圆锥曲线高考大题汇编 14页

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  • 2021-05-14 发布

圆锥曲线高考大题汇编

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‎1.(辽宁) (本小题满分12分)‎ 圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线过点P且离心率为.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)椭圆过点P且与有相同的焦点,直线过的右焦点且与交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆心过点P,求的方程.‎ ‎2.(福建)(本小题满分13分)‎ 已知双曲线的两条渐近线分别为.‎ ‎ (1)求双曲线的离心率;‎ ‎ (2)如图,为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一, 四象限),且的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在,说明理由。‎ ‎3.(天津)(本小题满分13分)‎ 设椭圆()的左、右焦点为,右顶点为,上顶点为.已知.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.‎ ‎4.(江苏)(本小题满分14分)‎ F1‎ F2‎ O x y B C A ‎(第17题)‎ 如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点,顶点的坐标为,连结并延长交椭圆于点A,过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C,连结.‎ ‎(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程;‎ ‎(2)若求椭圆离心率e的值.‎ ‎5(陕西)(本小题满分13分)‎ 如图,曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成,的公共点为,其中的离心率为.‎ (1) 求的值;‎ (2) 过点的直线与分别交于(均异于点),若,求直线的方程.‎ ‎6.(新课标二20.)(本小题满分12分)‎ 设,分别是椭圆的左右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交点为N.‎ ‎(Ⅰ)若直线MN的斜率为,求C的离心率;‎ ‎(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b.‎ ‎7.(北京19)(本小题14分)‎ 已知椭圆,‎ (1) 求椭圆的离心率.‎ (2) 设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,求直线与圆的位置关系,并证明你的结论.‎ ‎8.(重庆21)如题(21)图,设椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上,,,的面积为.‎ (1) 求该椭圆的标准方程;‎ (2) 是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径..‎ ‎9.(广东20)(14分)已知椭圆的一个焦点为,离心率为,‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若动点为椭圆外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.‎ ‎10.(湖北)(满分14分)在平面直角坐标系中,点M到点的距离比它到轴的距离多1,记点M的轨迹为C.‎ (1) 求轨迹为C的方程 (2) 设斜率为k的直线过定点,求直线与轨迹C恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时k的相应取值范围。‎ 参考答案 ‎1.解:(Ⅰ)设切点坐标为,则切线斜率为,切线方程为,即,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值,即S有最小值,因此点P得坐标为 ,‎ 由题意知 解得,故方程为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知的焦点坐标为,由此的方程为,其中.‎ 由在上,得,‎ 解得b12=3,因此C2方程为 显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点 由 得,又是方程的根,因此 ,由得 因由题意知,所以 ,将①,②,③,④代入⑤式整理得,解得或,因此直线l的方程为,或.‎ ‎2.解法一:(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.‎ 所以,‎ 从而双曲线E的离心率.‎ ‎(2)由(1)知,双曲线E的方程为. ‎ 设直线与x轴相交于点C.‎ 当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,‎ 则,‎ 又因为的面积为8,‎ 所以.‎ 此时双曲线E的方程为.‎ 若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.‎ 以下证明:当直线不与x轴垂直时,双曲线E:也满足条件. ‎ 设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.‎ 则,记.‎ 由,得,同理得.由得, 即.‎ 由得, .因为,‎ 所以,‎ 又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.‎ 因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.‎ ‎3.解:(Ⅰ)解:设椭圆的右焦点的坐标为.由,可得,又,则.所以,椭圆的离心率.‎ ‎,所以,解得,.‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,.故椭圆方程为.‎ 设.由,,有,.‎ 由已知,有,即.又,故有 ‎. ①‎ 又因为点在椭圆上,故 ‎. ②‎ 由①和②可得.而点不是椭圆的顶点,故,代入①得,即点的坐标为.‎ 设圆的圆心为,则,,进而圆的半径.‎ 设直线的斜率为,依题意,直线的方程为.‎ 由与圆相切,可得,即,‎ 整理得,解得.‎ 所以,直线的斜率为或.‎ ‎4‎ ‎5.【解析】(1)‎ ‎(2)‎ ‎6.解:(1)‎ ‎(2)‎ ‎8.解:(Ⅰ)设,其中,‎ 由得 从而故.‎ 从而,由得,因此.‎ 所以,故 因此,所求椭圆的标准方程为:‎ ‎(Ⅱ)如答(21)图,设圆心在轴上的圆与椭圆相交,是两个交点,,,是圆的切线,且由圆和椭圆的对称性,易知 ‎, ‎ 由(Ⅰ)知,所以,再由得,由椭圆方程得,即 ‎,解得或.‎ 当时,重合,此时题设要求的圆不存在.‎ 当时,过分别与,垂直的直线的交点即为圆心.‎ 由,是圆的切线,且,知,又故圆的半径 ‎10.解:(I)设点,依题意,,即,‎ 整理的,‎ 所以点的轨迹的方程为.‎ ‎(II)在点的轨迹中,记,,‎ 依题意,设直线的方程为,‎ 由方程组得 ①‎ 当时,此时,把代入轨迹的方程得,‎ 所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.‎ 当时,方程①的判别式为 ②‎ 设直线与轴的交点为,则由,令,得③‎ ‎(i)若,由②③解得或.‎ 即当时,直线与没有公共点,与有一个公共点,‎ 故此时直线与轨迹恰有一个公共点.‎ ‎(ii)若或,由②③解得或,‎ 即当时,直线与有一个共点,与有一个公共点.‎ 当时 ,直线与有两个共点,与没有公共点.‎ 故当时,故此时直线与轨迹恰有两个公共点.‎ ‎(iii)若,由②③解得或,‎ 即当时,直线与有两个共点,与有一个公共点.‎ 故此时直线与轨迹恰有三个公共点.‎ 综上所述,当时直线与轨迹恰有一个公共点;‎ ‎ 当时,故此时直线与轨迹恰有两个公共点;‎ ‎ 当时,故此时直线与轨迹恰有三个公共点.‎