2012年(全国卷II)(含答案)高考文科数学 16页

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）‎ 数学(文)试题 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ ‎1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则(　　)‎ A．AB B．CB C．DC D．AD ‎2．函数(x≥－1)的反函数为(　　)‎ A．y＝x2－1(x≥0) B．y＝x2－1(x≥1)‎ C．y＝x2＋1(x≥0) D．y＝x2＋1(x≥1)‎ ‎3．若函数(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知α为第二象限角，，则sin2α＝(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)‎ A．2n－1 B． C． D．‎ ‎7． 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有(　　)‎ A．240种 B．360种 C．480种 D．720种 ‎8．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎9．△ABC中，AB边的高为CD．若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知x＝ln π，y＝log52，，则(　　)‎ A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x ‎12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(　　)‎ A．8 B．6 C．4 D．3‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎13．(x＋)8的展开式中x2的系数为__________．‎ ‎14．若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为__________．‎ ‎15．当函数y＝sinx－cosx(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.‎ ‎16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求A．‎ ‎18．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ ‎19．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．‎ ‎(1)证明：PC⊥平面BED；‎ ‎(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．‎ ‎20．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．‎ ‎(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；‎ ‎(2) 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率． ‎ ‎21．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y＝f(x)上，求a的值．‎ ‎22．已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.‎ ‎(1)求r；‎ ‎(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．‎ ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）‎ 数学(文)试题 答案解析:‎ ‎1． B　∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集，‎ ‎∴CB．‎ ‎2． A　∵，∴y2＝x＋1，‎ ‎∴x＝y2－1，x，y互换可得：y＝x2－1.‎ 又∵.∴反函数中x≥0，故选A项．‎ ‎3．C　∵是偶函数，∴f(0)＝±1.‎ ‎∴.∴(k∈Z)．‎ ‎∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．‎ 又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，.故选C项．‎ ‎4．A　∵，且α为第二象限角，‎ ‎∴.‎ ‎∴.故选A项．‎ ‎5． C　∵焦距为4，即2c＝4，∴c＝2.‎ 又∵准线x＝－4，∴.‎ ‎∴a2＝8.∴b2＝a2－c2＝8－4＝4.‎ ‎∴椭圆的方程为，故选C项．‎ ‎6．B　当n＝1时，S1＝2a2，又因S1＝a1＝1，‎ 所以，.‎ 显然只有B项符合．‎ ‎7． C　由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为，剩余5人进行全排列：，故总的情况有：·＝480种．故选C项．‎ ‎8． D　连结AC交BD于点O，连结OE，‎ ‎∵AB=2，∴.‎ 又，则AC=CC1.‎ 作CH⊥AC1于点H，交OE于点M.‎ 由OE为△ACC1的中位线知，‎ CM⊥OE，M为CH的中点．‎ 由BD⊥AC，EC⊥BD知，BD⊥面EOC，‎ ‎∴CM⊥BD．∴CM⊥面BDE.‎ ‎∴HM为直线AC1到平面BDE的距离．‎ 又△ACC1为等腰直角三角形，∴CH=2.∴HM=1.‎ ‎9． D　∵a·b＝0，∴a⊥b.‎ 又∵|a|＝1，|b|＝2，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎10． C　设|PF2|＝m，则|PF1|＝2m，‎ 由双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，‎ ‎∴2m－m＝.∴.‎ 又，‎ ‎∴由余弦定理可得 cos∠F1PF2＝.‎ ‎11． D　∵x＝ln π＞1，y＝log52＞，‎ ‎，且＜e0＝1，∴y＜z＜x.‎ ‎12． B　如图，由题意：‎ tan∠BEF=，‎ ‎∴，∴X2为HD中点，‎ ‎，∴，‎ ‎，∴，‎ ‎，∴，‎ ‎，∴，∴X6与E重合，故选B项．‎ ‎13．答案：7‎ 解析：∵(x＋)8展开式的通项为Tr＋1＝x8－r()r＝Cr82－rx8－2r，‎ 令8－2r＝2，解得r＝3.‎ ‎∴x2的系数为2－3＝7.‎ ‎14．答案：－1‎ 解析：由题意画出可行域，由z＝3x－y得y＝3x－z，要使z取最小值，只需截距最大即可，故直线过A(0,1)时，z最大．‎ ‎∴zmax＝3×0－1＝－1.‎ ‎15．答案：‎ 解析：y＝sinx－cosx＝．‎ 当y取最大值时，，∴x＝2kπ＋.‎ 又∵0≤x＜2π，∴.‎ ‎16．答案：‎ 解析：设正方体的棱长为a.连结A1E，可知D1F∥A1E，‎ ‎∴异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角，‎ 在△AEA1中，‎ ‎.‎ ‎17．解：由A，B，C成等差数列及A＋B＋C＝180°，得B＝60°，A＋C＝120°.‎ 由2b2＝3ac及正弦定理得2sin2B＝3sinAsinC，‎ 故.‎ cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC＝cosAcosC－，‎ 即cosAcosC－＝，cosAcosC＝0，‎ cosA＝0或cosC＝0，所以A＝90°或A＝30°.‎ ‎18．解：(1)由得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；‎ 由得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.‎ ‎(2)由题设知a1＝1.‎ 当n＞1时有an＝Sn－Sn－1＝，‎ 整理得.‎ 于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…‎ an－1＝an－2，an＝an－1.‎ 将以上n个等式两端分别相乘，整理得.‎ 综上，{an}的通项公式.‎ ‎19．解法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC．‎ 又PA⊥底面ABCD，‎ 所以PC⊥BD．‎ 设AC∩BD=F，连结EF.‎ 因为，PA=2，PE=2EC，‎ 故，，，‎ 从而，，‎ 因为，∠FCE=∠PCA，‎ 所以△FCE∽△PCA，∠FEC=∠PAC=90°，‎ 由此知PC⊥EF.‎ PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC ‎⊥平面BED．‎ ‎(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．‎ 因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC．‎ 又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC．‎ BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，‎ 故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，‎ 所以底面ABCD为正方形，AD＝2，.‎ 设D到平面PBC的距离为d.‎ 因为AD∥BC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD∥平面PBC，A，D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.‎ 设PD与平面PBC所成的角为α，则.‎ 所以PD与平面PBC所成的角为30°.‎ 解法二：(1)证明：以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.‎ 设C(，0,0)，D(，b,0)，其中b＞0，‎ 则P(0,0,2)，E(，0，)，B(，－b,0)．‎ 于是＝(，0，－2)，＝(，b，)，＝(，－b，)，从而，，‎ 故PC⊥BE，PC⊥DE.‎ 又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.‎ ‎(2)＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．‎ 设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，‎ 则m·＝0，m·＝0，‎ 即2z＝0且x－by＝0，‎ 令x＝b，则m＝(b，，0)．‎ 设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，‎ 则n·＝0，n·＝0，‎ 即且，‎ 令p＝1，则，，n＝(1，，)．‎ 因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即，故，‎ 于是n＝(1，－1，)，＝(，，2)，‎ ‎，〈n，〉＝60°.‎ 因为PD与平面PBC所成角和〈n，〉互余，故PD与平面PBC所成的角为30°.‎ ‎20．解：记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i＝0,1,2；‎ Bi表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i＝0,1,2；‎ A表示事件：第3次发球，甲得1分；‎ B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；‎ C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．‎ ‎(1)B＝A0·A＋A1·，‎ P(A)＝0.4，P(A0)＝0.42＝0.16，P(A1)＝2×0.6×0.4＝0.48，‎ P(B)＝P(A0·A＋A1·)‎ ‎＝P(A0·A)＋P(A1·)‎ ‎＝P(A0)P(A)＋P(A1)P()‎ ‎＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.‎ ‎(2) P(B0)＝0.62＝0.36，P(B1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P(B2)＝0.42＝0.16，‎ P(A2)＝0.62＝0.36.‎ C＝A1·B2＋A2·B1＋A2·B2‎ P(C)＝P(A1·B2＋A2·B1＋A2·B2)‎ ‎＝P(A1·B2)＋P(A2·B1)＋P(A2·B2)‎ ‎＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B2)‎ ‎＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.‎ ‎21．解：(1)f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1.‎ ‎①当a≥1时，f′(x)≥0，且仅当a＝1，x＝－1时，f′(x)＝0，所以f(x)是R上的增函数；‎ ‎②当a＜1时，f′(x)＝0有两个根x1＝－1－，x2＝－1＋.‎ 当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；‎ 当x∈(－1－，－1＋)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数；‎ 当x∈(－1＋，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．‎ ‎(2)由题设知，x1，x2为方程f′(x)＝0的两个根，‎ 故有a＜1，x12＝－2x1－a，x22＝－2x2－a.‎ 因此f(x1)＝x13＋x12＋ax1‎ ‎＝x1(－2x1－a)＋x12＋ax1＝x12＋ax1‎ ‎＝(－2x1－a)＋ax1＝(a－1)x1－.‎ 同理，f(x2)＝(a－1)x2－.‎ 因此直线l的方程为y＝(a－1)x－.‎ 设l与x轴的交点为(x0,0)，得，‎ ‎．‎ 由题设知，点(x0,0)在曲线y＝f(x)上，故f(x0)＝0，‎ 解得a＝0或或.‎ ‎22．解：(1)设A(x0，(x0＋1)2)，对y＝(x＋1)2求导得y′＝2(x＋1)，‎ 故l的斜率k＝2(x0＋1)．‎ 当x0＝1时，不合题意，所以x0≠1.‎ 圆心为M(1，)，MA的斜率.‎ 由l⊥MA知k·k′＝－1，‎ 即2(x0＋1)·＝－1，‎ 解得x0＝0，故A(0,1)，‎ r＝|MA|＝，即.‎ ‎(2)设(t，(t＋1)2)为C上一点，则在该点处的切线方程为y－(t＋1)2＝2(t＋1)(x－t)，‎ 即y＝2(t＋1)x－t2＋1.‎ 若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，‎ 即，‎ 化简得t2(t2－4t－6)＝0，‎ 解得t0＝0，，.‎ 抛物线C在点(ti，(ti＋1)2)(i＝0,1,2)处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y＝2x＋1，①‎ y＝2(t1＋1)x－t12＋1，②‎ y＝2(t2＋1)x－t22＋1，③‎ ‎②－③得.‎ 将x＝2代入②得y＝－1，故D(2，－1)．‎ 所以D到l的距离.‎