专题04+立体几何小题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学（文）名师押题高端精品 12页

专题04 立体几何小题（理）‎ 一.立体几何小题 ‎（一）命题特点和预测：分析近8年的高考全国课标1试题，发现立体几何小题8年16考，每年基本上为2个小题，一个以简单几何体的三视图为载体考查简单几何体的三视图及其体积或表面积或几何体中的最值问题，一个考查简单几何体的外接球体积与表面积或空间线面、面面平行、垂直问题、空间异面直线夹角、线面角、与体积或表面积有关的最值问题等，难度既有基础题也有中档题也可为压轴题，2019年的高考仍将在保持这一考试特点的基础上会适度创新．‎ ‎（二）历年试题比较：‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎2018年 ‎（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ B ‎ ‎（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 A. B. C. D. 2‎ B ‎（10）在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A. B. C. D. ‎ C ‎2017年 ‎（6）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是 A ‎（16）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________。‎ ‎2016年 ‎（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 ‎（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π ‎ A ‎（11）平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ A ‎2015年 ‎ (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）‎ B ‎ ‎（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛 ‎ (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( )‎ ‎（A） （B）　　　　（C） （D）‎ B ‎2014年 ‎(8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）‎ A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 B ‎2013年 ‎(11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ‎. . . .‎ A ‎(15)已知是球的直径上一点，=1:2, ⊥平面，为垂足，‎ 截球所得截面的面积为π，则球的表面积为_______.‎ ‎2012年 ‎（7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为 ‎.6 .9 .12 .18‎ B ‎(8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 ‎ ‎（A）π （B）4π （C）4π （D）6π B ‎2011年 ‎(8)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为 D ‎(16)已知两圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上，若圆锥的底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高于体积较大者的高的比值为 .‎ ‎3‎ ‎【解析与点睛】‎ ‎（2018年）（5）【解析】根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.‎ ‎（9）【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.‎ ‎（10）【解析】在长方体中，连接，根据线面角的定义可知，‎ 因为，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C.‎ ‎（2017年）（6）【解析】由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故A不满足，选A．‎ ‎（16）【解析】取的中点，连接 因为，所以 因为平面平面，所以平面 设，则 所以，所以球的表面积为 ‎（2016年）（7）【解析】由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是，故选A．‎ ‎（11）【解析】如图,设平面平面=,平面平面=,因为平面,所以,则所成的角等于所成的角.延长,过作,连接,则为,同理为,而,则所成的角即为所成的角,即为,故所成角的正弦值为,故选A.‎ ‎（2015年）(6)【解析】设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为 ‎=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.‎ ‎(11)【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16 + 20，解得r=2，故选B.‎ ‎（2014年）(8)【解析】由三视图知，该几何体是放到的底面为等腰直角三角形的直三棱柱，故选B.‎ ‎（2013年）(11)【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为=，故选.‎ ‎(15)【解析】由=1:2及是球的直径知，=，=，∴=，由截面圆面积为得截面圆半径为1，∴，∴=，∴球的表面积为=.‎ ‎（2012年）(7)【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为=9，故选B.‎ ‎(8)【解析】由球的截面性质知，球的半径R=，所以球的体积为，故选B.‎ ‎（2011年）(8)【解析】由几何体得正视图与俯视图知，其对应的几何体如图所示是半个圆锥与棱锥的组合体，故其侧视图选D.‎ ‎(16)【解析】设圆锥底面半径为，球的半径为，球心为O，圆锥底面圆心为，两顶点分别为P、Q，则由=知，=，‎ 根据球的截面性质可知P、Q、、共线，圆面，圆锥的轴截面内接于球的大圆，因此，.‎ 设=，=，则=， ①‎ 又∽知==，即= ②‎ 由①②可得=，=，体积较小者的高于体积较大者的高的比值为3.‎ ‎（三）命题专家押题 题号 试 题 ‎1. ‎ 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）‎ A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎2.‎ 如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的表面积是( )cm2‎ A． B． C． D．‎ ‎3‎ 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎4‎ 已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5‎ 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为__________．‎ ‎6‎ 已知一个四棱锥的三视图如图.图中网格小正方形边长为1.则该几何体的各条棱中,最长的棱的长度为( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎7‎ 已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8‎ 如图，圆锥的高，底面圆的直径，是圆上一点，且，为的中点，则直线和平面所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9‎ 一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为_______．‎ ‎10‎ 如图，已知正方体的棱长为为棱的中点，为棱上的点，且满足，点为过三点的面与正方体的棱的交点，则下列说法错误的是（ ）‎ A． B．三棱锥的体积 ‎ C．直线与面的夹角是 D．‎ ‎【详细解析】‎ ‎1.【答案】C ‎【解析】根据三视图作法，中的视图满足作图法则；中的视图满足作图法则；中的视图不满足锥体的顶点在左前方；中的视图满足作图法则，故选。‎ ‎2.【答案】A ‎【解析】把该几何体嵌入棱长为2的正方体中，求得.故选A.‎ ‎3.【答案】C ‎【解析】根据三视图得出：该几何体是三棱锥，如图所示，AB＝2，BC＝3，DB＝5，CD＝4，因为AB⊥面BCD，BC⊥CD，所以，CD⊥面ABC，∴几何体的表面积是＝2，故选C．‎ ‎4.【答案】B ‎【解析】设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，所以r=R，∴=，∴ ，所以球与圆锥的表面积之比为，故选B．‎ ‎5.【答案】24‎ ‎【解析】如图所示，在长宽高分别为的长方体中，，，三视图所对应的几何体是多面体，该组合体是由一个三棱锥和一个四棱锥组成的组合体，其体积：.‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】由三视图可得该四棱锥为，由题中数据可得，，，，，，，即最长的棱为，长度为，故选B ‎7.【答案】A ‎【解析】取AC的中点N，连接N和NB，则N∥AM，所以AM与B所成角为∠NC1B或其补角，设所有棱长为2，则N=B=2,BN=，在△NB中，由余弦定理cos∠NB=，故选A ‎8.【答案】C ‎【解析】过点作于点，连接，如下图，在圆中，为直径.，又为中点，， 且，又， 平面，又平面，平面平面，又平面平面，，平面，平面，就是直线和平面所成角.由题可得，在中，可求得：，又,所以，由得：，所以，故选C ‎9.【答案】‎ ‎【解析】因为一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，所以正四面体的边长为，在正四面体中，如图所示,为底面正三角形的中心，为外接球的球心，设外接球的半径为R，则有,，,因为正四面体的边长为，所以,故，，在中，，即,解得：，故外接球的表面积为.‎ ‎10.【答案】C ‎【解析】A项:因为面AD1∥面BC1，且面AD1与面MBN的交线为FH，面BC1与面MBN的交线为BE，所以HF∥BE，A正确；‎ B项： 同理， ‎ ‎,B正确；‎ C项： ，所以 即为所求线面角， ，C错；‎ D项： ,， D对，故选C. ‎