版高考数学理空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的表面积与体积二轮考点专练 18页

考点33 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积 一、选择题 ‎1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ9）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T7)相同 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为　(　　)‎ ‎【解析】选A.由题意可知,该四面体为正四面体,其中一个顶点在坐标原点,另外三个顶点分别在三个坐标平面内,所以以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为选项A中的图.‎ ‎2. （2013·山东高考文科·Ｔ4）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）‎ A. B. C. D. 8,8‎ ‎【解题指南】本题考查空间几何体的三视图及表面积和体积公式.‎ ‎【解析】选B.由图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，,侧面积需要计算侧面三角形的高，.‎ ‎3.（2013·广东高考文科·Ｔ6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【解题指南】本题考查空间想象能力，要能由三视图还原出几何体的形状.‎ ‎【解析】选D. 由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，‎ 则.‎ ‎4. （2013·广东高考理科·Ｔ5）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）‎ A．4 B． C． D．6‎ ‎【解题指南】本题考查空间想象能力与台体体积公式，应首先还原出台体形状再计算.‎ ‎【解析】选B. 四棱台的上下底面均为正方形，两底面边长和高分别为，.‎ ‎5. （2013·辽宁高考文科·Ｔ10）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ10）相同已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则球的半径为（ ）‎ ‎【解题指南】对于某些简单组合体的相接问题，通过作出截面，使得有关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中。‎ ‎【解析】选C.由题意，结合图形，经过球心和三棱柱的侧棱中点的大圆，与三棱柱的侧棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC为直角三角形，其外接圆的圆心为其斜边BC的中点，连接,由勾股定理，‎ 其中,所以球的半径为 ‎6. （2013·重庆高考理科·Ｔ5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解题指南】直接根据三视图还原成原来的几何体,然后再根据体积公式求解.‎ ‎【解析】选C.由三视图可知,该几何体为一个放倒的四棱柱,底面为梯形,由三视图可知该四棱柱的底面积为.高为.故体积为 ‎7. （2013·湖南高考理科·Ｔ7）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解题指南】由俯视图可知该正方体是水平放置的,则正视图有许多种可能,但最小面应是一个侧面,最大面应是一个垂直于水平面的对角面.‎ ‎【解析】选C.由于俯视图是一个面积为1的正方形,所以正方体是平放在水平面上,所以正视图最小面积是一个侧面的面积为1,最大面积为一个对角面的面积为，而＜1，所以答案C不正确.‎ ‎8. （2013·重庆高考文科·Ｔ8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】根据三视图可还原原来的几何体,然后求出该几何体的表面积.‎ ‎【解析】选D.由三视图可知该几何体为底面为梯形的直四棱柱.‎ 底面积为,由三视图知,梯形的腰为,梯形的周长为,所以四棱柱的侧面积为.表面积为.‎ ‎9. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ6）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高‎8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为‎6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为　(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解题指南】结合截面图形,构造直角三角形,利用勾股定理列出关于球半径的方程,求出球半径,再利用求出球的体积.‎ ‎【解析】选A. 设球的半径为R,由勾股定理可知， ,解得 ，所以球的体积.‎ ‎10.(2013·浙江高考文科·T5)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是　(　　)‎ A‎.108cm3 B‎.100cm3 C‎.92cm3 D‎.84cm3‎ ‎【解题指南】根据几何体的三视图,还原成几何体,再求体积.‎ ‎【解析】选B.由三视图可知原几何体如图所示,‎ 所以.‎ ‎11. （2013·湖南高考文科·Ｔ7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）‎ A． B.1 C. D.‎ ‎【解题指南】根据面积关系得出，侧视图就是正方体的一个对角面，则正视图也是一个对角面 ‎【解析】选D，根据条件得知正视图和侧视图一样，是正方体的一个对角面，故面积相等 ‎12.（2013·四川高考理科·Ｔ3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）‎ ‎【解题指南】本题考查的是几何体的三视图，在判断时要结合三种视图进行判断，特别要注意虚线的标注.‎ ‎【解析】选D.根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致，并且俯视图是两个圆，可知只有选项D合适，故选D.‎ ‎13.（2013·四川高考文科·Ｔ2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）‎ A棱柱 B棱台 C圆柱 D圆台 ‎【解题指南】本题考查的是几何体的三视图，在判断时要结合三种视图进行判断.‎ ‎【解析】选D，根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致且为梯形，并且俯视图是两个圆，可知只有选项D合适，故选D.‎ ‎14. （2013·湖北高考理科·Ｔ8）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1， V2， V3，V4，若上面两个几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）‎ A. V1 ＜V2＜V4 ＜V3 B. V1 ＜V3＜V2＜V4 ‎ ‎ C. V2＜V1＜V3＜V4 D. V2＜V3 ＜V1＜V4 ‎ ‎【解题指南】计算的大小，然后作比较.‎ ‎【解析】选C. 从而.‎ ‎15.（2013·江西高考文科·Ｔ8）一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π ‎【解题指南】观察三视图得出几何体的结构特征，再代入体积公式进行计算.‎ ‎【解析】选A.由三视图知该几何体是一个组合体，上部是半圆柱，底面半径为3，高为2；下部为长方体，长、宽、高分别为10,4,5.所以此几何体的体积为=.‎ ‎16. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ11）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ8）相同 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为　(　　) ‎ A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π ‎【解题指南】观察三视图，根据三视图确定几何体的构成，利用圆柱及长方体的体积公式求解.‎ ‎【解析】选A.由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体, ‎ 所以体积为×π×22×4+2×2×4=16+8π.‎ 二、填空题 ‎17. （2013·辽宁高考文科·Ｔ13）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ13）相同某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______.‎ ‎【解题指南】由三视图知该几何体是一个简单的组合体，一个圆柱的内部被挖去一个长方体。‎ ‎【解析】圆柱的底面半径为2，母线长4，其体积 被挖去一个底面是边长为2的正方形，侧棱长4的长方体，其体积故该几何体的体积是 ‎【答案】‎ ‎18.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ15）已知H是球的直径AB上一点，AH:HB=1:2,AB⊥平面，H为垂足，截球所得截面的面积为π，则球的表面积为_______.‎ ‎【解析】因为截球所得截面的面积为π，所以截面的半径为.设球的半径为,则,,由勾股定理得,解得.所以球的表面积为.‎ ‎【答案】.‎ ‎19. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ16）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ16）相同 已知圆和圆是球的大圆和小圆，其公共弦长等于球的半径，‎ 则球的表面积等于 .‎ ‎【解题指南】解决本题要明确球大圆是指球的切面过圆心的圆.根据题意画出图形，确定圆与圆所在平面的二面角，构造直角三角形求出半径长.‎ ‎【解析】如图，‎ 设公共弦,为的中点，则，‎ 为圆与圆所在平面的二面角.‎ 所以，又为等边三角形，‎ 所以.又因为,， ‎ 所以，即.‎ 解得，所以.‎ ‎【答案】‎ ‎20. （2013·天津高考文科·Ｔ10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 .‎ ‎【解题指南】先根据球的体积求出半径，再根据球的直径与其内接正方体对角线的相等关系求其棱长.‎ ‎【解析】设球半径为R，因为球的体积为，所以R=，又由球的直径与其内接正方体对角线的相等知正方体的对角线长为3，故其棱长为.‎ ‎【答案】‎ ‎21.(2013·浙江高考理科·T12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,‎ 则此几何体的体积等于　　　　cm3.‎ ‎【解题指南】先由三视图,画出几何体,再根据几何体求解.‎ ‎【解析】由三视图可知原几何体如图所示,‎ 所以 ‎.‎ ‎【答案】24‎ ‎22.（2013·上海高考理科·T13）在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________‎ ‎【解析】根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为．‎ ‎【答案】‎ ‎23.（2013·上海高考文科·T10）已知圆柱的母线长为l，底面半径为r,O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上的两个不同的点，BC是母线，如图.若直线OA与BC所成角的大小为，则= .‎ ‎【解析】‎ ‎【答案】‎ ‎24.(2013·江苏高考数学科·T8)如图,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1∶V2=　　　　.‎ ‎【解析】设三棱柱的底面ABC的面积为S,高为h,则其体积为V2=Sh.因为D,E分别为AB,AC的中点,所以△ADE的面积等于 ,又因为F为AA1的中点,所以三棱锥F-ADE的高等于,于是三棱锥F-ADE的体积 ,故V1∶V2=1∶24.‎ ‎【答案】1∶24‎ ‎25. (2013·福建高考理科·T12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是　　　　　　　　.‎ ‎【解题指南】如果考球,我们只要清楚一个结论,外接球的直径就是长方体的对角线.‎ ‎【解析】球是棱长为2的正方体的外接球,则球的直径,所以球的表面积为S=4πR2=πd2=12π.‎ ‎【答案】12π ‎26.(2013·北京高考理科·T14)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为　　　　.‎ ‎【解析】如图，‎ 过P作PH垂直上底面A1B1C1D1,过E作EE1垂直上底面A1B1C1D1,E1在线段B1C1上,P到线段CC1的距离为HC1.当点P在线段ED1上运动时,P到直线CC1距离的最小值为C1到线段D1E1的高,所以最小值就是△C1D1E1的高.‎ ‎【答案】 ‎ ‎27. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ15）已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的表面积为________。‎ ‎【解题指南】利用正四棱椎的性质，求得OA的长，即可得球的表面积.‎ ‎【解析】设正四棱锥的高为，则，解得高，则底面正方形的对角线长为，所以,所以球的表面积为.‎ ‎【答案】‎ ‎28.（2013·陕西高考理科·Ｔ12）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .‎ ‎【解题指南】根据空间几何体的三视图推导出该几何体为半个圆锥，代入圆锥的体积公式求解.‎ ‎【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2。所以体积 ‎【答案】.‎ ‎29. （2013·陕西高考文科·Ｔ12）某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . ‎ ‎【解题指南】根据空间几何体的三视图推导出该几何体为半个球体，代入球的表面积公式求解.‎ ‎【解析】综合三视图可知，立体图是一个半径r=1的半个球体。其表面积 = ‎ ‎【答案】‎ ‎30. （2013·湖北高考文科·Ｔ16）‎ 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 　　　　寸.‎ ‎（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）‎ ‎【解题指南】先求出水的体积,再除以天池盆盆口的面积,得出平地降雨量.‎ ‎【解析】圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为 ‎ ‎【答案】3‎ ‎31.（2013·北京高考文科·Ｔ10）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________.‎ ‎【解题指南】由三视图可判断出此几何体是底面是正方形，高为1的四棱锥，再代入体积公式求体积。‎ ‎【解析】此棱锥底面是边长为3的正方形，高为1，所以体积为。‎ ‎【答案】3‎ 三、解答题 ‎32. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ19）如图，三棱柱中，，，.‎ ‎（Ⅰ）证明;‎ ‎（Ⅱ）若AB=CB=2, A‎1C=,求三棱柱ABC-A1B‎1C1的体积 ‎【解题指南】（Ⅰ）取的中点，利用线面垂直证明线线垂直；‎ ‎（Ⅱ）求三棱柱ABC-A1B‎1C1的体积，先确定线面垂直，找到三棱柱的高.‎ ‎【解析】（Ⅰ）取的中点，连结，，.‎ 因为，所以.‎ 由于，，故为等边三角形，‎ 所以.‎ 因为，所以面.‎ 又平面，故.‎ ‎（Ⅱ）由题设知与都是边长为的等边三角形，所以，又，则，故.‎ 因为，所以面,为三棱柱的高.‎ 又，故三棱柱的体积.‎ ‎33.（2013·上海高考文科·T19）如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。‎ ‎【解析】由已知条件可知,正三棱锥O-ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形,经计算得底面△ABC的面积为.所以该三棱锥的体积为××1=.‎ 设O'是正三角形ABC的中心.由正三棱锥的性质可知,OO'⊥平面ABC.‎ 延长AO'交BC于D,连接OD,得AD=,O'D=.‎ 又因为OO'=1,所以正三棱锥的斜高OD=.‎ 故侧面积为3××2×=2.‎ 所以该三棱锥的表面积为+2=3,‎ 因此,所求三棱锥的体积为,表面积为3.‎ ‎34.(2013·福建高考文科·T18)‎ 如图,在四棱柱PABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°. ‎ ‎(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程).‎ ‎(2)若M为PA的中点,求证DM∥平面PBC.‎ ‎(3)求三棱锥DPBC的体积.‎ ‎【解题指南】先求出各棱长,画正视图时,先投射底面,然后连结P的投影即可;‎ 结合中点找中位线,证明线面平行;求体积时,要注意表达,要说明哪个线段是高.‎ ‎【解析】方法一:(1)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E,‎ 由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,‎ 在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得:‎ BE=3,从而AB=6.又由PD⊥平面ABCD得,PD⊥AD,‎ 从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°,‎ 得PD=.正视图如图所示:‎ ‎ ‎ ‎ (2)取PB中点N,连结MN,CN,‎ ‎ ‎ 在△PAB中,M是PA中点, ‎ 所以MN∥AB,MN=AB=3,又CD∥AB,CD=3,‎ 所以MN∥CD,MN=CD,‎ 所以四边形MNCD为平行四边形,所以DM∥CN.‎ 又因为DM⊄平面PBC,CN⊂平面PBC,‎ 所以DM∥平面PBC.‎ ‎ (3)VDPBC=VPDBC=S△DBC·PD,‎ 又因为S△DBC=6,PD=,所以VDPBC=.‎ 方法二:(1)同方法一 ‎(2)取AB的中点E,连结ME,DE,‎ ‎(2)取AB的中点E,连结ME,DE,‎ 在梯形ABCD中,BE∥CD,且BE=CD,‎ 所以四边形BCDE为平行四边形,‎ 所以DE∥BC,又DE⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,‎ 所以DE∥平面PBC.‎ 在△PAB中,ME∥PB,‎ ME⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,‎ 所以ME∥平面PBC.又因为DE∩ME=E,‎ 所以平面DME∥平面PBC,又因为DM⊂平面DME,‎ 所以DM∥平面PBC.‎ ‎(3)同方法一.‎