湖南省长沙市长郡中学高三高考模拟卷一理数试题 解析 21页

第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A．-4 B．-1 C．1 D．4‎ ‎【答案】D 考点：1、复数的概率；2、复数的运算．‎ ‎2.以下四个命题，正确的是（ ）‎ ‎①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；‎ ‎②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；‎ ‎③在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量一定增加0.2单位；‎ ‎④对于两分类变量与，求出其统计量，越小，我们认为“与有关系”的把握程度越小.‎ A．①④ B．②③ C．①③ D．②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的是系统抽样，故①不正确；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，满足线性相关的定义，故②正确；③在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量平均增加0.2单位，故③不正确；对于两分类变量与，求出其统计量，越小，我们认为“与有关系”的把握程度越小，足随机变量的观测值的特点，故④正确，故选D．‎ 考点：1．抽样方法；2、线性相关；3、随机变量的观测值．‎ ‎3.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：程序框图．‎ ‎4.某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形如图（2），其中，则该几何体的侧面积为（ ）‎ A．64 B．80 C．96 D．128‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图知该几何体是一个四棱柱，该棱柱俯视图的直观图面积为12，所以它的俯视图的面积为，所以其俯视图是边长为6的菱形，棱柱的高为4，所以该几何体的侧面积为，故选C．‎ 考点：1、空间几何体的三视图；2、棱柱的侧面积．‎ ‎5.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、三角函数的图象和性质．‎ ‎【规律点睛】高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.‎ ‎6.长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设小典到校的时间为，小方到校的时间为，可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为是一个矩形区域，对应的面积为，则小张比小王至少早5分钟到校事件 作出符合题意的图像，则符合题意的区域为，联立，得，联立，得，则．由几何概型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为，故选A．‎ 考点：几何概型．‎ ‎【方法点睛】求几何概型，一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解；求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）．‎ ‎7.已知函数，函数，若存在实数使得关于的方程有且只有6个实数根，则这6个根的和为（ ）‎ A． B．6 C．12 D．‎ ‎【答案】C 考点：1、方程的根；2、函数图象．‎ ‎8.在菱形中，，，将折起到的位置，若三棱锥的外接球的体积为，则二面角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示，因为与均为正三角形，因此球心在过外接圆圆心且和平面垂直的直线上，同时也是在过外接圆圆心且和平面垂直的直线上，如图中．设外接球的半径为，则由条件有，解得．因为，所以＝＝，，则，所以在中，，．同理可求得．由条件知，所以为二面角的平面角，所以，所以，故选C．‎ 考点：‎ ‎9.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的几何性质；3、余弦定理．‎ ‎【一题多解】由双曲线定义，得，，设切点为，在中，，过作垂直直线于点，则，，所以＝，所以，即，则，故选C．‎ ‎10.已知点，平面区域由所有满足的点组成的区域，若区域的面积为8，则的最小值为（ ）‎ A． B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C 考点：1、向量数量积；2、向量夹角公式；3、基本不等式．‎ ‎11.已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由已知：，则，，，，…，，，则，所以，所以，故选D.‎ 考点：1、递推数列；2、数列求和；3、基本不等式．‎ ‎12.设函数，是方程的根，且，当时，关于函数在区间内的零点个数的说法中，正确的是（ ）‎ A．至少有一个零点 B．至多有一个零点 C．可能存在2个零点 D．可能存在3个零点 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为是方程的根，且是重根，则，即得．由，则．又由，则，，则，令＋＋，则．当时，，所以在上是减函数，而＝；当时，，所以在上是减函数，故选B．‎ 考点：1、函数零点；2、方程的根；3、利用导数研究函数的单调性．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ 考点：充分条件与必要条件．‎ ‎【方法点睛】(1)充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解一般步骤为：①首先要将等价化简；②将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系；③列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围．‎ ‎14.在等差数列中，为数列的前项和，为数列的公差，若对任意，都有，且，则的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，知．因为，即，亦即，，所以方程有两个不相等的实数根，且两根之和为，又，所以必须至少不一个正实数根，所以，解得．‎ 考点：等差数列的通项公式及前项和．‎ ‎15.设椭圆与函数的图象相交于两点，若点在椭圆上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ 考点：1、椭圆的几何性质；2、直线的斜率公式．‎ ‎16.已知（，且）可以得到几种重要的变式，如：，将赋给，就得到，…，进一步能得到：‎ ‎.‎ 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：‎ ‎ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由，得，，‎ 所以 ‎.‎ 考点：1、二项式定理；2、合情与演绎推理．‎ ‎【知识点睛】归纳推理和类比推理是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论是正确的．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，内角的对边为，已知，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎（2）由，，又，，‎ 因此，解得：.‎ 由正弦定理：，得，‎ 又由，可得，‎ 故.‎ 考点：1、两角和的正弦函数；2、正弦函数的图象与性质；3、正弦定理；4、面积公式．‎ ‎【思路点睛】从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．‎ ‎18.（本小题满分12分）《环境空气质量指标（）技术规定（试行）》如表1：‎ 表1：空气质量指标分组表 表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，指数 与当天的空气水平可见度的情况.‎ 表2：‎ 表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日指数频数统计表.‎ 表3：‎ ‎（1）设，根据表2的数据，求出关于的回归方程；‎ ‎（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元.‎ ‎（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望.‎ ‎（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.‎ ‎（用最小二乘法求线性回归方程系数公式，.）‎ ‎【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．‎ ‎（2）由表3知不高于200的频率为0.1，指数在200至400的频率为0.2，指数大于400的频率为0.7.‎ 设“洗车店每天亏损约200元”为事件A，“洗车店每天收入约400元”为事件B，“洗车店每天收入约700元”为事件C，‎ 则，，，‎ ‎（ⅰ）设洗车店每天收入为元，则的分布列为 则的数学期望为（元）.‎ ‎（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含五种情况”，‎ 则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：‎ ‎.‎ 考点：1、回归方程；2、离散型随机变量的期望；3、独立性检验．‎ ‎19.（本小题满分12分）如图所示，异面直线互相垂直，，，，，，截面分别与相交于点，且平面，平面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎（2）由（1）及异面直线互相垂直知，直线两两垂直，‎ 作，建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则，‎ ‎∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为，‎ ‎∵，∴，得：，即，‎ 又∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为，‎ ‎∴，得，即，‎ 设二面角的大小为，那么，‎ ‎∴，∴二面角的正弦值为.‎ 考点：1、线面平面的性质定理；2、线段垂直的判定定理；3、二面角．‎ ‎20.（本小题满分12分）如图，抛物线的焦点为，取垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，过作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且.‎ ‎（1）求抛物线和圆的方程；‎ ‎（2）过点作倾斜角为的直线，且直线与抛物线和圆依次交于，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）抛物线的方程为；圆的方程为；（2）．‎ ‎（2）设直线的方程为，且，‎ 圆心到直线的距离为，‎ ‎∴，‎ 由，得，设，‎ 则，由抛物线定义知，，‎ 所以，‎ 设，因为，所以，‎ 所以，‎ 所以当时，即时，有最小值.‎ 考点：1、抛物线的方程及几何性质；2、圆的方程；3、直线与抛物线的位置关系；4、直线与直线的位置关系．‎ ‎【方法点睛】求解圆锥曲线中的最值问题，主要围绕直线与圆锥曲线的位置关系问题进行设计，解答时可考两为两个方向：（1）几何法，就是根据圆锥曲线的定义及几何性质，利用图形直观解决；（2）函数法，即通过建立函数，求其最值即可．‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数，，当时，‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎（2）（解法一）‎ ‎.‎ 设，则，‎ 记，则，‎ 当时，，于是在上是减函数，‎ 从而当时，，故在上是减函数，于是，‎ 从而，‎ 所以，当时，在上恒成立.‎ 下面证明，当时，在上不恒成立，‎ ‎.‎ 记，则，‎ 当时，，故在上是减函数.‎ 于是在上的值域为.‎ 因为当时，，所以存在，使得此时，即在上不恒成立.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎.‎ 所以存在（例如取和中的较小值）满足.‎ 即在上不恒成立.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．‎ ‎【方法点睛】求证不等式，一种常见思路是用图像法来说明函数的图像在函数图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数，通过导数研究函数的性质，进而证明欲证不等式．‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，是圆的直径，弦交于，，，.‎ ‎（1）求圆的半径；‎ ‎（2）求线段的长.‎ ‎【答案】（1）5；（2）．‎ 在中，，‎ 由，得，即.‎ ‎∴.‎ 考点：1、相交弦定理；2、余弦定理．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）.‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ 考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、直线与圆的位置关系．‎ ‎24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 关于的不等式.‎ ‎（1）当时，解此不等式；‎ ‎（2）设函数，当为何值时，恒成立？‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 考点：1、不等式的解法；2、绝对值的几何意义．‎