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- 2021-05-14 发布
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2018年四川省达州市高考数学一诊试卷(理科)
一、选择题(每小题5分,共60分,每小题四个选项中只有一个是符合题意的,请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置).
1.(5分)已知集合A={x|x2﹣4x+3≤0 },B=(1,3],则A∩B=( )
A.[1,3] B.(1,3] C.[1,3) D.(1,3)
2.(5分)已知复数z1=3+i,z2=2﹣i.则z1﹣z2=( )
A.1 B.2 C.1+2i D.1﹣2i
3.(5分)在等比数列{an}中,a3=2,a6=16,则数列{an}的公比是( )
A.﹣2 B. C.2 D.4
4.(5分)从编号为1,2,3,…,100(编号为连续整数)的100个个体中随机抽取得到编号为10,30,50,70,90的样本,得到这个样本的抽样方法最有可能是( )
A.系统抽样 B.分层抽样
C.简单随机抽样 D.先分层再简单随机抽样
5.(5分)在△ABC中,•=,则△ABC是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形
6.(5分)已知命题p:2x<2y,命题q:log2x<log2y,则命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
7.(5分)运行如图所示的程序框图,输出n的值为( )
A.5 B.6 C.100 D.101
8.(5分)点P是双曲线x2﹣=1(b>0)上一点,F1、F2是双曲线的左、右焦点,|PF1|+|PF2|=6,PF1⊥PF2,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
9.(5分)如图,虚线网格小正方形边长为1,网格中是某几何体的三视图,这个几何体的体积是( )
A.27﹣π B.12﹣3πp C.32﹣(﹣1)π D.12﹣πp
10.(5分)将函数f(x)=cosx的图象上点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,再把所得图象向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,则( )
A.g(x)=cos(x﹣) B.g(x)=cos(x﹣)
C.g(x)=cos(2x+) D.g(x)=cos(2x﹣)
11.(5分)四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在半径为
的球上,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,当△PAB面积最大时,四棱锥P﹣ABCD的体积为( )
A.8 B. C. D.4
12.(5分)如图,O是坐标原点,过E(p,0)的直线分别交抛物线y2=2px(p>0)于A、B两点,直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M,过点M与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N.则|ME|2﹣|NE|2=( )
A.2p2 B.2p C.4p D.p
二、填空题(每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡上相应位置).
13.(5分)式子(1+3)n 展开式中,各项系数和为16,则xdx= .
14.(5分)已知x,y满足,则2x+y的最大值是 .
15.(5分)已知函数f(x)=mlnx﹣x(m∈R)有两个零点x1、x2(x1<x2),e=2.71828…是自然对数的底数,则x1、x2、e 的大小关系是 (用“<”连接).
16.(5分)在锐角△ABC中,A、B、C成等差数列,AC=,•的取值范围是 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.
17.(12分)已知向量=(sin2x,cos2x),=(,﹣),f(x)=•.
(1)求函数f(x)的周期;
(2)在△ABC中,f(A)=,AB=2,BC=2,求△ABC的面积S.
18.(12分)在数列{an}中,a1=1,当n>1时,2an+anan﹣1﹣an﹣1=0,数列{an}的前n项和为Sn.求证:
(1)数列{+1} 是等比数列;
(2)Sn<2.
19.(12分)某市去年外出务工返乡创业人员中有1000名个人年收入在区间[1,41](单位:万元)上,从这1000名中随机抽取100名,得到这100名年收入x(万元,下同)的频率分布直方图,如图,这些数据区间是[1,5],…,(37,41].
已接受职业技术教育
未接受职业技术教育
总计
个人年收入超过17万元
340
个人年收入不超过17万元
总计
600
1000
(1)从这100名年收入在(33,41]上的返乡创业人员中随机抽取 3 人,其中收入在(37,41]上有ξ人,求随机变量xξ的分布列和Eξ;
(2)调查发现这1000名返乡创业人员中有600人接受了职业技术教育,其中340人个人年收入超过 17 万元.请完成个人年收入与接受职业教育2×2列联表,是否有99%握认为该市这 1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关?请说明理由.
参考公式及数据K2检验临界值表:
K2=(其中n=a+b+c+d)
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20.(12分)已知,如图,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD. EF是平面ABCD外的一条直线,△ADE是等边三角形,平面ADE⊥平面ABCD,AB∥EF∥DC,AB=2,EF=3,DC=AD=4.
(1)求证:平面BCF⊥平面ABCD;
(2)求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
21.(12分)已知函数f(x)=lnx﹣ax+a(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)记[a]表示不超过实数a的最大整数,不等式f(x)≤x恒成立,求[a]的最大值.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修4-4参数方程与极坐标
22.(10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴为极轴建立极坐标系.已知直线l:(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0,l与C相交于两点A、B.
(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程;
(2)已知M(0,﹣1),求|MA|•|MB|的值.
选修4-5不等式选讲
23.已知正数a,b,c满足:a+b+c=1,函数f(x)=|x﹣|+|x+|.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)求证:f(x)≥9.
2018年四川省达州市高考数学一诊试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题5分,共60分,每小题四个选项中只有一个是符合题意的,请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置).
1.(5分)已知集合A={x|x2﹣4x+3≤0 },B=(1,3],则A∩B=( )
A.[1,3] B.(1,3] C.[1,3) D.(1,3)
【解答】解:∵集合A={x|x2﹣4x+3≤0 }={x|1≤x≤3},
B=(1,3],
∴A∩B=(1,3].
故选:B.
2.(5分)已知复数z1=3+i,z2=2﹣i.则z1﹣z2=( )
A.1 B.2 C.1+2i D.1﹣2i
【解答】解:∵z1=3+i,z2=2﹣i,
∴z1﹣z2=(3+i)﹣(2﹣i)=1+2i.
故选:C.
3.(5分)在等比数列{an}中,a3=2,a6=16,则数列{an}的公比是( )
A.﹣2 B. C.2 D.4
【解答】解:根据题意,等比数列{an}中,a3=2,a6=16,
则q3==8,
解可得q=2;
故选:C.
4.(5分)从编号为1,2,3,…,100(编号为连续整数)的100个个体中随机抽取得到编号为10,30,50,70,90的样本,得到这个样本的抽样方法最有可能是( )
A.系统抽样 B.分层抽样
C.简单随机抽样 D.先分层再简单随机抽样
【解答】解:根据题意,抽取的样本间隔相等,为20;
则这个样本的抽样方法最有可能是系统抽样.
故选:A.
5.(5分)在△ABC中,•=,则△ABC是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形
【解答】解:∵•=,
∴•﹣=•(﹣)=•=0,
∴⊥,
∴C=90°,
∴△ABC是直角三角形,
故选D
6.(5分)已知命题p:2x<2y,命题q:log2x<log2y,则命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【解答】解:∵命题p:2x<2y,∴x<y,
∵命题q:log2x<log2y,∴0<x<y,
∴命题p是命题q的必要不充分条件.
故选:B.
7.(5分)运行如图所示的程序框图,输出n的值为( )
A.5 B.6 C.100 D.101
【解答】解:第一次执行循环体后,T=0,n=2,不满足退出循环的条件;
第二次执行循环体后,T=lg2,n=3,不满足退出循环的条件;
第三次执行循环体后,T=lg6,n=4,不满足退出循环的条件;
第四 次执行循环体后,T=lg24,n=5,不满足退出循环的条件;
第五次执行循环体后,T=lg120,n=6,满足退出循环的条件;
故输出的n值为6,
故选:B
8.(5分)点P是双曲线x2﹣=1(b>0)上一点,F1、F2是双曲线的左、右焦点,|PF1|+|PF2|=6,PF1⊥PF2,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
【解答】解:根据题意,点P是双曲线x2﹣=1(b>0)上一点,
则有||PF1|﹣|PF2||=2a=2,
设|PF1|>|PF2|,则有|PF1|﹣|PF2|=2,
又由|PF1|+|PF2|=6,
解可得:|PF1|=4,|PF2|=2,
又由PF1⊥PF2,则有|PF1|2+|PF2|2=4c2=20,
则c=,
又由a=1,
则双曲线的离心率e==;
故选:C.
9.(5分)如图,虚线网格小正方形边长为1,网格中是某几何体的三视图,这个几何体的体积是( )
A.27﹣π B.12﹣3πp C.32﹣(﹣1)π D.12﹣πp
【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个长方体,挖去一个圆锥所得的组合体,
长方体的长,宽,高分别为:2,2,3,体积为:12,
圆锥的底面半径为1,高为3,体积为:π,
故组合体的体积为:V=12﹣π,
故选:D
10.(5分)将函数f(x)=cosx的图象上点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,再把所得图象向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,则( )
A.g(x)=cos(x﹣) B.g(x)=cos(x﹣)
C.g(x)=cos(2x+) D.g(x)=cos(2x﹣)
【解答】解:将函数f(x)=cosx图象上每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),
可得函数y=cos2x的图象;
再将得到的图象向右平移个单位长度,可得函数y=cos[2(x﹣)]=cos(2x﹣)的图象;
故选:D.
11.(5分)四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在半径为的球上,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,当△PAB面积最大时,四棱锥P﹣ABCD的体积为( )
A.8 B. C. D.4
【解答】解:如图,∵四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,
∴BC⊥面PAB,CD⊥面PAD,
∴△PCB,△PCD,△PAC是有公共斜边PC的直角三角形,取PC中点O
∴OA=OB=OC=OP,O为四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心,直径PC=2,
设四棱锥的底面边长为a,PA=.
△PAB面积S===3,
当且仅当a2=12﹣a2,即a=时,△PAB面积最大,此时PA=,
四棱锥P﹣ABCD的体积V==,
故选:D
,
12.(5分)如图,O是坐标原点,过E(p,0)的直线分别交抛物线y2=2px(p>0)于A、B两点,直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M,过点M与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N.则|ME|2﹣|NE|2=( )
A.2p2 B.2p C.4p D.p
【解答】解:过E(p,0)的直线分别交抛物线y2=2px(p>0)于A、B两点为任意的,
不妨设直线AB为x=p,
由,解得y=±2p,
则A(﹣p,﹣p),B(p,p),
∵直线BM的方程为y=x,
直线AM的方程为y=﹣p,
解得M(﹣p,﹣p),
∴|ME|2=(2p)2+2p2=6p2,
设过点M与此抛物线相切的直线为y+p=k(x+p),
由,消x整理可得ky2﹣2py﹣2p+2p2k=0,
∴△=4p2﹣4k(﹣2p+2p2k)=0,
解得k=,
∴过点M与此抛物线相切的直线为y+p=(x+p),
由,解得N(p,2p),
∴|NE|2=4p2,
∴|ME|2﹣|NE|2=6p2﹣4p2=2p2,
故选:A
二、填空题(每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡上相应位置).
13.(5分)式子(1+3)n 展开式中,各项系数和为16,则xdx= .
【解答】解:令x=1,则展开式中各项系数和为An=(1+3)n=22n,由22n=16,则n=2,
∴xdx=xdx=x2=[22﹣(﹣1)2]=,
故答案为:.
14.(5分)已知x,y满足,则2x+y的最大值是 8 .
【解答】解:作出x,y满足对应的平面区域如图:(阴影部分).
由z=2x+y得y=﹣2x+z,
平移直线y=﹣2x+z,
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,
直线y=﹣2x+z的截距最大,
此时z最大.
由,解得A(3,2),
代入目标函数z=2x+y得z=2×3+2=8.
即目标函数z=2x+y的最大值为:8.
故答案为:8.
15.(5分)已知函数f(x)=mlnx﹣x(m∈R)有两个零点x1、x2(x1<x2),e=2.71828…是自然对数的底数,则x1、x2、e 的大小关系是 x1<e<x2 (用“<”连接).
【解答】解:∵函数f(x)=mlnx﹣x有两个零点,
∴m≠0,由方程mlnx﹣x=0,得mlnx=x,即lnx=,
若m<0,两函数y=mlnx与y=的图象仅有一个交点,不合题意;
若m>0,设直线y=与曲线y=lnx相切于(x0,lnx0),
则,
∴切线方程为,
把原点坐标(0,0)代入,可得﹣lnx0=﹣1,即x0=e.
∵两函数y=mlnx与y=的图象有两个交点,两交点的横坐标分别为x1、x2(x1<x2),
∴x1<e<x2.
故答案为:x1<e<x2.
16.(5分)在锐角△ABC中,A、B、C成等差数列,AC=,•
的取值范围是 (1,] .
【解答】解:锐角△ABC中,A、B、C成等差数列,其对应的边分别为a,b,c,
∴2B=A+C,
又A+B+C=π,
∴B=,
由正弦定理可得====2,
∴a=2sinA,c=2sinC=2sin(﹣A)=2(cosA+sinA)=cosA+sinA,
∴ac=2sinA(cosA+sinA)=sin2A+2sin2A=sin2A﹣cos2A+1=2sin(2A﹣)+1,
∵0<A<,0<﹣A<
∴<A<
∴<2A﹣<,
∴<sin(2A﹣)≤1,
∴2<2sin(2A﹣)+1≤3,
∴2<ac≤3,
∵•=accosB=ac,
∴•的取值范围是(1,]
故答案为:(1,]
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.
17.(12分)已知向量=(sin2x,cos2x),=(,﹣),f(x)=•.
(1)求函数f(x)的周期;
(2)在△ABC中,f(A)=,AB=2,BC=2,求△ABC的面积S.
【解答】解:(1)由f(x)=•=sin2x﹣cos2x=sin(2x﹣)
∴函数f(x)的周期T=;
(2)由f(A)=,即sin(2A﹣)=
∵0<A<π,AB=c=2>BC=a=2,
∴A=
正弦定理:,
可得sinC=,
∵0<C<π,
∴C=或.
当C=,则B=,△ABC的面积S=acsinB=2,
当C=,则B=,△ABC的面积S=acsinB=.
18.(12分)在数列{an}中,a1=1,当n>1时,2an+anan﹣1﹣an﹣1=0,数列{an}的前n项和为Sn.求证:
(1)数列{+1} 是等比数列;
(2)Sn<2.
【解答】证明:(1)数列{an}中,a1=1,当n>1时,2an+anan﹣1﹣an﹣1=0,
整理得:,
转化为:,
即:(常数).
则:数列{}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由于数列{}是以2为首项,2为公比的等比数列,
则:,
所以:(n=1符合),
则:+…+=1+(1﹣)<2.
19.(12分)某市去年外出务工返乡创业人员中有1000名个人年收入在区间[1,41](单位:万元)上,从这1000名中随机抽取100名,得到这100名年收入x(万元,下同)的频率分布直方图,如图,这些数据区间是[1,5],…,(37,41].
已接受职业技术教育
未接受职业技术教育
总计
个人年收入超过17万元
340
个人年收入不超过17万元
总计
600
1000
(1)从这100名年收入在(33,41]上的返乡创业人员中随机抽取 3 人,其中收入在(37,41]上有ξ人,求随机变量xξ的分布列和Eξ;
(2)调查发现这1000名返乡创业人员中有600人接受了职业技术教育,其中340人个人年收入超过 17 万元.请完成个人年收入与接受职业教育2×2列联表,是否有99%握认为该市这 1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关?请说明理由.
参考公式及数据K2检验临界值表:
K2=(其中n=a+b+c+d)
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解答】解:(1)收入在(33,37]上的返乡创业人员有100×0.010×4=4人,
在(37,41]上的返乡创业人员有100×0.005×4=2人,
从这6人中随机抽取 3 人,收入在(37,41]上有ξ人,
则ξ的可能取值为0,1,2;
计算P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==;
∴随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P(ξ)
数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1;
(2)根据题意,这1000名返乡创业人员中年收入超过 17 万元的人数是
1000×[1﹣(0.01+0.02+0.03+0.04)×4]=600,其中参加职业培训的人数是340人,
由此填写2×2列联表如下;
已接受职业技术教育
未接受职业技术教育
总计
个人年收入超过17万元
340
260
600
个人年收入不超过17万元
260
140
400
总计
600
400
1000
计算K2=≈6.944>6.635,
所以有99%的把握认为该市这 1000
人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关.
20.(12分)已知,如图,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD. EF是平面ABCD外的一条直线,△ADE是等边三角形,平面ADE⊥平面ABCD,AB∥EF∥DC,AB=2,EF=3,DC=AD=4.
(1)求证:平面BCF⊥平面ABCD;
(2)求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
【解答】(1)证明:取线段AD的中点H,在等腰三角形ADE中有EH⊥AD.
又平面ADE⊥平面ABCD,∴EH⊥平面ABCD,
连接GH,由于AB∥CD∥EF,且AB=2,CD=4,
∴在梯形ABCD中,HG∥AB且HG=3,∴HG∥EF.
又HG=EF,∴四边形EFGH为平行四边形,
∴FG∥EH且FG=EH,∴FG⊥平面ABCD.
∵FG⊂平面BCF.∴平面BCF⊥平面ABCD;
(2)解:如图,过G作MN平行AD,交DC于M,交AB延长线于点N,
连接FM,则面FMG∥面ADE
∴二面角C﹣FG﹣M等于平面ADE与平面BCF所成的锐二面角,
∵,∴∠CGM为所求.
∵AB=2,EF=3,DC=AD=4.HG=3
∴MG=2,CM﹣1
在Rt△CMG中,GM=2,CG=
cos=.
∴平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为.
21.(12分)已知函数f(x)=lnx﹣ax+a(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)记[a]表示不超过实数a的最大整数,不等式f(x)≤x恒成立,求[a]的最大值.
【解答】解:(1)a=1时,f(x)=lnx﹣x+1,(x>0).
f′(x)=﹣1=,
令f′(x)=0,解得x=1.
∴x∈(0,1)时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;
x∈[1,+∞)时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减.
(2)不等式f(x)≤x恒成立,即lnx﹣(a+1)x+a≤0恒成立,x∈(0,+∞).
令g(x)=lnx﹣(a+1)x+a,x∈(0,+∞).
g′(x)=﹣(a+1).
①a≤﹣1时,g′(x)>0,此时函数g(x)单调递增.
而g(e)=1﹣(a+1)e+a=(1﹣e)(1+a)≥0.可得x>e时,g(x)>0,不满足题意,舍去.
②a>﹣1时,g′(x)=,可得x=时,
函数g(x)取得极大值即最大值.=﹣(a+1)×+
a=﹣ln(a+1)+a﹣1,
令a+1=t>0,h(t)=﹣lnt+t﹣2.
h′(t)=﹣+1=,
可得h(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
h(3)=﹣ln3+1<0,h(4)=﹣ln4+2>0.
∴(a+1)max∈(3,4),
∴[a]=2.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修4-4参数方程与极坐标
22.(10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴为极轴建立极坐标系.已知直线l:(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0,l与C相交于两点A、B.
(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程;
(2)已知M(0,﹣1),求|MA|•|MB|的值.
【解答】解:(1)直线l的方程为:(t为参数),
转化为:x﹣y﹣1=0.
曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0,
转化为:x2+y2﹣6x+1=0.
(2)把直线l的方程:(t为参数),代入x2+y2﹣6x+1=0得到:
,A点的参数为t1,B点的参数的为t2,
则:|MA|•|MB|=t1•t2=2.
选修4-5不等式选讲
23.已知正数a,b,c满足:a+b+c=1,函数f(x)=|x﹣|+|x+|.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)求证:f(x)≥9.
【解答】解(1)f(x)=|x﹣|+|x+|=||+|x+|
∵正数a,b,c,且a+b+c=1,
则(a+b+c)()=3+()=9
当且仅当a=b=c=时取等号.
∴f(x)的最小值为9.
(2)证明:f(x)=|x﹣|+|x+|=||+|x+|
∵正数a,b,c,且a+b+c=1,
则(a+b+c)()=3+()=9
当且仅当a=b=c=时取等号.
∴f(x)≥9.