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  • 2021-05-14 发布

高考数学复习专题训练——平面向量含详解

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高考数学复习专题训练--平面向量 一、选择题w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎1.把y=f(x)按平移后,得到函数为,则f(x)=( )‎ ‎(A)y=sinx (B)y=cosx ‎(C)y=sinx+2 (D)y=cosx+4‎ ‎2.已知A(3,7),B(5,2),向量按向量(1,2)平移后所得向量是( )‎ ‎(A)(2,-5) (B)(3,-3) (C)(1,-7) (D)都不是 ‎3.在△ABC中,已知则B=( )‎ ‎(A)105° (B)60° ‎ ‎(C)15° (D)105°或15°‎ ‎4.在△ABC中,已知a=6,b=4,C=120°,则sinB的值是 ( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎5.在△ABC中,有a=2b,且C=30°,则这个三角形一定是 ( )‎ ‎(A)直角三角形 (B)钝角三角形 ‎(C)锐角三角形 (D)以上都有可能 ‎6.△ABC中,已知b=30,c=15,C=26°,则此三角形的解的情况是( )‎ ‎(A)一解 (B)二解 ‎ ‎(C)无解 (D)无法确定 ‎7.在△ABC中,中,若,则△ABC是 ( )‎ ‎(A)等边三角形 (B)等腰三角形 ‎(C)直角三角形 (D)等腰直角三角形 ‎8.在△ABC中,已知,则等于( )‎ ‎(A) (B) (C)或 (D)‎ ‎9.直角△ABC的斜边AB=2,内切圆的半径为r,则r的最大值是( )‎ ‎(A) (B)1 (C) (D)‎ 答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ B D D B B B B B D 二、填空题 ‎10.若是的单位向量,则= .‎ ‎11.“与方向相反的向量”是“的相反相量”的 条件.‎ ‎12.设平面内有四边形ABCD和点O,若 ‎  , 则四边形ABCD的形状是 .‎ ‎13.若平行四边形ABCD的顶点A(4,2),B(5,7),C(-3,4),则D点的坐标为 .‎ ‎14.已知A(3,4),B(12,7),点C在直线AB上,且则点C的坐标为 .‎ ‎15.若且与的夹角是钝角,则λ的取值范围是 .‎ ‎16.若则在方面上的投影为 .‎ ‎17.已知非零向量,则垂直于的充要条件是 .‎ 答案:10. 11.必要不充分条件 12.平行四边形13.(―4,―1) 14.(0,3)或(6,5) 15.( 16. 17.‎ 三、解答题 ‎18.在直角坐标系xoy中,已知点P(2cosx+1, 2cos2x+2)和点Q(cosx, -1),其中x∈‎ ‎[0, π],若向量与垂直,求x的值.‎ ‎19.已知非零向量和不共线.‎ ‎(1)若=+,=2+8,=3(-),求证:A、B、D三点共线.‎ ‎(2)欲使k+与+k共线,确定实数k的取值范围.‎ ‎20.已知两点M(-1, 0),N(1, 0),且P点使·,·,·成公差小于零的等差数列.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程.‎ ‎(2)若点P坐标为(x0, y0),记θ为与的夹角,求tanθ.‎ ‎              ‎ ‎21.已知等腰直角△ABC中,∠C=90°,D为CB的中点,E为AB上的点,且AE=2EB,求证:AD⊥CE.‎ ‎22.若=(cosα, sinα),=(cosβ, sinβ),且|k+|=|-k|,k∈R+.‎ ‎(1)用k表示·;‎ ‎(2)求·的最小值,并求出此时与所成的角θ.(0≤θ≤π)的大小.‎ ‎23. 若向量与的夹角为30°,且||=,||=1,=+,=-,求与夹角的余弦.‎ ‎24. 已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π),‎ ‎(1)求证: a+b与a-b互相垂直;‎ ‎(2)若ka+b与a-kb的大小相等(k∈R且k≠0),求β-α ‎25. 平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0)、B(0,-2),点C满足、‎ ‎ (1)求点C的轨迹方程;‎ ‎(2)设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N,且以MN为直径的圆过原点,求证:.‎ 答案:‎ ‎18.‎ ‎ ‎ ‎19.(1)证,‎ ‎ (2)存在,使 ‎ 不共线,‎ ‎∴ ‎ ‎20.(1)设,,‎ ‎ 由题得且 ‎ (2) 且 ‎ 又,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.设,则 ‎,‎ ‎22.(1)‎ ‎,‎ 又,‎ ‎(2) 等号仅当时成立,‎ ‎ 故,此时 ‎23. ‎ ‎24. (1)证法一:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)‎ ‎∴a+b=(cosα+cosβ,sinα+ sinβ), a-b=(cosα-cosβ,sinα- sinβ)‎ ‎∴(a+b)·(a-b)=(cosα+cosβ,sinα+ sinβ)·(cosα-cosβ,sinα- sinβ)‎ ‎=cos2α-cos2β+sin2α- sin2β=0‎ ‎∴(a+b)⊥(a-b)‎ 证法二:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ) ∴|a|=1,|b|=1‎ ‎∴(a+b)·(a-b)= a2-b2=|a|2-|b|2=0       ∴(a+b)⊥(a-b)‎ 证法三:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)∴|a|=1,|b|=1,‎ 记=a,=b,则||=||=1,‎ 又α≠β,∴O、A、B三点不共线。‎ 由向量加、减法的几何意义,可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形,其中=a+b,=a-b,由菱形对角线互相垂直,知(a+b)⊥(a-b)‎ ‎(2)解:由已知得|ka+b|与|a-kb|,‎ 又∵|ka+b|2=(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β-α),‎ ‎|ka+b|2=(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β-α),‎ ‎∴2kcos(β-α)= -2kcos(β-α)‎ 又∵k≠0   ∴cos(β-α)=0‎ ‎∵0<α<β<π  ∴0<β-α<π, ∴β-α=‎ 注:本题是以平面向量的知识为平台,考查了三角函数的有关运算,同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法,常用的方法有三种,一是根据数量积的定义证明,二是利用数量积的坐标运算来证明,三是利用向量运算的几何意义来证明。‎ ‎25. (1)解:设 即点C的轨迹方程为x+y=1 ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m