- 1.90 MB
- 2021-05-14 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
绝密 ★ 启用前
2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
•如果事件,互斥,那么 •如果事件,相互独立,那么
.
•圆柱的体积公式. •圆锥的体积公式.
其中表示圆柱的底面面积, 其中表示圆锥的底面面积,
表示圆柱的高. 表示圆锥的高.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
(1)是虚数单位,复数( )
(A) (B) (C) (D)
(2)设变量,满足约束条件则目标函数的最小值为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的的值为( )学科网
(A)15 (B)105
(C)245 (D)945
(4)函数的单调递增区间是( )
(A) (B)
(C) (D)
(5)已知双曲线的一条渐近线平行于直线:,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
(6)如图,是圆的内接三角形,的平分线交圆于点,交于点,过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下,给出下列四个结论:①平分;②;③;④.
则所有正确结论的序号是( )
(A)①② (B)③④ (C)①②③ (D)①②④
(7)设,则|“”是“”的( )
(A)充要不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充要也不必要条件
(8)已知菱形的边长为2,,点分别在边上,,.若,,则( )
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
注意事项:学科网
1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.)
(9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生.
(10)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_______.
(11)设是首项为,公差为-1的等差数列,为其前项和.若成等比数列,则的值为__________.
(12)在中,内角所对的边分别是.已知,,则的值为_______.
(13)在以为极点的极坐标系中,圆和直线相交于两点.若是等边三角形,则的值为___________.
(14)已知函数,.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为__________.
三、解答题(本题共6道大题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(15)(本小题满分13分)
已知函数,.
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在闭区间上的最大值和最小值. 学科网
(16)(本小题满分13分)
某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学. 在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(Ⅱ)设为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量的分布列和数学期望.
(17)(本小题满分13分)
如图,在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点.
(Ⅰ)证明 ;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)若为棱上一点,满足,
求二面角的余弦值.
(18)(本小题满分13分)
设椭圆()的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为.已知.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.
(19)(本小题满分14分)
已知和均为给定的大于1的自然数.设集合,集合.
(Ⅰ)当,时,用列举法表示集合;
(Ⅱ)设,,,其中
(20)(本小题满分14分)
已知函数,.已知函数有两个零点,且.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)证明 随着的减小而增大;
(Ⅲ)证明 随着的减小而增大.
参考答案及解析
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
D
A
D
C
C
(1)是虚数单位,复数( )
(A) (B) (C) (D)
解:A .
(2)设变量,满足约束条件则目标函数的最小值为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解:B 作出可行域,如图
结合图象可知,当目标函数通过点时,取得最小值3.
(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的的值为( )
(A)15 (B)105
(C)245 (D)945
解:B 时,,;时,,;
时,,,输出.
(4)函数的单调递增区间是( )
(A) (B)
(C) (D)
解:D ,解得或.由复合函数的单调性知的单调递增区间为.
(5)已知双曲线的一条渐近线平行于直线:
,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
解:A 依题意得,所以,,双曲线的方程为.
(6)如图,是圆的内接三角形,的平分线交圆于点,交于点,过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下,给出下列四个结论:①平分;②;③;④.
则所有正确结论的序号是( )
(A)①② (B)③④ (C)①②③ (D)①②④
解:D 由弦切角定理得,又,所以∽,所以,即,排除A、C.
又,排除B.
(7)设,则|“”是“”的( )
(A)充要不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充要也不必要条件
解:C 设,则,所以是上的增函数,“”是“”的充要条件.
(8)已知菱形的边长为2,,点分别在边上,,.若,,则( )
(A) (B) (C) (D)
解:C 因为,所以.
因为,所以,.
因为,所以,即 ①
同理可得 ②,①+②得.
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.)
(9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生.
解:60 应从一年级抽取名.
(10)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_______.
解: 该几何体的体积为.
(11)设是首项为,公差为-1的等差数列,为其前项和.若成等比数列,则的值为__________.
解: 依题意得,所以,解得.
(12)在中,内角所对的边分别是.已知,,则的值为_______.
解: 因为,所以,解得,.
所以.
(13)在以为极点的极坐标系中,圆和直线相交于两点.若是等边三角形,则的值为___________.
解:3 圆的方程为,直线为.
因为是等边三角形,所以其中一个交点坐标为,代入圆的方程可得.
(14)已知函数,.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为__________.
解:或
显然.
(ⅰ)当与相切时,,此时恰有3个互异的实数根.
(ⅱ)当直线与函数相切时,,此时恰有2个互异的实数根.
结合图象可知或.
解2:显然,所以.
令,则.
因为,
所以.
结合图象可得或.
三、解答题(本题共6道大题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(15)(本小题满分13分)
已知函数,.
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在闭区间上的最大值和最小值.
(15)本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分.
(Ⅰ)解:由已知,有
.
所以,的最小正周期.
(Ⅱ)解:因为在区间上是减函数,在区间上是增函数.
,,.
所以,函数在闭区间上的最大值为,最小值为.
(16)(本小题满分13分)
某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学. 在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(Ⅱ)设为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量的分布列和数学期望.
(16)本小题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分13分.
(Ⅰ)解:设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件,则
.
所以,选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.
所以,的最小正周期.
(Ⅱ)解:随机变量的所有可能值为0,1,2,3.
.
所以,随机变量的分布列是
0
1
2
3
随机变量的数学期望.
(17)(本小题满分13分)
如图,在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点.
(Ⅰ)证明 ;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)若为棱上一点,满足,
求二面角的余弦值.
(17)本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、直线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分13分.
(方法一)
依题意,以点为原点建立空间直角坐标系(如图),可得,,,.由为棱的中点,得.
(Ⅰ)证明:向量,,故. 所以,.
(Ⅱ)解:向量,.
设为平面的法向量,则即
不妨令,可得为平面的一个法向量.于是有
.
所以,直线与平面所成角的正弦值为.
(Ⅲ)解:向量,,,.
由点在棱上,设,.
故.
由,得,
因此,,解得.即.
设为平面的法向量,则即
不妨令,可得为平面的一个法向量.
取平面的法向量,则
.
易知,二面角是锐角,所以其余弦值为.
(方法二)
(Ⅰ)证明:如图,取中点,连接,.
由于分别为的中点, 故,且,又由已知,可得且,故四边形为平行四边形,所以.
因为底面,故,而,从而平面,因为平面,于是,又,所以.
(Ⅱ)解:连接,由(Ⅰ)有平面,得,而,故.
又因为,为的中点,故,可得,所以平面,故平面平面.
所以直线在平面内的射影为直线,而,可得为锐角,故为直线与平面所成的角.
依题意,有,而为中点,可得,进而.
故在直角三角形中,,因此.
所以,直线与平面所成角的正弦值为.
(Ⅲ)解:如图,在中,过点作交于点.
因为底面,故底面,从而.又,得平面,因此.
在底面内,可得,从而.在平面内,作交于点,于是.
由于,故,所以四点共面.
由,,得平面,故.
所以为二面角的平面角.
在中,,,,
由余弦定理可得,.
所以,二面角的斜率值为.
(18)(本小题满分13分)
设椭圆()的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为.已知.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线
与该圆相切. 求直线的斜率.
(18)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.
(Ⅰ)解:设椭圆的右焦点的坐标为.由,可得,又,则.
所以,椭圆的离心率.
,所以,解得,.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,.故椭圆方程为.
设.由,,有,.
由已知,有,即.又,故有
. ①
又因为点在椭圆上,故
. ②
由①和②可得.而点不是椭圆的顶点,故,代入①得,即点的坐标为.
设圆的圆心为,则,,进而圆的半径.
设直线的斜率为,依题意,直线的方程为.学科网
由与圆相切,可得,即,
整理得,解得.
所以,直线的斜率为或.
(19)(本小题满分14分)
已知和均为给定的大于1的自然数.设集合,集合.
(Ⅰ)当,时,用列举法表示集合;
(Ⅱ)设,,,其中,. 证明:若,则.
(19)本小题主要考查集合的含义和表示,等比数列的前项和公式,不等式的证明等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分.
(Ⅰ)解:当,时,,.
可得,.
(Ⅱ)证明:由,,,,及,可得
.
所以,.
(20)(本小题满分14分)
已知函数,.已知函数有两个零点,且.
(Ⅰ)求的取值范围;学科网
(Ⅱ)证明 随着的减小而增大;
(Ⅲ)证明 随着的减小而增大.
(20)本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分.
(Ⅰ)解:由,可得.
下面分两种情况讨论:
(1)时
在上恒成立,可得在上单调递增,不合题意.
(2)时,
由,得.
当变化时,,的变化情况如下表:
+
0
-
↗
↘
这时,的单调递增区间是;单调递减区间是.
于是,“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立:
1°;2°存在,满足;
3°存在,满足.
由,即,解得,而此时,取,满足,且;取,满足,且.
所以,的取值范围是.
(Ⅱ)证明:由,有.
设,由,知在上单调递增,在上单调递减. 并且,当时,;当时,.
由已知,满足,. 由,及的单调性,可得,.
对于任意的,设,,其中;
,其中.
因为在上单调递增,故由,即,可得;类似可得.
又由,得.
所以,随着的减小而增大.
(Ⅲ)证明:由,,可得,.
故.
设,则,且解得,.所以,
. ①
令,,则.
令,得.
当时,.因此,在上单调递增,故对于任意的,,由此可得,故在上单调递增.
因此,由①可得随着的增大而增大.
而由(Ⅱ),随着的减小而增大,所以随着的减小而增大. 学科网