高考数学理基础知识总复习名师讲义平面向量的数量积高考 5页

第三节　平面向量的数量积 ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.‎ ‎3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.‎ ‎4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ 知识梳理 一、平面向量的数量积的定义 ‎1．向量a，b的夹角：已知两个非零向量a，b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a，b的夹角．‎ 当且仅当两个非零向量a，b同方向时，θ＝0°，当且仅当a，b反方向时，θ＝180°，同时零向量与其他任何非零向量的夹角是任意的．‎ ‎2．a与b垂直：如果a，b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.‎ ‎3．a与b的数量积：两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，则cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝cos θ，规定0·a＝0，非零向量a与b当且仅当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.‎ ‎4．b在a方向上的投影：|OP|＝cos θ∈R(注意是射影)．‎ ‎5．a·b的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积．‎ 二、平面向量数量积的性质 设a，b是两个非零向量，e是单位向量，于是有：‎ ‎1．e·a＝a·e＝cos θ.‎ ‎2．a⊥b⇔a·b＝0.‎ ‎3．当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝－，特别地，a·a＝a2＝2，即|a|＝.‎ ‎4．cos θ＝.‎ ‎5.≤.‎ 三、平面向量数量积的运算律 ‎1．交换律成立：a·b＝b·a.‎ ‎2．对实数的结合律成立：·b＝λ＝a·.‎ ‎3．分配律成立：·c＝a·c±b·c＝c·.‎ 四、平面向量数量积的坐标表示 ‎1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎2．若a＝(x，y)，则|a|2＝a·a＝x2＋y2，＝.‎ ‎3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝.‎ ‎4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎5．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ ＝ .‎ 基础自测 ‎1．(2013·辽宁卷)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为(　　)‎ A.　　 　B. C. D. 解析：＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与同方向的单位向量为＝.故选A.‎ 答案：A ‎2．(2013·佛山一模)已知a＝(1,2)，b＝(0,1)，c＝(k，－2)，若(a＋2b)⊥c，则k＝(　　)‎ A．2 B．－2 ‎ C．8 D．－8‎ 解析：∵a＝(1,2)，b＝(0,1)，∴a＋2b＝(1,4)，‎ 又因为(a＋2b)⊥c，所以(a＋2b)·c＝k－8＝0，‎ 解得k＝8，故选C.‎ 答案：C ‎3．在△ABC中，已知·＝4，·＝－12，则||＝________.‎ 解析：∵·＝4，∴bccos A＝＝4，得b2＋c2－a2＝8，‎ 同理a2＋c2－b2＝24，两式相加得c2＝16，∴c＝4.‎ 答案：4‎ ‎4．已知平面向量α，β，＝1，＝2，α⊥(α－2β)，则的值是________．‎ 答案： ‎1．(2013·陕西卷)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：a·b＝|a|·|b|·cos θ.‎ 若|a·b|＝|a|·|b|⇒cos θ＝±1，则向量a与b的夹角为0或π，即a∥b为真；‎ 相反，若a∥b，则向量a与b的夹角为0或π，‎ 即|a·b|＝|a|·|b|.‎ 答案：C ‎2．(2013·山东卷)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．‎ 解析：由⊥知·＝0，‎ 即·＝(λ＋)·(－)‎ ‎＝(λ－1)·－λ2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.‎ 答案： ‎1．已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，则|a×b|的值为(　　)‎ A．－8 B．－6 C．8 D．6‎ 解析：由已知可得|a|＝5，|b|＝2，则cos θ＝＝＝.∴sin θ＝.∴|a×b|＝|a||b|sin θ＝5×2×＝6.故选D.‎ 答案：D ‎2．(2013·韶关二模)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－b)；则cos〈a，b〉的值是________．‎ 解析：由题意可得a·(a－b)＝a2－a·b＝0，‎ 即1－1×2×cos〈a，b〉＝0，‎ 解得cos〈a，b〉＝.‎ 答案：