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- 2021-05-14 发布
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高考数学复习专题训练--平面向量
一、选择题w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1.把y=f(x)按平移后,得到函数为,则f(x)=( )
(A)y=sinx (B)y=cosx
(C)y=sinx+2 (D)y=cosx+4
2.已知A(3,7),B(5,2),向量按向量(1,2)平移后所得向量是( )
(A)(2,-5) (B)(3,-3) (C)(1,-7) (D)都不是
3.在△ABC中,已知则B=( )
(A)105° (B)60°
(C)15° (D)105°或15°
4.在△ABC中,已知a=6,b=4,C=120°,则sinB的值是 ( )
(A) (B) (C) (D)
5.在△ABC中,有a=2b,且C=30°,则这个三角形一定是 ( )
(A)直角三角形 (B)钝角三角形
(C)锐角三角形 (D)以上都有可能
6.△ABC中,已知b=30,c=15,C=26°,则此三角形的解的情况是( )
(A)一解 (B)二解
(C)无解 (D)无法确定
7.在△ABC中,中,若,则△ABC是 ( )
(A)等边三角形 (B)等腰三角形
(C)直角三角形 (D)等腰直角三角形
8.在△ABC中,已知,则等于( )
(A) (B) (C)或 (D)
9.直角△ABC的斜边AB=2,内切圆的半径为r,则r的最大值是( )
(A) (B)1 (C) (D)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
D
D
B
B
B
B
B
D
二、填空题
10.若是的单位向量,则= .
11.“与方向相反的向量”是“的相反相量”的 条件.
12.设平面内有四边形ABCD和点O,若
, 则四边形ABCD的形状是 .
13.若平行四边形ABCD的顶点A(4,2),B(5,7),C(-3,4),则D点的坐标为 .
14.已知A(3,4),B(12,7),点C在直线AB上,且则点C的坐标为 .
15.若且与的夹角是钝角,则λ的取值范围是 .
16.若则在方面上的投影为 .
17.已知非零向量,则垂直于的充要条件是 .
答案:10. 11.必要不充分条件 12.平行四边形13.(―4,―1) 14.(0,3)或(6,5) 15.( 16. 17.
三、解答题
18.在直角坐标系xoy中,已知点P(2cosx+1, 2cos2x+2)和点Q(cosx, -1),其中x∈
[0, π],若向量与垂直,求x的值.
19.已知非零向量和不共线.
(1)若=+,=2+8,=3(-),求证:A、B、D三点共线.
(2)欲使k+与+k共线,确定实数k的取值范围.
20.已知两点M(-1, 0),N(1, 0),且P点使·,·,·成公差小于零的等差数列.
(1)求点P的轨迹方程.
(2)若点P坐标为(x0, y0),记θ为与的夹角,求tanθ.
21.已知等腰直角△ABC中,∠C=90°,D为CB的中点,E为AB上的点,且AE=2EB,求证:AD⊥CE.
22.若=(cosα, sinα),=(cosβ, sinβ),且|k+|=|-k|,k∈R+.
(1)用k表示·;
(2)求·的最小值,并求出此时与所成的角θ.(0≤θ≤π)的大小.
23. 若向量与的夹角为30°,且||=,||=1,=+,=-,求与夹角的余弦.
24. 已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π),
(1)求证: a+b与a-b互相垂直;
(2)若ka+b与a-kb的大小相等(k∈R且k≠0),求β-α
25. 平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0)、B(0,-2),点C满足、
(1)求点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N,且以MN为直径的圆过原点,求证:.
答案:
18.
19.(1)证,
(2)存在,使
不共线,
∴
20.(1)设,,
由题得且
(2) 且
又,
21.设,则
,
22.(1)
,
又,
(2) 等号仅当时成立,
故,此时
23.
24. (1)证法一:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)
∴a+b=(cosα+cosβ,sinα+ sinβ), a-b=(cosα-cosβ,sinα- sinβ)
∴(a+b)·(a-b)=(cosα+cosβ,sinα+ sinβ)·(cosα-cosβ,sinα- sinβ)
=cos2α-cos2β+sin2α- sin2β=0
∴(a+b)⊥(a-b)
证法二:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ) ∴|a|=1,|b|=1
∴(a+b)·(a-b)= a2-b2=|a|2-|b|2=0 ∴(a+b)⊥(a-b)
证法三:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)∴|a|=1,|b|=1,
记=a,=b,则||=||=1,
又α≠β,∴O、A、B三点不共线。
由向量加、减法的几何意义,可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形,其中=a+b,=a-b,由菱形对角线互相垂直,知(a+b)⊥(a-b)
(2)解:由已知得|ka+b|与|a-kb|,
又∵|ka+b|2=(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β-α),
|ka+b|2=(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β-α),
∴2kcos(β-α)= -2kcos(β-α)
又∵k≠0 ∴cos(β-α)=0
∵0<α<β<π ∴0<β-α<π, ∴β-α=
注:本题是以平面向量的知识为平台,考查了三角函数的有关运算,同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法,常用的方法有三种,一是根据数量积的定义证明,二是利用数量积的坐标运算来证明,三是利用向量运算的几何意义来证明。
25. (1)解:设
即点C的轨迹方程为x+y=1
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m