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- 2021-05-14 发布
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2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学2
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.
4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
【解析】A
∴,,∴,故选A.
(2)已知集合,,则
(A) (B)
(C) (D)
【解析】C
,
∴,∴,故选C.
(3)已知向量,且,则m=
(A) (B) (C)6 (D)8
【解析】D
,
∵,∴
解得,故选D.
(4)圆的圆心到直线 的距离为1,则a=
(A) (B) (C) (D)2
【解析】A
圆化为标准方程为:,
故圆心为,,解得,故选A.
(5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
(A)24 (B)18 (C)12 (D)9
【解析】B
有种走法,有种走法,由乘法原理知,共种走法
故选B.
(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(A)20π (B)24π (C)28π (D)32π
【解析】C
几何体是圆锥与圆柱的组合体,
设圆柱底面圆半径为,周长为,圆锥母线长为,圆柱高为.
由图得,,由勾股定理得:,
,故选C.
(7)若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为
(A) (B)
(C) (D)
【解析】B
平移后图像表达式为,
令,得对称轴方程:,
故选B.
(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的,,依次输入的a为2,2,5,则输出的
(A)7 (B)12 (C)17 (D)34
【解析】C
第一次运算:,
第二次运算:,
第三次运算:,故选C.
(9)若,则=
(A) (B) (C) (D)
【解析】D
∵,,
故选D.
(10)从区间随机抽取2n个数,,…,,,,…,,构成n个数对,,…,,其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为
(A) (B) (C) (D)
【解析】C
由题意得:在如图所示方格中,而平方和小于1的点均在
如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知,
∴,故选C.
(11)已知,是双曲线E:的左,右焦点,点M在E上,与轴垂直,sin ,则E的离心率为
(A) (B) (C) (D)2
【解析】A
离心率,由正弦定理得.
故选A.
(12)已知函数满足,若函数与图像的交点
为,,⋯,,则( )
(A)0 (B)m (C)2m (D)4m
【解析】B
由得关于对称,
而也关于对称,
∴对于每一组对称点 ,
∴,故选B.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.
(13)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,
则 .
【解析】
∵,,
,,
,
由正弦定理得:解得.
(14),是两个平面,m,n是两条线,有下列四个命题:
①如果,,,那么.
②如果,,那么.
③如果,,那么.
④如果,,那么m与所成的角和n与所成的角相等.
【解析】②③④
(15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是
【解析】
由题意得:丙不拿(2,3),
若丙(1,2),则乙(2,3),甲(1,3)满足,
若丙(1,3),则乙(2,3),甲(1,2)不满足,
故甲(1,3),
(16) 若直线是曲线的切线,也是曲线的切线, .
(17) 【解析】
的切线为:(设切点横坐标为)
的切线为:
∴
解得
∴.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
为等差数列的前n项和,且,.记,其中表示不超过x的最大整数,如,.
(Ⅰ)求,,;
(Ⅱ)求数列的前项和.
【解析】⑴设的公差为,,
∴,∴,∴.
∴,,.
⑵记的前项和为,则
.
当时,;
当时,;
当时,;
当时,.
∴.
(18)(本小题满分12分)
某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出的概率;
(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件,
.
⑵设续保人保费比基本保费高出为事件,
.
⑶解:设本年度所交保费为随机变量.
平均保费
,
∴平均保费与基本保费比值为.
(19)(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,,,点E,F分别在AD,CD上,,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置.
(I)证明:平面ABCD;
(II)求二面角的正弦值.
【解析】⑴证明:∵,
∴,
∴.
∵四边形为菱形,
∴,
∴,
∴,
∴.
∵,
∴;
又,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
又∵,
∴面.
⑵建立如图坐标系.
,,,,
,,,
设面法向量,
由得,取,
∴.
同理可得面的法向量,
∴,
∴.
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆E:的焦点在轴上,A是E的左顶点,斜率为的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(I)当,时,求△AMN的面积;
(II)当时,求k的取值范围.
【解析】 ⑴当时,椭圆E的方程为,A点坐标为,
则直线AM的方程为.
联立并整理得,
解得或,则
因为,所以
因为,,
所以,整理得,
无实根,所以.
所以的面积为.
⑵直线AM的方程为,
联立并整理得,
解得或,
所以
所以
因为
所以,整理得,.
因为椭圆E的焦点在x轴,所以,即,整理得
解得.
(21)(本小题满分12分)
(I)讨论函数的单调性,并证明当时,
(II)证明:当 时,函数 有最小值.设的最小值为,求函数的值域.
【解析】⑴证明:
∵当时,
∴在上单调递增
∴时,
∴
⑵
由(1)知,当时,的值域为,只有一解.
使得,
当时,单调减;当时,单调增
记,在时,,∴单调递增
∴.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,在正方形ABCD,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.
(I) 证明:B,C,G,F四点共圆;
(II)若,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
【解析】(Ⅰ)证明:∵
∴
∴
∵, ∴
∴
∴
∴
∴.∴B,C,G,F四点共圆.
(Ⅱ)∵E为AD中点,,
∴,
∴在中,,
连接,,
∴.
(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直线坐标系xOy中,圆C的方程为.
(I)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(II)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A、B两点,,求l的斜率.
【解析】解:⑴整理圆的方程得,
由可知圆的极坐标方程为.
⑵记直线的斜率为,则直线的方程为,
由垂径定理及点到直线距离公式知:,
即,整理得,则.
(24)(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲
已知函数,M为不等式的解集.
(I)求M;
(II)证明:当a,时,.
【解析】解:⑴当时,,若;
当时,恒成立;
当时,,若,.
综上可得,.
⑵当时,有,
即,
则,
则,
即,
证毕.