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  • 2021-05-14 发布

选修不等式选讲高考真题训练

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不等式选讲综合测试 海南 李传牛 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若,则下列不等式中正确的是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎1.D .‎ ‎2.设, ,则的大小关系是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎2.B ,即.‎ 通过放大分母使得分母一样,整个分式值变小 ‎3.设命题甲:,命题乙:,则甲是乙的( ).‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3. A 命题甲:,或,甲可推出乙.‎ ‎4.已知为非零实数,则最小值为( ) .‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.B , ∴所求最小值为.‎ ‎5.正数满足,,则有( ).‎ A. B. C. D.与大小不定 ‎ ‎5.C 特殊值:正数,满足,得.‎ 或由得,‎ ‎∴,(1)‎ 由得,(2)‎ 将(1)代入(2)得,即,∴.‎ ‎6.如果关于的不等式的非负整数解是,那么实数的取值 范围是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎6.A ,得,而正整数解是,则.‎ ‎7.设,则的最小值为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎7.C ,‎ ‎.‎ ‎8.已知的解集与的解集相同,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎8.B 由解得,因为的解集与 的解集相同,那么或为方程的解,则分别代入该方程,得.‎ ‎9.已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎9.B ∵,∴,∴.‎ ‎10.设,则的最大值为( ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.C 由排序不等式,所以.‎ ‎11.已知,当时,恒为正,则的取值范围是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎11.B ,,即,‎ ‎ 得,即.‎ ‎12.用数学归纳法证明不等式的过程中,由逆推到时的不等式左边( ).‎ A. 增加了项   B.增加了“”,又减少了“”‎ C.增加了项  D.增加了,减少了 ‎12.B 注意分母是连续正整数.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.‎ ‎13.不等式的解集为 .‎ ‎13. ∵,∴,即,∴,,‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎14.已知函数,且,那么的取值范围是 .‎ ‎14. ,,而,即.‎ ‎15.函数的最小值为_____________.‎ ‎15. .‎ ‎16.若,且,则的最大值是 .‎ ‎16. .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 求证:.‎ ‎17.证明:∵,‎ ‎ ∴,‎ ‎ 即.‎ ‎18.(本小题满分10分)‎ 无论取任何非零实数,试证明等式总不成立.‎ ‎18.证明:设存在非零实数,使得等式成立,‎ 则,‎ ‎∴,即,‎ 但是,即,从而得出矛盾.‎ 故原命题成立.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知,,为的三边,求证:.‎ ‎19.证明:由余弦定理得,,‎ ‎ ,‎ ‎ 三式相加得,‎ ‎ 而,且三者至多一个可等于,‎ ‎ 即,‎ ‎ 所以.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知都是正数,求证:.‎ ‎20.证明:要证,‎ 只需证,即,‎ 移项得,‎ ‎∵都是正数,‎ ‎∴,‎ ‎∴原不等式成立.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 某单位决定投资元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价元,两侧墙砌砖,每米造价元,顶部每平方米造价元,试问:(1)仓库面积的最大允许值是多少?(2)为使达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?‎ ‎21.解:如图,设铁栅长为米,一堵砖墙长为米,则有,‎ 由题意得,‎ 应用二元均值不等式,‎ 得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴,即,‎ ‎∵,∴,∴.‎ 因此,的最大允许值是平方米,取得此最大值的条件是,‎ 而,求得,即铁栅的长应是米.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知是定义在上的单调递增函数,对于任意的满足 ‎,且,满足.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,解不等式;‎ ‎(3)求证:.‎ ‎22.解:(1)因为任意的满足,‎ ‎ 令,则,得;‎ ‎(2),‎ ‎ 而,‎ ‎ 得,而是定义在上的单调递增函数,‎ ‎ ,得不等式的解集为;‎ ‎(3)∵,在上的单调递增,‎ ‎∴时,,时,.‎ 又,或,‎ ‎∵,则,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,得.‎ ‎∵,且,,,‎ ‎∴,∴,‎ 得,∴,‎ 即,而,‎ ‎∴,又,‎ ‎∴.‎ 答案与解析:‎ 备用题:‎ ‎1.已知,,则下列命题中正确的是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎1.D 令,可验证知D成立,‎ 事实上我们有①,②,①﹢②可得.‎ ‎2.已知,.设命题甲:满足;命题乙:且,那么甲是乙的( ).‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分条件也不必要条件 ‎ ‎2.B ,,则,而,‎ ‎ 即;命题甲:不能推出命题乙:且.‎ ‎3.证明 ,假设时成立,当时,左端增加的项数是( ).‎ A.项 B.项    C.项 D.项 ‎3.D 从增加的项数是.‎ ‎4.如果恒成立,则的取值范围是 .‎ ‎4. ,而恒成立,则,即.‎ ‎5.已知函数在区间上的最大值比最小值大,则实数 .‎ ‎5. 显然,而,则,‎ ‎ 得是函数的递减区间,‎ ‎,,‎ ‎ 即,得,‎ ‎ ,而,则.‎ ‎6.要制作如图所示的铝合金窗架,当窗户采光面积为 一常数时(中间横梁面积忽略不计),要使所用的铝合 金材料最省,窗户的宽与高的比应为 .‎ ‎6. 设宽为,高为,则,所用的铝合金材料为,‎ ‎ ,此时,.‎ ‎7.若,试比较与的大小.‎ ‎7.解:,‎ ‎ 即,而,则,‎ ‎ 得,即,所以.‎ ‎8.已知,设:函数在上单调递减,:不等式的解集 为.如果和有且仅有一个正确,求的取值范围.‎ ‎8.解:∵在上单调递减,∴,‎ 又∵的最小值是,‎ ‎∴,即,‎ 由题设,当为真为假时,有,且,‎ ‎∴;‎ 当为假为真时,有且,∴.‎ 故的取值范围是.‎ 作 者 李传牛 工作单位 海南省海口市第十四中学 邮政编码 570311‎ 联系手机 13976611338 E--MAIL lcn111@sohu.com QQ交流 284682392‎