高考湖南文科数学试题及答案word解析版 5页

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎（1）【2013年湖南，文1，5分】复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）‎ ‎（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】，故选B．‎ ‎（2）【2013年湖南，文2，5分】“”是“”成立的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】∵“”能推出“”成立，但“”不能推出“”成立，故选A．‎ ‎（3）【2013年湖南，文3，5分】某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则（ ）‎ ‎（A）9 （B）10 （C）12 （D）13‎ ‎【答案】D ‎【解析】抽样比为，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴，故选D．‎ ‎（4）【2013年湖南，文4，5分】已知是奇函数，是偶函数，且，，则 等于（ ）‎ ‎（A）4 （B）3 （C）2 （D）1‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】∵是奇函数，是偶函数，∴，即 ①‎ ‎，即 ② 由①+②得，故选B．‎ ‎（5）【2013年湖南，文5】在锐角中，角，所对的边长分别为．若，则角等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，∴．∵，∴．∵，∴，故选A．‎ ‎（6）【2013年湖南，文6，5分】函数的图像与函数的图像的交点个数为（ ）‎ ‎ （A）0 （B）1 （C）2 （D）3‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用图象知，有两个交点，故选C．‎ ‎（7）【2013年湖南，文7，5分】已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）‎ ‎（A） （B）1 （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，正方体的俯视图为，侧视图为，此时满足其面积为，故该正方体的正视图应为．又因，故其面积为，故选D．‎ ‎（8）【2013年湖南，文8，5分】已知是单位向量，．若向量满足，则||的最 大值为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】可利用特殊值法求解．可令，，．由，得，‎ ‎∴．即为，可看成上的点到原点的距离，∴，‎ 故选C．‎ ‎（9）【2013年湖南，文9，5分】已知事件“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”发生的概率为，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，设，．由于为最大边的概率是，则在上运动满足条 ‎ 件，且，即或．∴，即，‎ 即，∴．∴．又∵，故选D．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎（10）【2013年湖南，文10，5分】已知集合，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，∴．‎ ‎（11）【2013年湖南，文11，5分】在平面直角坐标系中，若直线（为参数）和直线（ 为参数）平行，则常数的值为 ．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】的普通方程为：，的普通方程为：，即，∴．‎ ‎（12）【2013年湖南，文12，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入，，则输出 的的值为 ．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】输入，不满足a>8，故；不满足，故；不满足，‎ 故；不满足，故，满足，终止循环．输出．‎ ‎（13）【2013年湖南，文13，5分】若变量满足约束条件，则的最大值为 ．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】画出可行域，令，易知在处取得最大值6．‎ ‎（14）【2013年湖南，文14，5分】设是双曲线， (，)的两个焦点．若 ‎ 在上存在一点，使，且，则的离心率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，∵，，可得．由双曲线定义知，，‎ 由得，即，即，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（15）【2013年湖南，文15，5分】对于的子集，定义的“特征数列”为 ‎ ‎，其中 ，其余项均为0，例如子集的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0 ．（1）子集的“特征数列”的前三项和等于 ；（2）若的子集的“特征数列” 满足，，；的子集的“特征数列”满足，，，则的元素个数为 ．‎ ‎【答案】（1）2；（2）17‎ ‎【解析】（1）的特征数列为1，0，1，0，1，0，…，0，∴前3项和为2．‎ ‎（2）根据题意知，P的特征数列为1，0，1，0，1，0，…，则有50个元素， 的特征数列为1，0，0，1，0，0，1，…，则有34个元素，‎ ‎∴，共有个．‎ 三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． ‎ ‎（16）【2013年湖南，文16，12分】已知函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求使 成立的的取值集合．‎ 解：（1）==．‎ ‎（2）‎ ‎．等价于，即．‎ 于是．解得．‎ 故使成立的x的取值集合为．‎ ‎（17）【2013年湖南，文17，12分】如图，在直棱柱中，，，，是的中点，点在菱上运动．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当异面直线所成的角为时，求三棱柱的体积．‎ 解：（1）证明：因为，是的中点，所以．①又在直三棱柱 ‎ 中，平面，而平面，所以．②‎ 由①，②得平面．由点在棱上运动，得平面，所以．‎ ‎（2）因为，所以是异面直线，所成的角，由题设，，‎ 因为，所以，又，从而平面，于是．‎ 故，又，所以，‎ 从而．‎ ‎（18）【2013年湖南，文18，12分】某人在如图3所示的直角边长为‎4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量(单位：kg)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过‎1米．‎ ‎（1）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；‎ ‎；‎ ‎（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为‎48kg的概率．‎ 解：（1）所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的 作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ 所种作物的平均年收获量为：=． ‎ ‎（2）由（1）知，，．故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 ‎ kg的概率为．‎ ‎（19）【2013年湖南，文19，13分】设为数列的前项和，已知，，．‎ ‎（1）求，，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ 解：（1）令，得，即．因为，所以．令，得．‎ 解得．当时，由两式相减得．即．‎ 于是数列是首项为1，公比为2的等比数列．因此，．所以数列的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）知，．记数列的前项和为，于是①‎ ‎．② ①-②得：．‎ 从而．‎ ‎（20）【2013年湖南，文20，13分】已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，．当最大时，求直线的方程．‎ 解：（1）由题设知，，的坐标分别为，，圆的半径为2，圆心为原点关于直线 的对称点．设圆心坐标为，由得，圆的方程为．‎ ‎（2）由题意，可设直线的方程为，则圆心到直线的距离．‎ 所以．由得．‎ 设与的两个交点坐标分别为，，则，．‎ 于是 ‎．从而 ‎．当且仅当，时等号成立．‎ 故当时，最大，此时，直线的方程为或，‎ 即，或．‎ ‎（21）【2013年湖南，文21，13分】已知函数． ‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）证明：当 时，．‎ 解：（1）函数的定义域为．==．‎ 当时，；当时，．的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（2）当时，由于，，故；同理，当时，．当 ‎ 时，不妨设，由（1）知，．下面证明：，，即证 ‎，等价于．令，则．‎ 当时，，单调递减，从而g(x)