高考数学平面解析几何时直线的方程更多资料关注微博高中学习资料库 9页

第九章 平面解析几何第2课时　直线的方程 考情分析 考点新知 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．‎ ‎① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.‎ ‎② 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.‎ ‎1. 把直线方程Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化成斜截式为________________，化成截距式为________________．‎ 答案：y＝－x－　＋＝1‎ 解析：因为ABC≠0，即A≠0，B≠0，C≠0，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．斜截式为y＝－x－，截距式为＋＝1.‎ ‎2. (必修2P88习题13改编)过点(3，6)作直线l，使l在x轴，y轴上截距相等，则满足条件的直线方程为__．‎ 答案：x＋y－9＝0，y＝2x 解析：设该直线方程为＋＝1(a≠0)，则＋＝1，所以a ＝9，则该直线方程为x＋y－9＝0；又若过原点，则该直线方程为y＝2x.‎ ‎3. 下列四个命题：‎ ‎① 过点P(1，－2)的直线可设为y＋2＝k(x－1)；‎ ‎② 若直线在两轴上的截距相等，则其方程可设为＋＝1(a≠0)；‎ ‎③ 经过两点P(a，2)，Q(b，1)的直线的斜率k＝；‎ ‎④ 如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第二象限．‎ 其中正确的是_____________．(填序号)‎ 答案：④‎ ‎4. (必修2P82第1题改编)已知直线l过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为________．‎ 答案：3x＋4y－14＝0‎ 解析：由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.‎ ‎5. 经过两点(－1，8)和(4，－2)的直线的两点式方程是____________________，截距式方程是__________________，一般式方程是____________________．‎ 答案：＝　＋＝1　2x＋y－6＝0‎ ‎1. 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线x＝x0‎ 斜截式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 ‎2. 过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 ‎(1) 若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1．‎ ‎(2) 若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1．‎ ‎(3) 若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0．‎ ‎(4) 若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0．‎ ‎3. 线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则 此公式为线段P1P2的中点坐标公式.‎ 题型1　直线方程 例1　求经过点A(2，m)和B(n，3)的直线方程．‎ 解：(解法1)利用直线的两点式方程．直线过点A(2，m)和B(n，3)．‎ ‎① 当m＝3时，点A的坐标是A(2，3)，与点B(n，3)的纵坐标相等，则直线AB的方程是y＝3.‎ ‎② 当n＝2时，点B的坐标是B(2，3)，与点A(2，m)的横坐标相等，则直线AB的方程是x＝2.‎ ‎③ 当m≠3，n≠2时，由直线的两点式方程＝得＝.‎ ‎(解法2)利用直线的点斜式方程．‎ ‎① 当n＝2时，点A、B的横坐标相同，直线AB垂直于x轴，则直线AB的方程为x＝2.‎ ‎② 当n≠2时，过点A，B的直线的斜率是k＝.又∵ 过点A(2，m)，∴ 由直线的点斜式方程y－y1＝k(x－x1)，得过点A，B的直线的方程是y－m＝(x－2)．‎ 过点P(1，4)引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线的方程．‎ 解：(解法1)设所求的直线方程为y－4＝k(x－1)．显见，上述直线在x轴、y轴上的截距分别为1－、4－k.由于1－>0且4－k>0可得，k<0.直线在两坐标轴上的截距之和为S＝＋(4－k)＝5＋(－k)＋≥5＋4＝9，当且仅当－k＝－，即k＝－2时，S有最小值9.故所求直线方程为y－4＝－2(x－1)，即2x＋y－6＝0.‎ ‎(解法2)设所求的直线方程为＋＝1(a>0，b>0)．‎ 据题设有＋＝1，①　令S＝a＋b.②‎ ‎①×②，有S＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋4＝9.当且仅当＝时，即‎2a＝b，且＋＝1，也即a＝3，b＝6时，取等号．‎ 故所求的直线方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0.‎ 例2　求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．‎ 解：①截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1.‎ ‎∵ l过A(5，2)，∴ ＋＝1.‎ ‎∴ a＝3.∴ l的方程为x－y－3＝0.‎ ‎②截距为0时，l的方程为2x－5y＝0.‎ 综上①②可得直线l的方程是x－y－3＝0或2x－5y＝0.‎ 直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．‎ 解：解法1：(借助点斜式求解)‎ 由于直线l在两轴上有截距，因此直线不与x、y轴垂直，斜率存在，且k≠0.设直线方程为y－2＝k(x－3)，‎ 令x＝0，则y＝－3k＋2；令y＝0，则x＝3－.‎ 由题设可得－3k＋2＝3－，解得k＝－1或k＝.‎ 故l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)．‎ 即直线l的方程为x＋y－5＝0或2x－3y＝0.‎ 解法2：(利用截距式求解)‎ 由题设，设直线l在x、y轴的截距均为a.‎ 若a＝0，则l过点(0，0)．又过点(3，2)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即l：2x－3y＝0.‎ 若a≠0，则设l为＋＝1.‎ 由l过点(3，2)，知＋＝1，故a＝5.‎ ‎∴l的方程为x＋y－5＝0.‎ 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.‎ 题型2　直线方程的形式 例3　求经过点A(－2，2)且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程．‎ 解：(解法1)设所求直线方程为＋＝1(a<0，b>0)，‎ ‎∵ ＋＝1，∴ a＝.又a<0，∴ b>2.S△＝－ab＝－·＝ ＝(b＋2)＋＝＋4≥2＋4＝8. 当且仅当b－2＝，即b＝4时S最小．此时a＝－4，b＝4，故x－y＋4＝0为所求直线方程．‎ ‎(解法2)设所求直线方程为y－2＝k(x＋2)，显然k>0，由题意，S△＝|2k＋2|· ＝4＋2(k＋)≥8.当且仅当k＝1时取等号，‎ 故x－y＋4＝0为所求直线方程．‎ 直线l过点M(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.点O是坐标原点．‎ ‎(1) 当△ABO的面积最小时，求直线l的方程；‎ ‎(2) 当最小时，求直线l的方程．‎ 解：(1) 如图，设＝a，＝b，△ABO的面积为S，则S＝ab，并且直线l的截距式方程是＋＝1，‎ 由直线通过点(2，1)，得＋＝1，‎ 所以＝＝.‎ 因为A点和B点在x轴、y轴的正半轴上，所以上式右端的分母b－1>0.由此得 S＝×b＝×b＝＝b＋1＋ ‎＝b－1＋＋2≥2＋2＝4.‎ 当且仅当b－1＝，即b＝2时，面积S取最小值4，这时a＝4，直线的方程为＋＝1.‎ 即直线l的方程为x＋2y－4＝0.‎ ‎(2) 如上图，设∠BAO＝θ，则＝，＝，‎ 所以＝·＝，‎ 当θ＝45°时，有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l的方程为x＋y－3＝0.‎ 题型3　待定系数法求直线方程 例4　过点M(0，1)作一条直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M点平分．求此直线方程．‎ 解：(解法1)由于过点M(0，1)且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组xA＝，xB＝.‎ ‎∵ 点M平分线段AB，∴ xA＋xB＝2xM，‎ 即有＋＝0，解得k＝－.‎ 故所求的直线方程为x＋4y－4＝0.‎ ‎(解法2)设所求的直线与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，∵ 点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，∴ 设B(t，8－2t)，由于M(0，1)是线段AB的中点，∴ 根据中点坐标公式得A(－t，2t－6)，‎ 而A点在直线l1：x－3y＋10＝0上，∴ (－t)－3(2t－6)＋10＝0，解之得t＝4，∴ B(4，0)．‎ 故所求直线方程为x＋4y－4＝0.‎ 已知直线l：x＋y＋4－‎3m＝0.‎ ‎(1) 求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；‎ ‎(2) 过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．‎ ‎(1) 证明：∵m＋2x＋y＋4＝0，‎ ‎∴由题意得 ‎∴直线l恒过定点M.‎ ‎(2) 解：设所求直线l1的方程为y＋2＝k(x＋1)，直线l1与x轴、y轴交于A、B两点，则A，B(0，k－2)．‎ ‎∵AB的中点为M，∴解得k＝－2.‎ ‎∴所求直线l1的方程为2x＋y＋4＝0.‎ ‎1. 已知直线的点斜式方程为y－1＝－(x－2)，则该直线另外三种特殊形式的方程为______________，______________，______________．‎ 答案：y＝－x＋　＝　＋＝1‎ 解析：将y－1＝－(x－2)移项、展开括号后合并，即得斜截式方程y＝－x＋.‎ 因为点(2，1)、均满足方程y－1＝－(x－2)，故它们为直线上的两点．由两点式方程得＝，即＝.‎ 由y＝－x＋知，直线在y轴上的截距b＝，又令y＝0，得x＝.故直线的截距式方程为＋＝1.‎ ‎2. 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________________________________________________________________________．‎ 答案：y＝－x＋ 解析：将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.‎ ‎3. 直线l经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l的方程为________．‎ 答案：8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0‎ 解析：设所求直线l的方程为＋＝1，‎ ‎∵ 直线l过点P(－5，－4)，∴ ＋＝1，‎ 即‎4a＋5b＝－ab.又由已知有|a||b|＝5，‎ 即|ab|＝10，解方程组 得或 故所求直线l的方程为＋＝1或＋＝1.即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.‎ ‎4. 若点P(1，1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为________．‎ 答案：2x－y－1＝0‎ 解析：由题意得，×kMN＝－1，所以kMN＝2，故弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.‎ ‎5. 已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：‎ ‎(1) △ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；‎ ‎(2) BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．‎ 解：(1) 平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．因为线段AB、AC中点坐标分别为，，所以这条直线的方程为＝，整理得一般式方程为6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1.‎ ‎(2) 因为BC边上的中点为(2，3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.‎ ‎6. 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．‎ ‎(1) 若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；‎ ‎(2) 若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．‎ 解：(1) 当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为零，‎ ‎∴ a＝2，即方程为3x＋y＝0符合题意．当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，‎ ‎∴ ＝a－2，即a＋1＝1，‎ ‎∴ a＝0，即方程为x＋y＋2＝0.‎ ‎(2) (解法1)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，‎ ‎∴ 或 ‎∴ a≤－1.综上可知a的取值范围是a≤－1.‎ ‎(解法2)将l的方程化为(x＋y＋2)＋a(x－1)＝0(a∈R)．它表示过l1：x＋y＋2＝0与l2：x－1＝0交点(1，－3)的直线系(不包括x＝1)．由图象可知l的斜率－(a＋1)≥0，即a≤－1时，直线l不经过第二象限．‎ ‎1. 直线x＋a2y－a＝0(a>0，a是常数)，当此直线在x、y轴上的截距和最小时，a＝________．‎ 答案：1‎ 解析：方程可化为＋＝1，因为a>0，所以截距之和t＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号．‎ ‎2. 已知直线l1的方向向量为a＝(1，3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)，若直线l2经过点(0，5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为________．‎ 答案：x＋3y－15＝0‎ 解析：∵ kl1＝3，kl2＝－k，l1⊥l2，‎ ‎∴ k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.‎ ‎3. 当过点P(1，2)的直线l被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，直线l的方程为________．‎ 答案：x－y＋1＝0‎ 解析：易知圆心C的坐标为(2，1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短．由C(2，1)，P(1，2)可知直线PC的斜率为＝－1，设直线l的斜率为k，则k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.‎ ‎4. 不论m取何值，直线(m－1)x－y＋‎2m＋1＝0恒过定点________．‎ 答案：(－2，3)‎ 解析：把直线方程(m－1)x－y＋‎2m＋1＝0，整理得 ‎(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，‎ 则得 ‎5. 已知两点A(－1，2)、B(m，3)．‎ ‎(1) 求直线AB的方程；‎ ‎(2) 已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．‎ 解：(1) 当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，‎ 当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．‎ ‎(2) ①当m＝－1时，α＝；‎ ‎②当m≠－1时，m＋1∈∪(0，]，‎ ‎∴k＝∈(－∞，－]∪，‎ ‎∴α∈∪.‎ 综合①②，直线AB的倾斜角α∈.‎ ‎6. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0.‎ ‎(1) 求证：直线l过定点；‎ ‎(2) 若直线l交x轴负半轴于点A，交y正半轴于点B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．‎ ‎(1) 证明：由已知得k(x＋2)＋(1－y)＝0，‎ ‎∴无论k取何值，直线过定点(－2，1)．‎ ‎(2) 解：令y＝0得A点坐标为，‎ 令x＝0得B点坐标为(0，2k＋1)(k>0)，‎ ‎∴S△AOB＝|2k＋1|‎ ‎＝(2k＋1)＝ ‎≥(4＋4)＝4.‎ 当且仅当4k＝，即k＝时取等号．‎ 即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0，即x－2y＋4＝0.‎ ‎1. 求直线方程的方法主要有以下两种：‎ ‎(1) 直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；‎ ‎(2) 待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．‎ ‎2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．‎ ‎[备课札记]‎