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- 2021-05-14 发布
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2011-2018新课标(理科)圆锥曲线分类汇编
一、选择填空
【2011新课标】7. 设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于 A,B两点,为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( B )
(A) (B) (C)2 (D)3
【2011新课标】14. 在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在 轴上,离心率为。过的直线 交于两点,且的周长为16,那么的方程为 。
【2012新课标】4. 设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点, 是底角为的等腰三角形,则的离心率为( C )
【解析】 是底角为的等腰三角形
【2012新课标】8. 等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为( C )
【解析】设交的准线于
得:
【2013新课标1】4. 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为52,则C的渐近线方程为( C )
A、y=±14x (B)y=±13x (C)y=±12x (D)y=±x
【解析】由题知,,即==,∴=,∴=,∴的渐近线方程为,故选.
【2013新课标1】10、已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为 ( D )
A、+=1 B、+=112 C、+=1 D、+=1
【解析】设,则=2,=-2,
① ②
①-②得,
∴===,又==,∴=,又9==,
解得=9,=18,∴椭圆方程为,故选D.
【2013新课标2】11. 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( C ).
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
【解析】设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+=5,则x0=5-.
又点F的坐标为,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)+(y-y0)y=0.
将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,所以y0=4.
由=2px0,得,解之得p=2,或p=8.
所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.
【2013新课标2】12. 已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( B ).
A.(0,1) B. C. D.
【2014新课标1】4. 已知F为双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( A )
A. 3 B. 3 C. 3m D. 3m
【解析】双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)可化为,
∴一个焦点为(,0),一条渐近线方程为=0,
∴点F到C的一条渐近线的距离为=.故选:A.
【2014新课标1】10. 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=( B )
A. 72 B. 3 C. 52 D. 2
【解析】设Q到l的距离为d,则|QF|=d, ∵=4, ∴|PQ|=3d,
∴直线PF的斜率为﹣2, ∵F(2,0),∴直线PF的方程为y=﹣2(x﹣2),
与y2=8x联立可得x=1,∴|QF|=d=1+2=3,故选:B.
【2014新课标2】10. 设F为抛物线C:的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( D )
A. B. C. D.
【2014新课标2】16. 设点M(,1),若在圆O:上存在点N,使得∠OMN=45°,则的取值范围是___[-1,1]_____.
【2015新课标1】5. 已知M(x0,y0)是双曲线C:上的一点,F1、F2是C上的两个焦点,若<0,则y0的取值范围是( A )
(A)(-,) (B)(-,) (C)(,) (D)(,)
【解析】
【2015新课标1】14. 一个圆经过椭圆的三个顶点,且圆心在x轴上,则该圆的标准方程为 。
【解析】设圆心为(,0),则半径为,则,解得,故圆的方程为。
【2015新课标2】7. 过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于y轴于M、N两点,则=( C )
(A)2 (B)8 (C)4 (D)10
【2015新课标2】11. 已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E
上,∆ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )
(A)√5 (B)2 (C)√3 (D)√2
【2016新课标1】5. 已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( A )
(A)(–1,3) (B)(–1,) (C)(0,3) (D)(0,)
【解析】由题意知:,解得,,解得,故A选项正确.
【2016新课标1】10. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的标准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为( B )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
【解析】令抛物线方程为,D点坐标为(,),则圆的半径为,
,即A点坐标为(,),所以,解得,
故B选项正确.
【2016新课标2】4. 圆的圆心到直线 的距离为1,则a=( A )
(A) (B) (C) (D)2
【解析】圆化为标准方程为:,
故圆心为,,解得,故选A
【2016新课标2】11. 已知,是双曲线E:的左,右焦点,点M在E上,与轴垂直,sin ,则E的离心率为( A )
(A) (B) (C) (D)2
【解析】离心率,由正弦定理得.故选A.
【2016新课标3】11. 已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)左焦点,A、B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于E,若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( A )
(A) (B) (C) (D)
【2016新课标3】16. 已知直线l:mx+y=3m-=0与圆x2+y2=12交于A、B两点,过A、B分别作l的垂线与x轴并于C、D两点,若|AB|=2,则|CD|=___4____
【2017新课标1】10. 已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( A )
A.16 B.14 C.12 D.10
【2017新课标1】15. 已知双曲线C:(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°,则C的离心率为________。
【2017新课标2】9. 若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为( A )
A.2 B. C. D.
【解析】双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为:bx+ay=0,
圆(x﹣2)2+y2=4的圆心(2,0),半径为:2,双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x﹣2)2+y2=4所截得的弦长为2,可得圆心到直线的距离为:=,解得:,可得e2=4,即e=2.故选:A.
【2017新课标2】16. 已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则 6 .
【解析】抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若
M为FN的中点,可知M的横坐标为:1,则M的纵坐标为:,
|FN|=2|FM|=2=6.
【2017新课标3】5. 已知双曲线(,)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点.则的方程为( B )
A. B. C. D.
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为,则①
又∵椭圆与双曲线有公共焦点,易知,则②
由①②解得,则双曲线的方程为,故选B.
【2017新课标3】10.已知椭圆()的左、右顶点分别为,,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为( A )
A. B. C. D.
【解析】∵以为直径为圆与直线相切,∴圆心到直线距离等于半径,
∴ , 又∵,则上式可化简为
∵,可得,即 ∴,故选A
【2018新课标1】8.设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于,两点,则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】D
【2018新课标1】11.已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为,.若为直角三角形,则( )
A. B.3 C. D.4
【答案】B
【2018新课标2】5.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【2018新课标2】12.已知,是椭圆的左,右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【2018新课标3】6.直线分别与轴,轴交于,两点,点在圆上,则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【2018新课标3】11.设是双曲线()的左,右焦点,是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为( )
A. B.2 C. D.
【答案】C
【2018新课标3】16.已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于,两点.若,则________.
【答案】2
二、解答题
【2011新课标】20. 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y = -3上,M点满足MB//OA, MA•AB = MB•BA,M点的轨迹为曲线C。
(1)求C的方程;
(2)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。
【解析】(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1). 所以=(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2).
由题意得知(+)•=0,即(-x,-4-2y)•(x,-2)=0. 所以曲线C的方程式为y=x-2.
(2)设P(x,y)为曲线C:y=x-2上一点,因为y=x,所以的斜率为x
因此直线的方程为,即。
则O点到的距离.又,
所以,
当=0时取等号,所以O点到距离的最小值为2.
【2012新课标】20. 设抛物线的焦点为,准线为,,已知以为圆心,为半径的圆交于两点;
(1)若,的面积为;求的值及圆的方程;
(2)若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到距离的比值。
【解析】(1)由对称性知:是等腰直角,斜边
点到准线的距离,
∴ 圆的方程为
(2)由对称性设,则
点关于点对称得:
得:,直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为。
【2013新课标1】20. 已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C。
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
【解析】由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.
设动圆的圆心为(,),半径为R.
(1)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4,
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶点除外),其方程为.
(2)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
∴当圆P的半径最长时,其方程为,
当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=.
当的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设:,由于圆M相切得,解得.
当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==.
当=-时,由图形的对称性可知|AB|=。 综上,|AB|=或|AB|=.
【2013新课标2】20. 平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:(a>b>0)右焦点的直线交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.
(1)求M的方程;
(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.
【解析】
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则,,,
由此可得. 因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,,
所以a2=2b2. 又由题意知,M的右焦点为(,0),故a2-b2=3.
因此a2=6,b2=3. 所以M的方程为.
(2)由 解得或 因此|AB|=.
由题意可设直线CD的方程为 y=,
设C(x3,y3),D(x4,y4).
由得3x2+4nx+2n2-6=0. 于是x3,4=.
因为直线CD的斜率为1, 所以|CD|=.
由已知,四边形ACBD的面积.
当n=0时,S取得最大值,最大值为. 所以四边形ACBD面积的最大值为.
【2014新课标1】20. 已知点A(0,﹣2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
【解析】
(1)设F(c,0),∵直线AF的斜率为, ∴,解得c=.
又,b2=a2﹣c2,解得a=2,b=1.∴椭圆E的方程为;
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2).由题意可设直线l的方程为:y=kx﹣2.
联立,化为(1+4k2)x2﹣16kx+12=0, 当△=16(4k2﹣3)>0时,即时,
,.
∴|PQ|==
=, 点O到直线l的距离d=.∴S△OPQ==,
设>0,则4k2=t2+3,
∴==1,当且仅当t=2,即,解得时取等号.
满足△>0,∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为:.
【2014新课标2】20. 设,分别是椭圆C:的左,右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b.
【解析】
(1)根据c=a2-b2以及题设知M(c,b2a),2b2=3ac,将b2=a2-c2代入2b2=3ac,
解得ca=12,ca=-2(舍去),故C的离心率为12
(2)由题意,原点O的F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D是线段MF1的中点,故b2a=4,即 b2=4a ① 由MN=5F1N得DF1=F1N
设N(x,y),由题意可知y<0,则2-c-x=c-2y=2
即x=-3c2y=-1 代入方程C,得9c24a2+1b2=1 ②
将①以及c=a2-b2代入②得到9a2-4a4a2+14a=1,解得a=7, b2=4a=28,
故a=7,b2=27
【2015新课标1】20. 在直角坐标系xoy中,曲线C:y=与直线(>0)交与M,N两点,
(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。
【解析】
(1)由题设可得,,或,.
∵,故在=处的到数值为,C在处的切线方程为
,即.
故在=-处的到数值为-,
C在处的切线方程为,即.
故所求切线方程为或.
(2)存在符合题意的点,证明如下:
设P(0,b)为复合题意得点,,,直线PM,PN的斜率分别为.
将代入C得方程整理得.
∴.
∴==.
当时,有=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,
故∠OPM=∠OPN,所以符合题意.
【2015新课标2】20. 已知椭圆C:,直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M。
(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由。
【解析】
(1)设直线,,,.
将代入得,
故,.
于是直线的斜率,即.
所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值.
(2)四边形能为平行四边形.
因为直线过点,所以不过原点且与有两个交点的充要条件是,.
由(1)得的方程为.设点的横坐标为.由
得,即.
将点的坐标代入直线的方程得,因此.
四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分,
即.于是.解得,.因为,,,所以当的斜率为或时,四边形为平行四边形.
【2016新课标1】20. 设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明为定值,并写出点E的轨迹方程;
(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
【解析】
(1)圆心为,圆的半径为,,
,又,,
,.
所以点E的轨迹是以点和点为焦点,以4为长轴长的椭圆,
即,所以点E的轨迹方程为:.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,,,此时四边形MPNQ面积为;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,与椭圆联立得:
,设,则
,,
直线方程为,即
所以圆心到直线的距离为,
综上可知四边形MPNQ面积的取值范围为
【2016新课标2】20. 已知椭圆E:的焦点在轴上,A是E的左顶点,斜率为的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当,时,求△AMN的面积;
(2)当时,求k的取值范围.
【解析】
(1)当时,椭圆E的方程为,A点坐标为,
则直线AM的方程为.
联立并整理得,
解得或,则
因为,所以
因为,,所以,整理得,
无实根,所以.所以的面积为.
(2)直线AM的方程为,
联立并整理得,解得或,
所以 ,所以
因为 所以,整理得,.
因为椭圆E的焦点在x轴,所以,即,整理得,解得.
【2016新课标3】20. 已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A、B两点,交C的准线于P、Q两点,
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程。
【解析】由题设F (,0),设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且
A(,a),B(,b),P(-,a),Q(-,b),R(-,)
记过A、B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0
(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0,记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则
k1=====-b=k2 ∴AR∥FQ
(1)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a||x1-|,
S△PQF=,∴x=0(舍去),x1=1
设满足条件的AB的中点为E(x,y)
当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得=(x≠1)而=y,
∴y2=x-1(x≠1)
当AB与x轴垂直时,E与D重合,∴所求轨迹方程为y2=x-1
【2017新课标1】20. 已知椭圆C:(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上。
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点。
【解析】
(1)由于,两点关于y轴对称,故由题设知C经过,两点.又由知,
C不经过点P1,所以点P2在C上,因此,解得,故C的方程为.
(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,
如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知,且,可得A,B的坐标分别为(t,),(t,).,则,得,不符合题设.
从而可设l:().将代入得,
由题设可知.,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
而.
由题设,故.
即,解得.
当且仅当时,,欲使l:,即,
所以l过定点(2,)
【2017新课标2】20. 设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足。
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x=-3上,且。证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【解析】
(1)设M(x0,y0),由题意可得N(x0,0),设P(x,y),由点P满足=.
可得(x﹣x0,y)=(0,y0),可得x﹣x0=0,y=y0,即有x0=x,y0=,
代入椭圆方程+y2=1,可得+=1,即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2。
(2)证明:设Q(﹣3,m),P(cosα,sinα),(0≤α<2π),
•=1,可得(cosα,sinα)•(﹣3﹣cosα,m﹣sinα)=1,
即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1,
解得m=,即有Q(﹣3,),
椭圆+y2=1的左焦点F(﹣1,0),由kOQ=﹣,kPF=,
由kOQ•kPF=﹣1,可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【2017新课标3】20. 已知抛物线,过点(2,0)的直线交于,两点,圆是以线段为直径的圆。
(1)证明:坐标原点在圆上;
(2)设圆过点(4,),求直线与圆的方程。
【解析】
(1)显然,当直线斜率为时,直线与抛物线交于一点,不符合题意.
设,,,
联立:得,恒大于,,.
∴,即在圆上.
(2)若圆过点,则,
,
化简得解得或
①当时,圆心为,,,
半径,则圆
②当时,圆心为,,,
半径,则圆
【2018新课标1】19. 设椭圆的右焦点为,过的直线与交于,两点,点的坐标为.
(1)当与轴垂直时,求直线的方程;
(2)设为坐标原点,证明:.
【解析】
(1)由已知得,l的方程为x=1.
由已知可得,点A的坐标为或.
所以AM的方程为或.
(2)当l与x轴重合时,.
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为,,
则,直线MA,MB的斜率之和为.
由得 .
将代入得 .
所以,.
则.
从而,故MA,MB的倾斜角互补,所以。
综上,。
【2018新课标2】19. 设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.
(1)求的方程;
(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.
【解析】
(1)由题意得,l的方程为.
设,
由得.
,故.
所以.
由题设知,解得(舍去),.
因此l的方程为.
(2)由(1)得AB的中点坐标为,所以AB的垂直平分线方程为,即.
设所求圆的圆心坐标为,则
解得或
因此所求圆的方程为或.
【2018新课标3】20. 已知斜率为的直线与椭圆交于,两点.线段的中点为.
(1)证明:;
(2)设为的右焦点,为上一点,且.证明:成等差数列,并求该数列的公差.
【解析】
(1)设,则.
两式相减,并由得 .
由题设知,于是.① 由题设得,故.
(2)由题意得,设,则.
由(1)及题设得.
又点P在C上,所以,从而,.
于是.
同理.所以.
故,即成等差数列.
设该数列的公差为d,则
.②
将代入①得.
所以l的方程为,代入C的方程,并整理得.
故,代入②解得.
所以该数列的公差为或.