2014年版高考数学理16两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换二轮考点专练 10页

考点16 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换 一、选择题 ‎1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ6）已知，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】利用“降幂公式”将化简，建立与的关系，可得结果.‎ ‎【解析】选A.因为，‎ 所以，选A.‎ ‎2.（2013·江西高考文科·Ｔ3）若，则cosa=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解题指南】利用二倍角的余弦公式即可.‎ ‎【解析】选C.==.‎ ‎3（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ12）已知函数 下列结论中错误的是（ ）‎ A． ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎【解析】选C.，令，，则，.令，解得或.比较两个极值点和两个端点，，，‎ ‎，的最大值为，故C错误 ‎4. （2013·重庆高考理科·Ｔ9） ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解题指南】先切化弦,然后通分化简求解即可.‎ ‎【解析】选C. ‎ ‎5. （2013·辽宁高考文科·Ｔ6）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ6）相同 在中，内角的对边分别为若且则（ ）‎ ‎【解题指南】利用正弦定理，将边化为角，借助式子的特点，利用和角公式与相关的诱导公式解决问题 ‎【解析】选A. 据正弦定理，设，则将它们代入整理得即又所以 因为所以必为锐角，所以 二、填空题 ‎6.（2013·四川高考文科·Ｔ14）和（2013·四川高考理科·Ｔ13）相同 设，，则的值是____________。‎ ‎【解题指南】本题考查的是简单的三角恒等变换，在解题时要注意公式的灵活运用，特别是二倍角公式与同角关系公式.‎ ‎【解析】根据题意，可得，可得，，所以 ‎【答案】‎ ‎7.（2013·上海高考理科·T11）若，则 ‎【解析】，，故．‎ ‎【答案】‎ ‎8.（2013·上海高考文科·T9）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos(2x-2y)= .‎ ‎【解析】 ‎ ‎【答案】 ‎ ‎9.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T15)设θ为第二象限角,若tan，则sinθ+cosθ=　　　　.‎ ‎【解题指南】利用两角和的正切公式将tan展开化简,通过切化弦,得到目标式sinθ+cosθ,然后利用三角函数的性质,求得sinθ+cosθ的值.‎ ‎【解析】因为θ为第二象限角,tan=>0,所以角θ的终边落在直线y=-x的左侧,sin θ+cosθ<0由tan=,得即,所以设sinθ+cosθ=x,则cosθ-sinθ=2x,将这两个式子平方相加得:x2=,即sinθ+cosθ=.‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎10. （2013·辽宁高考文科·Ｔ17）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ17）相同 设向量 若求的值；‎ 设函数，求的最大值。‎ ‎【解题指南】利用向量的坐标运算，将模和数量积问题转化为三角函数问题求解 ‎【解析】由得 ‎，‎ 又因为所以.又所以 函数 因为所以，故，‎ 即的最大值为 ‎11. （2013·四川高考理科·Ｔ17） 在中，角的对边分别为，且 ‎．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求向量在方向上的投影．‎ ‎【解题指南】本题解题的突破口在于已知条件的化简，以及隐含条件在三角形中内角和为，第（2）问要注意正弦定理与余弦定理的应用.‎ ‎【解析】(1)由2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)= −，‎ 得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=−.‎ 即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=−.‎ 则cos(A-B+B)= −，即cosA=−.‎ ‎(2)由cosA=−，0b,则A>B,故B=.‎ 根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×‎5c×,‎ 解得c=1或c=-7(舍去).‎ 故向量在方向上的投影为||cosB=.‎ ‎12. （2013·四川高考文科·Ｔ17） 在中，角的对边分别为，且。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影。‎ ‎【解题指南】本题解题的突破口在于已知条件的化简，以及隐含条件在三角形中内角和为，第（Ⅱ）问要注意正弦定理与余弦定理的应用.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由,得 ‎，则(A−B+B) =−,即A=−. ‎ 又因为，所以A= ‎ ‎(Ⅱ)由正弦定理,有=,所以B==,‎ 由题知a>b,则A>B,故B=,则B=.‎ 根据余弦定理,有(4)2=52+c2−2´‎5c(−),即c2+‎6c−7=0‎ 解得c=1或c=−7(负值舍去)‎ 故向量在方向上的投影为||B=cB=. ‎ ‎13. （2013·广东高考理科·Ｔ16）已知函数，.‎ （1） 求的值；‎ （2） 若，求.‎ ‎【解题指南】本题考查利用三角函数诱导公式求值和三角恒等变换，特别要注意两角和公式及二倍角公式的应用.‎ ‎【解析】（1）；‎ ‎（2），‎ 若，‎ 则，，，‎ 所以.‎ ‎14. （2013·广东高考文科·Ｔ16）已知函数．‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2) 若，求．‎ ‎【解题指南】本题考查利用三角函数诱导公式求值和三角恒等变换，特别要注意两角和公式及二倍角公式的应用.‎ ‎【解析】(1)；‎ ‎（2）因为，所以，．‎ ‎15. （2013·湖北高考文科·T18）与（2013·湖北高考理科·Ｔ17）相同 在△中，角，，对应的边分别是，，. 已知.（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△的面积，，求的值.‎ ‎【解题指南】三角恒等变换求cosA，用面积公式和正，余弦定理求解。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得, ‎ ‎ 即，解得 或（舍去）.‎ ‎ 因为，所以. ‎ ‎（Ⅱ）由得. 又，知. ‎ 由余弦定理得故. ‎ 又由正弦定理得. ‎ ‎16. （2013·湖南高考理科·Ｔ17）已知函数.‎ ‎（1）若是第一象限角，且.求的值；‎ ‎（2）求使成立的x的取值集合.‎ ‎【解题指南】第(1)问是利用两角差的正余弦公式和降幂公式以及三角函数给值求值.第(2)问要结合已知关系,化简后解三角不等式.‎ ‎【解析】‎ ‎ .‎ ‎（1）由，得，由是第一象限角，所以，从而 ‎ .‎ ‎（2）等价于，即 于是，从而，k∈Z，‎ 即,故使成立的x的取值集合为 ‎.‎ ‎17. （2013·湖南高考文科·Ｔ16） 已知函数 ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求使 成立的x的取值集合 ‎【解题指南】本题需要熟练掌握三角诱导公式，特殊角的三角函数值，三角恒等变换公式及三角函数性质 ‎【解析】（I）‎ ‎ （II）‎ 因为，所以，即 于是解得 故所求的取值集合是 ‎18.（2013·安徽高考理科·Ｔ16）已知函数 的最小正周期为。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）讨论在区间上的单调性。‎ ‎【解题指南】（1）将函数化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式，利用最小正周期求出的值。（2）根据三角函数的图像及性质解答。‎ ‎【解析】（1） ‎ ‎==，因为f(x)的最小正周期为，且，所以有，故。‎ （2） 由（1）知，若，则，‎ 当，即时，f(x)单调递增；‎ 当，即时，f(x)单调递减。‎ 综上所述，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减。‎ ‎19.（2013·安徽高考文科·Ｔ16）设函数f（x）=sinx+sin（x+）。‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；‎ ‎（Ⅱ）不画图，说明函数y=f（x）的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变化的得到。‎ ‎【解题指南】 将函数化成一个角的三角函数的形式，根据三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换解答。‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为 ‎=，所以当即时，f(x)取得最小值，此时x的取值集合为。‎ ‎（Ⅱ）先将y=sinx 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得的图像；再将的图像上所有的点向左平移个单位，得的图像。‎ ‎20. （2013·山东高考文科·Ｔ18）设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【解题指南】(Ⅰ)先利用和差倍角公式，将已知式子化为的形式，由的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，知周期为，即可求出.(Ⅱ)可利用整体代入的思想求解在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ ‎ ‎ 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又，‎ 所以，因此.‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知，‎ 当时，，‎ 所以，‎ 因此 故在区间上的最大值和最小值分别为.‎