选修不等式选讲高考真题训练 8页

不等式选讲综合测试 海南 李传牛 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若，则下列不等式中正确的是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎1．D ．‎ ‎2．设, ，则的大小关系是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎2．B ，即．‎ 通过放大分母使得分母一样，整个分式值变小 ‎3．设命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（ ）．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3． A 命题甲：，或，甲可推出乙．‎ ‎4．已知为非零实数，则最小值为( ) ．‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．B ， ∴所求最小值为．‎ ‎5．正数满足，，则有（ ）．‎ A． B． C． D．与大小不定 ‎ ‎5．C 特殊值：正数，满足，得．‎ 或由得，‎ ‎∴，（1）‎ 由得，（2）‎ 将（1）代入（2）得，即，∴．‎ ‎6．如果关于的不等式的非负整数解是，那么实数的取值 范围是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎6．A ，得，而正整数解是，则．‎ ‎7．设，则的最小值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎7．C ，‎ ‎．‎ ‎8．已知的解集与的解集相同，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎8．Ｂ 由解得，因为的解集与 的解集相同，那么或为方程的解，则分别代入该方程，得．‎ ‎9．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎9．B ∵，∴，∴．‎ ‎10．设，则的最大值为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．C 由排序不等式，所以．‎ ‎11．已知，当时，恒为正，则的取值范围是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎11．B ，，即，‎ ‎ 得，即．‎ ‎12．用数学归纳法证明不等式的过程中，由逆推到时的不等式左边（ ）．‎ A． 增加了项　　 B．增加了“”，又减少了“”‎ C．增加了项　 D．增加了，减少了 ‎12．B 注意分母是连续正整数．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．‎ ‎13．不等式的解集为 ．‎ ‎13． ∵，∴，即，∴，，‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ ‎14．已知函数，且，那么的取值范围是 ．‎ ‎14． ，，而，即．‎ ‎15．函数的最小值为_____________．‎ ‎15． ．‎ ‎16．若，且，则的最大值是 ．‎ ‎16． ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 求证：．‎ ‎17．证明：∵，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 即．‎ ‎18．（本小题满分10分）‎ 无论取任何非零实数，试证明等式总不成立．‎ ‎18．证明：设存在非零实数，使得等式成立，‎ 则，‎ ‎∴，即，‎ 但是，即，从而得出矛盾．‎ 故原命题成立．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知，，为的三边，求证：．‎ ‎19．证明：由余弦定理得，，‎ ‎ ，‎ ‎ 三式相加得，‎ ‎ 而，且三者至多一个可等于，‎ ‎ 即，‎ ‎ 所以．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知都是正数，求证：．‎ ‎20．证明：要证，‎ 只需证，即，‎ 移项得，‎ ‎∵都是正数，‎ ‎∴，‎ ‎∴原不等式成立．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 某单位决定投资元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价元，两侧墙砌砖，每米造价元，顶部每平方米造价元，试问：（1）仓库面积的最大允许值是多少？（2）为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？‎ ‎21．解：如图，设铁栅长为米，一堵砖墙长为米，则有，‎ 由题意得，‎ 应用二元均值不等式，‎ 得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，∴，∴．‎ 因此，的最大允许值是平方米，取得此最大值的条件是，‎ 而，求得，即铁栅的长应是米．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知是定义在上的单调递增函数，对于任意的满足 ‎，且，满足．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，解不等式；‎ ‎（3）求证：．‎ ‎22．解：（1）因为任意的满足，‎ ‎ 令，则，得；‎ ‎（2），‎ ‎ 而，‎ ‎ 得，而是定义在上的单调递增函数，‎ ‎ ，得不等式的解集为；‎ ‎（3）∵，在上的单调递增，‎ ‎∴时，，时，．‎ 又，或，‎ ‎∵，则，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，得．‎ ‎∵，且，，，‎ ‎∴，∴，‎ 得，∴，‎ 即，而，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴．‎ 答案与解析：‎ 备用题：‎ ‎1．已知，，则下列命题中正确的是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎1．D 令，可验证知D成立，‎ 事实上我们有①，②，①﹢②可得．‎ ‎2．已知，．设命题甲：满足；命题乙：且，那么甲是乙的（ ）．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 ‎ ‎2．B ，，则，而，‎ ‎ 即；命题甲：不能推出命题乙：且．‎ ‎3．证明 ，假设时成立，当时，左端增加的项数是（ ）．‎ A．项 B．项　　　　C．项 D．项 ‎3．D 从增加的项数是．‎ ‎4．如果恒成立，则的取值范围是 ．‎ ‎4． ，而恒成立，则，即．‎ ‎5．已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数 ．‎ ‎5． 显然，而，则，‎ ‎ 得是函数的递减区间，‎ ‎，，‎ ‎ 即，得，‎ ‎ ，而，则．‎ ‎6．要制作如图所示的铝合金窗架，当窗户采光面积为 一常数时（中间横梁面积忽略不计），要使所用的铝合 金材料最省，窗户的宽与高的比应为 ．‎ ‎6． 设宽为，高为，则，所用的铝合金材料为，‎ ‎ ，此时，．‎ ‎7．若，试比较与的大小．‎ ‎7．解：，‎ ‎ 即，而，则，‎ ‎ 得，即，所以．‎ ‎8．已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集 为．如果和有且仅有一个正确，求的取值范围．‎ ‎8．解：∵在上单调递减，∴，‎ 又∵的最小值是，‎ ‎∴，即，‎ 由题设，当为真为假时，有，且，‎ ‎∴；‎ 当为假为真时，有且，∴．‎ 故的取值范围是．‎ 作 者 李传牛 工作单位 海南省海口市第十四中学 邮政编码 570311‎ 联系手机 13976611338 E--MAIL lcn111@sohu.com QQ交流 284682392‎