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- 2021-05-14 发布
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2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文 数
本卷满分150分,考试时间120分钟.
参考公式:
·如果事件A,B互斥,那么 ·如果事件A,B相互独立,那么
P(A∪B)=P(A)+P(B). P(AB)=P(A)P(B).
·棱柱的体积公式V=Sh. ·圆锥的体积公式V=13Sh.
其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高. 其中S表示圆锥的底面面积,h表示圆锥的高.
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=( )
A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}
2.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13,则甲不输的概率为( )
A.56 B.25 C.16 D.13
3.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )
4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( )
A.x24-y2=1 B.x2-y24=1 C.3x220-3y25=1 D.3x25-3y220=1
5.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是( )
A.-∞,12 B.-∞,12∪32,+∞ C.12,32 D.32,+∞
7.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连结DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为( )
A.-58 B.18 C.14 D.118
8.已知函数f(x)=sin2ωx2+12sin ωx-12(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是( )
A.0,18 B.0,14∪58,1 C.0,58 D.0,18∪14,58
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为 .
10.已知函数f(x)=(2x+1)ex, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为 .
11.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为 .
12.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为 .
13.如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为 .
14.已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x<0,loga(x+1)+1,x≥0(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是 .
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=3bsin A.
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若cos A=13,求sin C的值.
16.(本小题满分13分)
某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.
17.(本小题满分13分)
如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE=6,DE=3,∠BAD=60°,G为BC的中点.
(Ⅰ)求证:FG∥平面BED;
(Ⅱ)求证:平面BED⊥平面AED;
(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
18.(本小题满分13分)
已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且1a1-1a2=2a3,S6=63.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)nbn2}的前2n项和.
19.(本小题满分14分)
设椭圆x2a2+y23=1(a>3)的右焦点为F,右顶点为A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.
20.(本小题满分14分)
设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;
(Ⅲ)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于···14.
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
一、选择题
1.A 由题意可得B={1,3,5},∴A∩B={1,3},故选A.
易错警示 不能列举出集合B中的所有元素是造成失分的主要原因.
2.A 设“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件,所以甲不输的概率P=P(A+B)=P(A)+P(B)=12+13=56,故选A.
3.B 由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图,如图所示.
该几何体的侧视图为选项B.故选B.
4.A 由题意可得ba=12,a2+b2=5,a>0,b>0,解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为x24-y2=1,故选A.
易错警示 容易把双曲线标准方程中a,b,c的关系与椭圆标准方程中a,b,c的关系混淆,这是失分的主要原因.
5.C 令x=1,y=-2,满足x>y,但不满足x>|y|;又x>|y|≥y,∴x>y成立,故“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件.
6.C ∵f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-2)=f(2),∴原不等式可化为f(2|a-1|)>f(2).故有2|a-1|<2,即|a-1|<12,解得12f(2)转化为2|a-1|<2,解该不等式即可.
7.B 建立如图所示的平面直角坐标系.
则B-12,0,C12,0,A0,32,所以BC=(1,0).
易知DE=12AC,∠FEC=∠ACE=60°,则EF=14AC=14,
所以点F的坐标为18,-38,
所以AF=18,-538,
所以AF·BC=18,-538·(1,0)=18.故选B.
疑难突破 利用公式a·b=|a||b|cos求解十分困难,可以考虑建立适当的平面直角坐标系,利用坐标运算求解.确定点F的坐标是解题的关键.
8.D f(x)=1-cosωx2+12sin ωx-12=12(sin ωx-cos ωx)=22sinωx-π4,∵x∈(π,2π),ω>0,∴ωx-π4∈ωπ-π4,2ωπ-π4,∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点,∴有以下两种情况:
①ωπ-π4,2ωπ-π4⊆(2kπ,2kπ+π),k∈Z,
则有ωπ-π4≥2kπ,2ωπ-π4≤2kπ+π,k∈Z,
得ω∈2k+14,k+58,k∈Z,
当k=0时,ω∈14,58;
②ωπ-π4,2ωπ-π4⊆(2kπ+π,2kπ+2π),k∈Z,
则有ωπ-π4≥2kπ+π,2ωπ-π4≤2kπ+2π,k∈Z,
得ω∈2k+54,k+98,k∈Z,当k=-1时,ω∈-34,18,又ω>0,∴ω∈0,18.
综上,ω∈0,18∪14,58,故选D.
疑难突破 将函数化简为f(x)=22sinωx-π4,将ωx-π4看作一个整体,借助函数y=sin x的图象得出f(x)在(π,2π)内没有零点时需满足的条件,建立不等式组求解.
二、填空题
9.答案 1
解析 ∵z=21+i=1-i,∴z的实部为1.
10.答案 3
解析 ∵f '(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,∴f '(0)=3.
11.答案 4
解析 由程序框图可知,
S=8,n=2;
S=2,n=3;
S=4,n=4,此时退出循环,输出S=4.
易错警示 审题不清是失分的主要原因.
12.答案 (x-2)2+y2=9
解析 设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),
由题意可得|2a|5=455,(-a)2+(5)2=r2,解得a=2,r2=9,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
方法总结 待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为①设出圆的方程;②列出关于系数的方程组,并求出各系数的值;③检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.有时也可利用圆的几何性质进行求解.
13.答案 233
解析 连结AC,BC.由同弧所对的圆周角相等知∠DBA=∠ACE,又易知∠DBA=∠DEB=∠AEC,故而有∠AEC=∠ACE,所以AC=AE.∵BE=2AE=2,∴AC=AE=1,AB=3.易知△ACB为直角三角形,∠ACB=90°,AC=1,AB=3,
则cos A=13.在△ACE中,由余弦定理易得CE=12+12-2×1×1×13=233.
14.答案 13,23
解析 ∵函数f(x)在R上单调递减,∴-4a-32≥0,00时,令f '(x)=0,解得x=3a3,或x=-3a3.
当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:
x
-∞,-3a3
-3a3
-3a3,3a3
3a3
3a3,+∞
f '(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以f(x)的单调递减区间为-3a3,3a3,单调递增区间为-∞,-3a3,3a3,+∞.
(Ⅱ)证明:因为f(x)存在极值点,所以由(Ⅰ)知a>0,且x0≠0.由题意,得f '(x0)=3x02-a=0,即x02=a3,进而f(x0)=x03-ax0-b=-2a3x0-b.
又f(-2x0)=-8x03+2ax0-b=-8a3x0+2ax0-b=-2a3x0-b=f(x0),且-2x0≠x0,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数x1满足 f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=-2x0.
所以x1+2x0=0.
(Ⅲ)证明:设g(x)在区间[-1,1]上的最大值为M,max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:
(1)当a≥3时,-3a3≤-1<1≤3a3,由(Ⅰ)知, f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(1), f(-1)],
因此M=max{|f(1)|,|f(-1)|}=max{|1-a-b|,|-1+a-b|}=max{|a-1+b|,|a-1-b|}=a-1+b,b≥0,a-1-b,b<0.
所以M=a-1+|b|≥2.
(2)当34≤a<3时,-23a3≤-1<-3a3<3a3<1≤23a3,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知f(-1)≥f -23a3=f 3a3, f(1)≤f 23a3=f -3a3,
所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为f3a3, f-3a3,
因此M=maxf3a3,f-3a3
=max-2a93a-b,2a93a-b
=max2a93a+b,2a93a-b
=2a93a+|b|≥29×34×3×34=14.
(3)当0f 23a3=f -3a3,
所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(-1), f(1)],
因此M=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|-1+a-b|,|1-a-b|}
=max{|1-a+b|,|1-a-b|}
=1-a+|b|>14.
综上所述,当a>0时,g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于14.
思路分析 (Ⅰ)求含参数的函数f(x)的单调区间,需要进行分类讨论;(Ⅱ)由第(Ⅰ)问可知a>0,要证x1+2x0=0,只需证出f(-2x0)=f(x0),其中x1=-2x0,即可得结论;(Ⅲ)求g(x)在[-1,1]上的最大值,对a分情况讨论即可.