2013高考数学人教B版课后作业97用向量方法证明平行与垂直理 11页

‎9-7 用向量方法证明平行与垂直(理) ‎ ‎1.已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若＝z＋x＋y，则x＋y＋z的值为(　　) ‎ A．1　　　　 B.　　 　‎ C．2　　　　 D. ‎[答案]　C ‎[解析]　∵＝＋＝＋＋.‎ ‎∴x＋y＋z＝1＋＋＝2.‎ ‎2．(2011·银川月考)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的可能是(　　)‎ A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)‎ B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)‎ C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)‎ D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　欲使l∥α，应有n⊥a，‎ ‎∴n·a＝0，故选D.‎ ‎3．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于(　　)‎ A. B. ‎ C．2 D. ‎[答案]　C ‎[解析]　如下图．∵二面角α－l－β等于120°，‎ ‎∴与夹角为60°.‎ 由题设知，⊥，⊥，||＝||＝||＝1，[来源:Ks5u.com]‎ ‎||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×cos60°＝4，‎ ‎∴||＝2.‎ ‎4．(2011·宁德模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为(　　)‎ A．(1,1,1)‎ B．(－1，－1，－1)‎ C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)‎ D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　设a＝(x，y，z)，由条件知＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，∵a⊥，a⊥，|a|＝，‎ ‎∴，将选项代入检验知选C.‎ ‎5．平面α经过三点A(－1,0,1)、B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是(　　)‎ A. B．(6，－2，－2)‎ C．(4,2,2) D．(－1,1,4)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　设平面α的法向量为n，则n⊥，n⊥，n⊥，所有与(或、)平行的向量或可用 与线性表示的向量都与n垂直，故选D.‎ ‎6．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝－＋，则||2的值为(　　)‎ A. B．2‎ C. D.[来源:Ks5u.com]‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由题意，翻折后AC＝AB＝BC，‎ ‎∴∠ABC＝60°，∴||2＝|－＋|2‎ ‎＝||2＋||2＋||2－·－·＋·＝＋＋2－×1×1×cos60°－1×cos45°＋1××cos45°＝.‎ ‎7．(2011·南通模拟)设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．‎ ‎[答案]　垂直 ‎[解析]　∵a·b＝－1×2＋2×3＋(－4)×1＝0，且a与b分别是平面α、β的法向量，∴α⊥β.‎ ‎8．(2011·金华模拟)已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且＝，则点 C的坐标为________．‎ ‎[答案]　(，－1，)‎ ‎[解析]　∵C为线段AB上一点，‎ ‎∴存在实数λ>0，使＝λ，‎ 又＝(－2，－6，－2)，∴＝(－2λ，－6λ，－2λ)，‎ ‎∵＝，∴λ＝，∴＝(－，－2，－)，‎ ‎∴C(，－1，)．‎ ‎9.如下图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　以D1为原点，直线D‎1A1、D‎1C1、D1D为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，‎ 设DF＝t，CE＝k，则D‎1F＝1－t，∴F(0,0,1－t)，E(k,1,1)，要使B1E⊥平面ABF，易知AB⊥B1E，故只要B1E⊥AF即可，‎ ‎∵＝(－1,0，－t)，＝(k－1,0,1)，‎ ‎∴·＝1－k－t＝0，∴k＋t＝1，即CE＋DF＝1.‎ ‎10．(2011·绍兴月考)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法求证：‎ ‎(1)E、F、G、H四点共面；‎ ‎(2)BD∥平面EFGH.‎ ‎[证明]　‎ ‎(1)如上图，＝＋ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝＋＋ ‎＝＋，‎ 由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面．‎ ‎(2)∵＝－ ‎＝－＝(－)＝，‎ 且E、H、B、D四点不共线，∴EH∥BD.‎ 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]‎ ‎∴BD∥平面EFGH.‎ ‎11.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)‎ A．150° B．45° ‎ C．60° D．120°‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由条件知，·＝0，·＝0，‎ ＝＋＋.‎ ‎∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉‎ ‎＝116＋96cos〈，〉＝(2)2，‎ ‎∴cos〈，〉＝－，‎ ‎∴〈，〉＝120°，所以二面角的大小为60°.‎ ‎12．在棱长为1的正方体AC1中，O1为B1D1的中点．求证：BO1∥平面ACD1.‎ ‎[证明]　建立如下图所示的空间直角坐标系，O为AC的中点，由于正方体的棱长为1，‎ 则B(1,0,0)，O1(，，1)，D1(0,1,1)，O(，，0)．‎ ‎∴＝(－，，1)，＝(－，，1)，‎ ‎∴＝，∴BO1∥OD1，‎ 又BO1⊄平面ACD1，OD1⊂平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.‎ ‎13.直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．‎ 求证：CE⊥A′D.‎ ‎[证明]　设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|，‎ 且a·b＝b·c＝c·a＝0，‎ ‎∴＝b＋c，＝－ ‎＝(＋)－(＋)＝－＋－ ‎＝－c＋b－a.‎ ‎∴·＝－c2＋b2＝0.‎ ‎∴⊥，即CE⊥A′D.‎ ‎14.在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E、F、E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．‎ 求证：平面C1E‎1F⊥平面CEF.‎ ‎[证明]　以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，，2)．‎ 设平面C1E‎1F的法向量n＝(x，y，z)．‎ ‎∵＝(1，－，0)，＝(－1,0,1)，‎ ‎∴，即，‎ 令x＝1，则y＝2，z＝1，∴n＝(1,2,1)．‎ 设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)，‎ 由＝(0,1,0)，＝(－1,0，－1)，‎ ‎∴，即.‎ 令a＝－1，则m＝(－1,0,1)．‎ ‎∵m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝0，‎ ‎∴平面C1E‎1F⊥平面CEF.‎ ‎15．(2011·海口调研)在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E是AD的中点，F是PC的中点．‎ ‎(1)求证：BE⊥平面PAD；‎ ‎(2)求证：EF∥平面PAB；‎ ‎(3)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值．‎ ‎[解析]　解法一：(1)∵E是AD中点，连接PE，‎ ‎∴AB＝2，AE＝1.‎ BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos∠BAD ‎＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3.‎ ‎∴AE2＋BE2＝1＋3＝4＝AB2，∴BE⊥AE.‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，‎ ‎∴BE⊥平面PAD.‎ ‎(2)取PB中点为H，连接FH，AH，‎ ‎∵AE綊BC，又∵HF是△PBC的中位线，‎ ‎∴HF綊BC，∴AE綊HF，‎ ‎∴AHFE是平行四边形，∴EF∥AH，‎ 又EF⊄平面PAB，AH⊂平面PAB，‎ ‎∴EF∥平面PAB.‎ ‎(3)由(1)知，BC⊥BE，PE⊥BC，‎ 又PE，BE是平面PBE内两相交直线，‎ ‎∴BC⊥平面PBE，‎ 又由(2)知，HF∥BC，∴HF⊥平面PBE，‎ ‎∴∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角，‎ 易知BE＝PE＝，在Rt△PEB中，‎ EH＝，∴tan∠FEH＝＝，‎ ‎∴cos∠FEH＝.‎ 故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为.‎ 解法二：容易证明EP，EA，EB两两垂直，建立空间直角坐标系E－xyz如下图．‎ 易求BE＝PE＝，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，‎ B(0，，0)，C(－2，，0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，‎ 因为F是PC的中点，则F(－1，，)．[来源:高&考%资(源#网 wxc]‎ ‎(1)∵·＝0·1＋·0＝0·0＝0，‎ ‎∴⊥，即EB⊥EA，‎ ‎∵·＝0·0＋·0＋0·＝0，‎ ‎∴⊥，即EB⊥EP，‎ ‎∵EA，EP是平面PAD内的两相交直线，[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]‎ ‎∴EB⊥平面PAD.‎ ‎(2)取PB中点为H，连接FH，AH，则H(0，，)，‎ ‎∵＝(－1，，)，‎ ＝(0，，)－(1,0,0)＝(－1，，)，‎ ‎∴∥，‎ ‎∵又EF⊄平面PAB，AH⊂平面PAB，‎ ‎∴EF∥平面PAB.‎ ‎(3)∵y轴⊂平面PBE，z轴⊂平面PBE，‎ ‎∴平面PBE的法向量为n＝(1,0,0)，‎ ‎∵＝(－1，，)，‎ 设直线EF与平面PBE所成角为θ，‎ ‎∴sinθ＝＝，∴cosθ＝，‎ 故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为.‎ ‎ ‎