高考数学必考直线和圆锥曲线经典题型含详解 27页

‎1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。‎ ‎2、弦长公式：若点在直线上，‎ 则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，‎ 或者 ‎。‎ ‎3、两条直线垂直：则 两条直线垂直，则直线所在的向量 ‎4、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。‎ 常见的一些题型：‎ 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围 思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点。‎ 解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。‎ 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：‎ 证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。‎ 一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：‎ ‎（1）若定点P在抛物线外，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；‎ ‎（2）若定点P在抛物线上，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；‎ ‎（3）若定点P在抛物线内，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。‎ 二、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：‎ ‎（1）若定点P在双曲线内，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；‎ ‎（2）若定点P在双曲线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；‎ ‎（3）若定点P在双曲线外且不在渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；‎ ‎（4）若定点P在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；‎ ‎（5）若定点P在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P和双曲线只有一个公共点的直线不存在。‎ 题型二：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。‎ 例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。‎ 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的倍。运用弦长公式求弦长。‎ 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。‎ 设直线，，，。由消y整理，得 ①由直线和抛物线交于两点，得 即 ②由韦达定理，得：。 则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为： 令y=0,得，则为正三角形， 到直线AB的距离d为。 解得满足②式 此时。 ‎ ‎ 例题3、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（Ⅰ）求过点O、F，并且与相切的圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。‎ 分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。 ‎ 解：(I) ∵a2=2，b2=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2. ∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=- 设M(-)，则圆半径：r=|(-)-(-2)|= 由|OM|=r，得，解得t=±， ∴所求圆的方程为(x+)2+(y±)2=. (II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0, 设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)， 代入+y2=1，整理得 (1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0 ∵直线AB过椭圆的左焦点F， ∴方程一定有两个不等实根, 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)， 则x1+x1=- ‎ ‎∴AB垂直平分线NG的方程为 ‎ 令y=0，得 ∵‎ ‎∴点G横坐标的取值范围为（）。例题4、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2‎ 分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。‎ 解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。 从而椭圆的方程为 （II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得 是方程的两个根， 则，， 即点M的坐标为， 同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为 ，直线MN的方程为：， 令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得： 又， 椭圆的焦点为，即 故当时，MN过椭圆的焦点。‎ 例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。‎ 分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线与椭圆C相交于A，B两点，并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直，证明直线过定点，就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。‎ 解（I）由题意设椭圆的标准方程为 ‎， ‎ ‎（II）设，由得 ‎，，‎ ‎（注意：这一步是同类坐标变换）‎ ‎（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换）‎ 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，解得，且满足 当时，，直线过定点与已知矛盾；‎ 当时，，直线过定点 综上可知，直线过定点，定点坐标为 名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。‎ 例题6、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。 (I)求点C的坐标及椭圆E的方程； (II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。 ‎ ‎ 解：(I) ，且BC过椭圆的中心O 又 点C的坐标为。A是椭圆的右顶点， ，则椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为 (II) 直线PC与直线QC关于直线对称， 设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为： ，即， 由消y，整理得： 是方程的一个根， 即 同理可得： ＝＝ ＝ 则直线PQ的斜率为定值。 例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：于P、Q两点，且,求实数的取值范围。‎ 分析：由可以得到，将P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲线方程，解出点的坐标，用表示出来。‎ 解：设P(x1,y1),Q(x2,y2), ‎ ‎ (x1,y1-3)=(x2,y2-3) 即 方法一：方程组消元法 又P、Q是椭圆+=1上的点 消去x2， 可得 即y2= 又－2y22， －22 解之得：则实数的取值范围是。‎ 方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ的方程为：， 由消y整理后，得 P、Q是曲线M上的两点 ＝ 即 ① 由韦达定理得： ‎ ‎ 即 ② 由①得，代入②，整理得 ， 解之得 当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或。 总之实数的取值范围是。‎ 例题8：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值．‎ 分析：‎ ‎（07福建理科）如图，已知点（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过作直线l的垂线，垂足为点，且 ‎（Ⅰ）求动点的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，求的值。‎ 小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）设点，则，由得：‎ ‎，化简得.‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为： ‎ ‎. 设，，又， 联立方程组，消去得：‎ ‎，，故 由，得：‎ ‎，，整理得：‎ ‎，，‎ 题型六：面积问题 例题8、（07陕西理）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意 ‎，所求椭圆方程为。‎ ‎（Ⅱ）设，。‎ ‎（1）当轴时，。‎ ‎（2）当与轴不垂直时，‎ 设直线的方程为。‎ 由已知，得。‎ 把代入椭圆方程，整理得，‎ ‎，。‎ ‎。‎ 当且仅当，即时等号成立。当时，，‎ 综上所述。‎ 当最大时，面积取最大值。‎ 题型七：弦或弦长为定值问题 例题9、（07湖北理科）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。‎ ‎（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）‎ 本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.‎ 解法1：‎ ‎（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.‎ 由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.‎ 于是 ‎＝‎ ‎＝‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则 ‎＝.‎ ‎ ‎ ‎=‎ ‎＝‎ ‎=‎ 令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，‎ 即抛物线的通径所在的直线.‎ 解法2：‎ ‎（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 ‎＝‎ 又由点到直线的距离公式得.‎ 从而，‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为 将直线方程y=a代入得 设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有 令为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为.‎ 即抛物线的通径所在的直线。‎ 题型八：角度问题 ‎　例题9、（08重庆理）如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若,求点P的坐标.‎ 解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长‎2a=6的椭圆.‎ ‎ 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴 b=，‎ ‎ 所以椭圆的方程为 ‎ (Ⅱ)由得 ‎ ①‎ ‎ 因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，‎ ‎ ②‎ ‎ 将①代入②，得 ‎ ‎ ‎ 故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.‎ ‎ 由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以 ‎ 由方程组 解得 ‎ 即P点坐标为 问题九：四点共线问题 例题10、（08安徽理）设椭圆过点，且着焦点为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上 ‎22解 (1)由题意：‎ ‎ ，解得，所求椭圆方程为 ‎ ‎(2)方法一 ‎ 设点Q、A、B的坐标分别为。‎ 由题设知均不为零，记,则且 又A，P，B，Q四点共线，从而 于是 ， ‎ ‎ ， ‎ 从而 ‎ ‎ ，（1） ，（2）‎ 又点A、B在椭圆C上，即 ‎ ‎ ‎ （1）+（2）×2并结合（3），（4）得 即点总在定直线上 例题1、已知直线相交于A、B两点。 （1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长； （2）若向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值。‎ ‎（07四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点。（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。‎ 解：（Ⅰ）解法一：易知 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二 设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，‎ ‎（I）求椭圆E的方程；‎ ‎（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。‎ 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,‎ 所以解得所以椭圆E的方程为 ‎（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,‎ 则△=,即 ‎,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.‎ 因为, 所以,‎ ‎, ‎ ‎①当时 因为所以,‎ 所以, 所以当且仅当时取”=”.‎ ② 当时,. ‎ ③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,‎ 综上, |AB |的取值范围为即: ‎ ‎ 已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程;‎ ‎（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。‎ 解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，‎ 由题设条件知， 所以 ‎ 故椭圆C的方程为 .‎ ‎（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，‎ 显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。 ‎ ‎ 如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，‎ ‎ ‎ ‎ 由得. ……①‎ 由解得. ……②‎ 因为是方程①的两根，所以，于是 ‎ =， .因为，所以点G不可能在轴的右边，‎ 又直线,方程分别为所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为 ‎ 即 亦即 ‎ 解得，此时②也成立. w.w.w.k.s.5.u故直线斜率的取值范围是 问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）‎ ‎(2009山东卷理)（本小题满分14分）‎ 设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，‎ ‎（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。‎ 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,‎ 所以解得所以椭圆E的方程为 ‎（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 则△=,即要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. 因为,‎ 所以,‎ ‎, ‎ ‎①当时 因为所以, 所以,‎ 所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ② 当时,.‎ ③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,‎ 综上, |AB |的取值范围为即: ‎ 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.‎ ‎（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;‎ ‎(3)已知,设直线与圆C:(10）与x轴 的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上 异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.‎ ‎(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；‎ ‎（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 ‎ ‎19.【解析】‎ 解法一：‎ ‎(Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.‎ ‎(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.‎ 又AB=2,故在△SAE中,有 ‎ (2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上, ‎ ‎(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线.‎ 由于点M在以SB为直线的圆上,故.‎ 显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.‎ 由 设点 故,从而.‎ 亦即 由得 由,可得即 经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线.‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.‎ 由于点M在以SO为直径的圆上,故.‎ 显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为 由 设点,则有 故 由所直线SM的方程为 O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.故存在,使得O,M,S三点共线.‎ 已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。‎ ‎（I）求双曲线C的方程；(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。 ‎ 已知双曲线C的方程为 离心率顶点到渐近线的距离为 ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若求△AOB面积的取值范围.‎ 解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线 ‎∴ 由 得 ∴双曲线C的方程为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为 设 ‎ 由得P点的坐标为 将P点坐标代入化简得 设∠AOB 又 记 由 当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值∴△AOB面积的取值范围是