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  • 2021-05-14 发布

2014天津高考数学理试题及答案解析

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绝密 ★ 启用前 ‎2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 数学(理工类)‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。‎ 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 祝各位考生考试顺利!‎ 第Ⅰ卷 注意事项:‎ ‎1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。‎ ‎2本卷共8小题,每小题5分,共40分。‎ 参考公式:‎ ‎•如果事件,互斥,那么 •如果事件,相互独立,那么 ‎ .‎ ‎•圆柱的体积公式. •圆锥的体积公式.‎ 其中表示圆柱的底面面积, 其中表示圆锥的底面面积,‎ 表示圆柱的高. 表示圆锥的高.‎ ‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)是虚数单位,复数(  )‎ ‎ (A) (B)  (C) (D)‎ ‎(2)设变量,满足约束条件则目标函数的最小值为(  )‎ ‎ (A)2   (B)3  (C)4    (D)5‎ ‎(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的的值为(  )学科网 ‎(A)15 (B)105‎ ‎(C)245 (D)945‎ ‎(4)函数的单调递增区间是(  )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(5)已知双曲线的一条渐近线平行于直线:,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为(  )‎ ‎(A)   (B)‎ ‎(C)   (D)‎ ‎(6)如图,是圆的内接三角形,的平分线交圆于点,交于点,过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下,给出下列四个结论:①平分;②;③;④.‎ 则所有正确结论的序号是(  )‎ ‎(A)①② (B)③④ (C)①②③ (D)①②④‎ ‎(7)设,则|“”是“”的(  )‎ ‎(A)充要不必要条件 (B)必要不充分条件 ‎(C)充要条件   (D)既不充要也不必要条件 ‎(8)已知菱形的边长为2,,点分别在边上,,.若,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 第Ⅱ卷 注意事项:学科网 ‎ 1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。‎ ‎ 2.本卷共12小题,共110分。‎ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.)‎ ‎(9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生.‎ ‎(10)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_______.‎ ‎(11)设是首项为,公差为-1的等差数列,为其前项和.若成等比数列,则的值为__________.‎ ‎(12)在中,内角所对的边分别是.已知,,则的值为_______.‎ ‎(13)在以为极点的极坐标系中,圆和直线相交于两点.若是等边三角形,则的值为___________.‎ ‎(14)已知函数,.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为__________.‎ 三、解答题(本题共6道大题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎(15)(本小题满分13分)‎ 已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)求的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求在闭区间上的最大值和最小值. 学科网 ‎(16)(本小题满分13分)‎ 某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学. 在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).‎ ‎(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;‎ ‎(Ⅱ)设为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎(17)(本小题满分13分)‎ 如图,在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明 ;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)若为棱上一点,满足,‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎(18)(本小题满分13分)‎ 设椭圆()的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为.已知.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.‎ ‎(19)(本小题满分14分)‎ 已知和均为给定的大于1的自然数.设集合,集合.‎ ‎(Ⅰ)当,时,用列举法表示集合;‎ ‎(Ⅱ)设,,,其中 ‎(20)(本小题满分14分)‎ 已知函数,.已知函数有两个零点,且.‎ ‎(Ⅰ)求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)证明 随着的减小而增大;‎ ‎(Ⅲ)证明 随着的减小而增大.‎ 参考答案及解析 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A B B D A D C C ‎(1)是虚数单位,复数(  )‎ ‎ (A) (B)  (C) (D)‎ 解:A .‎ ‎(2)设变量,满足约束条件则目标函数的最小值为(  )‎ ‎ (A)2   (B)3  (C)4    (D)5‎ 解:B 作出可行域,如图 结合图象可知,当目标函数通过点时,取得最小值3.‎ ‎(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的的值为(  )‎ ‎(A)15 (B)105‎ ‎(C)245 (D)945‎ 解:B 时,,;时,,;‎ 时,,,输出.‎ ‎(4)函数的单调递增区间是(  )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ 解:D ,解得或.由复合函数的单调性知的单调递增区间为.‎ ‎(5)已知双曲线的一条渐近线平行于直线:‎ ‎,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为(  )‎ ‎(A)   (B)‎ ‎(C)   (D)‎ 解:A 依题意得,所以,,双曲线的方程为.‎ ‎(6)如图,是圆的内接三角形,的平分线交圆于点,交于点,过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下,给出下列四个结论:①平分;②;③;④.‎ 则所有正确结论的序号是(  )‎ ‎(A)①② (B)③④ (C)①②③ (D)①②④‎ 解:D 由弦切角定理得,又,所以∽,所以,即,排除A、C.‎ 又,排除B.‎ ‎(7)设,则|“”是“”的(  )‎ ‎(A)充要不必要条件 (B)必要不充分条件 ‎(C)充要条件   (D)既不充要也不必要条件 解:C 设,则,所以是上的增函数,“”是“”的充要条件.‎ ‎(8)已知菱形的边长为2,,点分别在边上,,.若,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 解:C 因为,所以.‎ 因为,所以,.‎ 因为,所以,即 ①‎ 同理可得 ②,①+②得.‎ 第Ⅱ卷 注意事项:‎ ‎ 1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。‎ ‎ 2.本卷共12小题,共110分。‎ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.)‎ ‎(9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生.‎ 解:60 应从一年级抽取名.‎ ‎(10)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_______.‎ 解: 该几何体的体积为.‎ ‎(11)设是首项为,公差为-1的等差数列,为其前项和.若成等比数列,则的值为__________.‎ 解: 依题意得,所以,解得.‎ ‎(12)在中,内角所对的边分别是.已知,,则的值为_______.‎ 解: 因为,所以,解得,.‎ 所以.‎ ‎(13)在以为极点的极坐标系中,圆和直线相交于两点.若是等边三角形,则的值为___________.‎ 解:3 圆的方程为,直线为.‎ 因为是等边三角形,所以其中一个交点坐标为,代入圆的方程可得.‎ ‎(14)已知函数,.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为__________.‎ 解:或 显然.‎ ‎(ⅰ)当与相切时,,此时恰有3个互异的实数根.‎ ‎(ⅱ)当直线与函数相切时,,此时恰有2个互异的实数根.‎ 结合图象可知或.‎ 解2:显然,所以.‎ 令,则.‎ 因为,‎ 所以.‎ 结合图象可得或.‎ 三、解答题(本题共6道大题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎(15)(本小题满分13分)‎ 已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)求的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求在闭区间上的最大值和最小值.‎ ‎(15)本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分.‎ ‎(Ⅰ)解:由已知,有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 所以,的最小正周期.‎ ‎(Ⅱ)解:因为在区间上是减函数,在区间上是增函数.‎ ‎,,.‎ 所以,函数在闭区间上的最大值为,最小值为.‎ ‎(16)(本小题满分13分)‎ 某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学. 在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).‎ ‎(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;‎ ‎(Ⅱ)设为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎(16)本小题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分13分.‎ ‎(Ⅰ)解:设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件,则 ‎.‎ 所以,选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.‎ 所以,的最小正周期.‎ ‎(Ⅱ)解:随机变量的所有可能值为0,1,2,3.‎ ‎.‎ 所以,随机变量的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎(17)(本小题满分13分)‎ 如图,在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明 ;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)若为棱上一点,满足,‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎(17)本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、直线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分13分.‎ ‎(方法一)‎ 依题意,以点为原点建立空间直角坐标系(如图),可得,,,.由为棱的中点,得.‎ ‎(Ⅰ)证明:向量,,故. 所以,.‎ ‎(Ⅱ)解:向量,.‎ 设为平面的法向量,则即 不妨令,可得为平面的一个法向量.于是有 ‎.‎ ‎ 所以,直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎(Ⅲ)解:向量,,,.‎ 由点在棱上,设,.‎ 故.‎ 由,得,‎ 因此,,解得.即.‎ 设为平面的法向量,则即 不妨令,可得为平面的一个法向量.‎ 取平面的法向量,则 ‎.‎ 易知,二面角是锐角,所以其余弦值为.‎ ‎(方法二)‎ ‎(Ⅰ)证明:如图,取中点,连接,.‎ 由于分别为的中点, 故,且,又由已知,可得且,故四边形为平行四边形,所以.‎ ‎ 因为底面,故,而,从而平面,因为平面,于是,又,所以.‎ ‎(Ⅱ)解:连接,由(Ⅰ)有平面,得,而,故.‎ 又因为,为的中点,故,可得,所以平面,故平面平面.‎ 所以直线在平面内的射影为直线,而,可得为锐角,故为直线与平面所成的角.‎ 依题意,有,而为中点,可得,进而.‎ 故在直角三角形中,,因此.‎ ‎ 所以,直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎(Ⅲ)解:如图,在中,过点作交于点.‎ 因为底面,故底面,从而.又,得平面,因此.‎ 在底面内,可得,从而.在平面内,作交于点,于是.‎ 由于,故,所以四点共面.‎ 由,,得平面,故.‎ 所以为二面角的平面角.‎ 在中,,,,‎ 由余弦定理可得,.‎ 所以,二面角的斜率值为.‎ ‎(18)(本小题满分13分)‎ 设椭圆()的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为.已知.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线 与该圆相切. 求直线的斜率.‎ ‎(18)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.‎ ‎(Ⅰ)解:设椭圆的右焦点的坐标为.由,可得,又,则.‎ 所以,椭圆的离心率.‎ ‎,所以,解得,.‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,.故椭圆方程为.‎ 设.由,,有,.‎ 由已知,有,即.又,故有 ‎. ①‎ 又因为点在椭圆上,故 ‎. ②‎ 由①和②可得.而点不是椭圆的顶点,故,代入①得,即点的坐标为.‎ 设圆的圆心为,则,,进而圆的半径.‎ 设直线的斜率为,依题意,直线的方程为.学科网 由与圆相切,可得,即,‎ 整理得,解得.‎ 所以,直线的斜率为或.‎ ‎(19)(本小题满分14分)‎ 已知和均为给定的大于1的自然数.设集合,集合.‎ ‎(Ⅰ)当,时,用列举法表示集合;‎ ‎(Ⅱ)设,,,其中,. 证明:若,则.‎ ‎(19)本小题主要考查集合的含义和表示,等比数列的前项和公式,不等式的证明等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分.‎ ‎(Ⅰ)解:当,时,,.‎ 可得,.‎ ‎(Ⅱ)证明:由,,,,及,可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 所以,.‎ ‎(20)(本小题满分14分)‎ 已知函数,.已知函数有两个零点,且.‎ ‎(Ⅰ)求的取值范围;学科网 ‎(Ⅱ)证明 随着的减小而增大;‎ ‎(Ⅲ)证明 随着的减小而增大.‎ ‎(20)本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分.‎ ‎(Ⅰ)解:由,可得.‎ 下面分两种情况讨论:‎ ‎(1)时 ‎ 在上恒成立,可得在上单调递增,不合题意.‎ ‎(2)时,‎ ‎ 由,得.‎ 当变化时,,的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 这时,的单调递增区间是;单调递减区间是.‎ 于是,“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立:‎ ‎1°;2°存在,满足;‎ ‎3°存在,满足.‎ 由,即,解得,而此时,取,满足,且;取,满足,且.‎ 所以,的取值范围是.‎ ‎(Ⅱ)证明:由,有.‎ 设,由,知在上单调递增,在上单调递减. 并且,当时,;当时,.‎ 由已知,满足,. 由,及的单调性,可得,.‎ ‎ 对于任意的,设,,其中;‎ ‎,其中.‎ 因为在上单调递增,故由,即,可得;类似可得.‎ 又由,得.‎ 所以,随着的减小而增大.‎ ‎(Ⅲ)证明:由,,可得,.‎ 故.‎ 设,则,且解得,.所以,‎ ‎. ①‎ 令,,则.‎ 令,得.‎ 当时,.因此,在上单调递增,故对于任意的,,由此可得,故在上单调递增.‎ 因此,由①可得随着的增大而增大.‎ 而由(Ⅱ),随着的减小而增大,所以随着的减小而增大. 学科网