了。仅仅借此题来展示下函数迭代的思想。这种方法十分强大。‎ 比如迭代函数是，这样的超级复杂的迭代函数，用函数迭代的方法直接秒杀。但是如果你想用待定系数做的话那只能上演悲剧了。‎ 类型5. 递推公式为 解法：方法一：变形转化为类型2求解；‎ 方法二：待定系数法解法：只需构造数列，消去带来的差异。‎ 其他解法（母函数法和病灶分析法）‎ 用上面的病灶分析法能很快解决，并且能给出3种以上的解法，说道这里你可能就笑了，所谓的病灶分析法分析出来的两种解题方法不就是这里摆着的解题方法吗？哈哈，但是这种分析方法让思维更流畅，不需要死记硬背来记忆这些无聊的变形方法，减轻学习负担的同时增强了分析问题的能力，并且体会到了动脑筋的乐趣，激发了学习兴趣！‎ 例题5．设数列：，求数列的通项公式。‎ 解：设，将代入递推式，得 ‎…（１）则,又，故代入（１）得 说明：（1）若为的二次式，则可设;‎ ‎(2)本题也可由 ,（）‎ 两式相减得转化为求之.‎ 类型6递推公式为 解法：添加辅助数列，得 ‎，令，‎ 转化为类型2‎ 对于这个方法我更喜欢把它叫做待定函数法，这篇数学文字里处处体现着形式主义数学的魅力。数学的形式美!‎ 例题6.已知数列满足且，求 ‎ 解：令 ‎，记 则，再用类型2的方法求出 类型7.递推公式为 对数最大的作用是：把二级（乘除运算）转化为一级（加减）运算，而（加减号组成的迭代函数能被轻易的搞定！）‎ 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。‎ 例题7：已知数列｛｝中，，求数列 解：由两边取对数得，‎ 令，则，再利用待定系数法解得：‎ 类型8. 递推公式为（其中p，q均为常数）。‎ 法1：先把原递推公式转化为 其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。‎ 解法2. 对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。‎ 这里本人更推崇第一种方法，对于高中生而言，做得明白，搞得清楚，第二种解法实质上微分方程里面解法的延伸而已，但是对于高中生而言理解难度就稍稍大了点。这也说明了中国教育的神奇，学生根本搞不懂这个方法，居然能用的很熟练，直接无语啊！这种不求甚解的学习是要不得的。希望有关老师注意引导。‎ 例题8. 已知数列中，,,，求 解法一（待定系数法）：由可转化为 即或 这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型2的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即 又，所以。‎ 解法2： 的特征方程为，特征根为，‎ 由于,,解得所以。‎ 类型9.递推公式为 型（特别的情形是：）‎ 解法：可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。说明：形如:递推式，考虑函数倒数关系有 令则可归为型。 (取倒数法)‎ 在这里补充两种特殊形式：‎ ‎（I）型合分比定理 ‎，用下合分比定理：‎ ‎（II）型倒数法：然后再用“病灶分析法”直接秒杀。或者直接转类型6‎ 例题9.数列求数列的通项公式. ‎ 解：由已知，得，其特征方程为，解之，得 ‎，[来源:高考学习网XK]‎ ‎，‎ 类型10.型 解法;特征方程为求出特征根.则可变为 再用对数变换法或迭代法求解。‎ 例题10. 已知数列中，，求 解：的特征方程为，特征根为 ‎，利用对数代换法易求得，即 类型11. 双数列型 递推公式为确定,.‎ 解法：待定系数法转化为等比数列，或转化为类型8而求解 解法二：矩阵相似变换 例题11.若数列满足 解：‎ 另=0解得，故，‎ 用类型5的方法易求得 类型12. 递推公式为 解法：递推式可以变形为再用对数代换法求解。‎ 例题12. 已知数列中，，求 解：变形为由对数代换法易求得 类型13.其他类型 用换元法，数学归纳法，构造法，等方法求递推数列通项公式（关键在于仔细辨析递推关系式的特征，通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明。）‎ 例题13.设,,求通项公式 解:易知，构建新数列，使,‎ ‎,又, ,从而,‎ ‎∴新数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎∴∴‎ 例题14. 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：由及，得 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。‎ ‎（1）当n=1时，，所以等式成立。‎ ‎（2）假设当n=k时等式成立，即，则当时，‎ 由此可知，当n=k+1时等式也成立。‎ 根据（1）（2）可知，等式对任何 例题15. 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，则 ‎ 故，代入得 即 因为，故 则，即，‎ 可化为，‎ 所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，即，得。‎ 类型14.循环数列：‎ 例16：（05湖南）‎ 点评：这个式子是三角正切函数为背景，以3为周期， ，很显然以3为周期，得到。透过这个题目可以进一步理解数列的本质就是同一个函数当自变量取不同正整数时，函数值域之间的关系。‎ 附录一： 函数迭代基本知识 常见函数N次迭代表：‎ ‎（哈哈，暂时只算了这么多，以后继续补充了）‎ 求函数迭代的三种方法:‎ ‎1,直接计算法+数学归纳法 ‎2，共轭函数法 ‎3，不动点法 ‎1,直接计算法+数学归纳法 例1．‎ 解：注意到恒等式：，所以设，‎ 用数学归纳法不难猜得：即：‎ ‎2，共轭函数法 如果存在一个双射使得：，我们就称与在区间D上是共轭的（也叫相似的，这个和矩阵中相似矩阵的概念完全一致，只是这里是对算子下的定义）。其中叫做桥函数。‎ 不难证明这是一种等价关系，我们知道等价关系决定一种分类。这种分类实际上是这个关系相对函数空间的商群。‎ 定理1，共轭（相似）是一种等价关系。‎ 证明只需要验证一下，自反性，对称性，传递性，即可!‎ 定理2，共轭关系具有迭代不变性！‎ 即如果，那么，而且具有相同的桥函数。‎ 特别声明：对于也是成立的。‎ 例2．‎ 解：‎ 取：不难发现：‎ ‎3.不动点法：‎ 第一步，先求出不动点（，比如说有两个不动点：）‎ 若：‎ ‎，分别检验看哪个好计算一些。‎ 若：只有唯一一根时，‎ ‎，分别比较哪一个好计算一些。‎ 例3．‎ 解：‎ 很显然，这一形式已经很容易计算 ‎